CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VÀ CƠ SỞ PHÂN TÍCH CẤU TRÚC CHẮN DẢI ĐIỆN TỪ (EBG)
1.4. Phương pháp phân tích sai phân hữu hạn miền thời gian
1.4.2 Phương pháp sai phân hữu hạn miền thời gian
1.4.2.1. Công thức cơ bản
FDTD là một sự đại diện rời rạc của việc sử dụng hệ phương trình Maxwell, là một mô hình sai phân cả về không gian và thời gian. Để mô phỏng việc truyền sóng trong không gian ba chiều, thuật toán gốc của Yee (còn gọi là thuật toán nhảy cóc) thông thường được điều chỉnh. Hệ phương trình Maxwell được thay thế bởi một hệ thống các phương
trinh sai phân hữu hạn. Hệ phương trình của Maxwell trong miền thời gian để chỉ rõ đáp ứng trường theo thời gian đối với vật liệu tuyến tính, đồng nhất, và không tán xạ là [37]:
(1.69)
là véctơ điện trường ( ).
là véctơ cảm ứng điện ( ).
là véctơ từ trường ( ).
là véctơ cảm ứng từ ( ).
là mật độ dòng điện dẫn ( ).
là mật độ dòng điện từ ( ).
FDTD được dựa trên hai phương trình đạo hàm riêng theo thời gian bắt nguồn từ hệ phương trình Maxwell:
( )
( )
(1.70)
Ở đây là độ từ thẩm ( ), là hằng số điện môi ( ), là độ điện dẫn ( ).
Dòng điện được sử dụng đối với những vật liệu tổn hao và dòng từ với độ dẫn từ ( ) được thêm vào để tạo tính đối xứng cho hệ phương trình Maxwell.
Công thức này chỉ dùng cho trường điện từ và , chứ không dùng cho dòng và . Tất cả bốn thông số có mặt để có thể định nghĩa cho bất kỳ đặc tính vật liệu đồng nhất tuyến tính.
Việc viết các thành phần véctơ của toán tử đạo hàm riêng để đưa ra hệ thống gồm sáu cặp phương trình vô hướng tương đương với hệ phương trình Maxwell trong hệ thống hình chữ nhật ba chiều ( ) nhằm hình thành nền tảng của thuật toán FDTD cho sự tương tác điện từ với vật thể ba chiều nói chung:
(
)
(
)
(
(1.71)
(
)
(
)
(
)
(1.72)
Năm 1996, Kane Yee đã xuất phát từ một tập hợp các phương trình cho hệ thống phương trình đạo hàm riêng theo thời gian của Maxwell như được cho ở trên. Những phương trình này có thể được cho dưới dạng rời rạc, cả trong không gian và thời gian, việc sử dụng sự xấp xỉ trật tự thứ hai dẫn đến sự mở rộng chuỗi Taylor như:
( )
( ) ( ) ( ) (1.73)
Hình 1.25. Cách chia khối (cell) trong FDTD.
1.4.2.2. Giới thiệu phương pháp sai phân hữu hạn miền thời gian
Trong phương pháp FDTD cả không gian và thời gian đều được chia thành các đoạn nhỏ riêng biệt. Không gian thì được chia thành các khối có hình hộp. Các khối này có các
kích thước nhỏ hơn bước sóng. Trường điện đặt tại các mép viền của hình hộp còn trường từ đặt trên bề mặt. Theo đó mỗi thành phần được bao quanh bởi bốn thành phần và mỗi thành phần lại được bao quanh bởi bốn thành phần .
Thời gian được lượng tử hóa thành các bước nhỏ. Mỗi bước này đại diện cho thời gian để các trường tự do di chuyển từ khối này sang khối lân cận. Trước việc nhảy về không gian của trường từ từ trường điện, các giá trị của trường đó cũng nhảy về mặt thời gian. Trường từ và điện được cập nhật bằng việc sử dụng mô hình nhảy cóc. Theo đó, đầu tiên là trường điện sau đó là trường từ được tính toán ở mỗi bước thời gian.
Yee chia không gian thành các khối thành phần. Giả sử, chẳng hạn, trong hệ tọa độ chữ nhật (các hệ thống khác nhau thì có thể điều chỉnh khi cần thiết), trục hệ thống được tách riêng biệt với các bước . Bước thời gian thông thường được định nghĩa là . Điểm không gian có thể được định nghĩa với khái niệm ( ) hoặc ( ) và hàm không gian thời gian bất kỳ , ký hiệu là | . Điều này có nghĩa rằng hàm được tính toán tại thời điểm , ở điểm ( ):
( ) (1.74) Trong một khối như vậy, mỗi thành phần được bao quanh bởi bốn thành phần . Ví dụ, |
được bao quanh bởi:
|
|
|
|
Hình 1.26. Các véctơ E và H trong các khối.
Cách tính toán trong FDTD như sau: tất cả việc tính toán trong không gian ba chiều được hoàn tất và được lưu trữ trong bộ nhớ máy tính cho một thời điểm đặc biệt bằng cách sử dụng dữ liệu vừa được lưu trữ trước đây trong bộ nhớ máy tính. Sau đó viêc tính toán trong không gian được mô hình hóa, hoàn tất và lưu trữ trong bộ nhớ máy tính bằng cách sử dụng dữ liệu vừa được tính toán. Chu kỳ này lại được bắt đầu lại với việc tính toán các thành phần dựa trên các thành phần vừa được tính toán.