Điều kiện biên tuần hoàn

Một phần của tài liệu Nghiên cứu phát triển cấu trúc EBG ứng dụng cho các hệ thống thông tin vô tuyến thế hệ mới (Trang 51 - 54)

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN LÝ THUYẾT VÀ CƠ SỞ PHÂN TÍCH CẤU TRÚC CHẮN DẢI ĐIỆN TỪ (EBG)

1.4. Phương pháp phân tích sai phân hữu hạn miền thời gian

1.4.3. Điều kiện biên tuần hoàn

1.4.3.1. Các điều kiện biên tuần hoàn

Tất cả các điều kiện biên tuần hoàn đều được phát triển từ lý thuyết Floquet. Với một cấu trúc tuần hoàn với chu kỳ theo hướng , trường điện từ ở hai biên và thỏa mãn các phương trình trong miền tần số [37]:

⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗⃗ ( ) ⃗⃗ ( )

(1.75)

Các lũy thừa thể hiện độ trễ pha được quyết định bởi hằng số truyền sóng và chu kỳ .

Đối với các vấn đề của ống dẫn sóng, hằng số có được từ mối quan hệ tán xạ. Tuy nhiên, đối với các cấu trúc phức tạp, mối quan hệ này không thể biết trước khi tính toán.

Với vấn đề tán xạ, hằng số lan truyền đã biết. Nó là một hàm của tần số và góc tới:

√ (1.76) Trong đó, là số sóng trong không gian tự do. Tuy nhiên, khi (1.75) được chuyển sang miền thời gian sử dụng phép biến đổi Fourier, ta có:

⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( )

(1.77)

Với √ là vận tốc sóng trong không gian tự do.

Về cơ bản, điều kiện biên tuần hoàn được sử dụng cho hai loại vấn đề: tính chất của ống dẫn sóng và phân tích tán xạ. Đối với từng vấn đề, các điều kiện biên tương ứng được nghiên cứu cụ thể. Đối với tính chất của ống dẫn sóng, điều kiện biên trong miền thời gian được suy ra từ công thức (1.75) bằng cách đặt giá trị cố định:

( ) ( ) ( ) ( )

(1.78)

Các tần số riêng của các số sóng cụ thể từ đó được tính toán. Phép tính được lặp lại cho một chuỗi các giá trị để có được đồ thị tán xạ.

Với vấn đề tán xạ, số sóng là một hàm của góc tới như trong (1.70). Người ta đưa ra nhiều phương pháp để giải (1.77). Trường hợp sóng tới vuông góc với bề mặt được giải đầu tiên. Khi mặt sóng vuông góc với cấu trúc tuần hoàn, ta có và . Do đó, (1.77) trở thành:

( ) ( )

( ) ( ) (1.79) Dễ thấy không cần tính toán các dữ kiện cho các lần tính sau đối với điều kiện biên tuần hoàn này. Khi đó việc tính toán (1.77) trở nên dễ dàng hơn và điều kiện biên tuần hoàn được triển khai dễ dàng.

Khi mặt sóng vào cấu trúc tuần hoàn với góc nghiêng, người ta sử dụng kỹ thuật sine- cosine. Miền tính toán được phân tích bằng hai mặt sóng tới đồng thời: một biến đổi theo hàm và một biến đổi theo hàm . Trường tương ứng của hai hàm là ( ) và ( ). Áp dụng cho điều kiện biên tuần hoàn, trường tại biên có dạng:

(1.80)

Chú ý rằng trường kết hợp có giá trị ảo. Vì các trường kết hợp có nhân tử , quan hệ của pha trong (1.75) được áp dụng cho các trường này. Giá trị

được tính từ phương trình (1.76) với tần số góc và góc tới đã biết. Sau khi áp dụng điều kiện biên tuần hoàn, ta có:

( ) ( )

( ) ( ) (1.81)

Quá trình tính toán được lặp lại theo từng bước thời gian cho đến khi đạt được một trạng thái ổn định. Phương pháp này giải quyết được khó khăn trong (1.77) tuy nhiên mỗi lần chỉ có một tần số được tính toán.

Để nâng cao hiệu quả tính toán và đạt được dải đáp ứng rộng cho mỗi lần tính, phương pháp tách - trường (split-field) được sử dụng dựa trên kỹ thuật biến đổi trường. Để tính toán độ dịch pha trên trục x, ta sử dụng bộ trường thế véctơ và :

(1.82)

Điều kiện biên tuần hoàn cho và có được từ (1.75):

( ) ( )

( ) ( ) (1.83) Rõ ràng, ở đây, điều kiện biên được thực hiện dễ dàng hơn. Phương trình cho các trường thế được suy ra từ hệ phương trình Maxwell:

̂

̂ (1.84) Vì vậy thuật toán tính từng bước không thể áp dụng được ở đây. Thay vào đó, thuật toán tách trường được áp dụng để giải các phương trình trên.

1.4.3.2. Phương pháp hằng số sóng trong phân tích tán xạ

Điều kiện biên tuần hoàn sử dụng trong phân tích tán xạ luôn phức tạp hơn trong phân tích ống dẫn sóng cho dù đó là phương pháp sine-cosine hay phương pháp tách trường. Ngoài ra, các phương pháp này có hạn chế về hiệu quả tính toán và giới hạn ổn định. Vì vậy người ta sử dụng điều kiện biên tuần hoàn của ống dẫn sóng cho bài toán phân tích tán xạ.

Hệ số phản xạ trong mặt phẳng -tần số

Để triển khai điều kiện biên tuần hoàn (1.78) trong phân tích tán xạ, trước hết ta phải hiểu rõ mặt phẳng -tần số. Để minh họa hệ số phản xạ trong mặt phẳng -tần số, người ta phân tích một khối điện môi. Hình 1.27 cho thấy mặt sóng TMz tới khối điện môi dày h có hằng số điện môi .

Hình 1.27. Sóng tới mặt điện môi.

Hệ số phản xạ của khối điện môi được tính toán và vẽ trên mặt phẳng -tần số trên hình 1.28. Trục hoành chỉ số sóng theo trục x ( ), còn trục tung biểu diễn tần số. Độ lớn của hằng số phản xạ ( ) được thể hiện bởi vùng màu xám. Mặt phẳng -tần số được tách khỏi vùng dẫn sóng ( ) và vùng mặt sóng ( ) bởi đường thẳng ( ).

Chúng ta chỉ xem xét hệ số phản xạ trong vùng mặt sóng. Sóng tới vuông góc và nghiêng góc là các đường nét đứt trong mặt phẳng -tần số.

Hình 1.28. Hệ số phản xạ của tấm điện môi trong mặt phẳng -tần số. Hình biểu diễn một số phương pháp tính toán bằng dấu cộng, trừ và đường nét đứt [37].

Quan sát ở hình 2.18, ta thấy hai vùng truyền dẫn biểu diễn bởi dải màu đen. Vùng thứ nhất bắt đầu ở 10 GHz khi bằng không (hướng vuông góc). Tần số tăng lên 12 GHz khi số sóng tăng. Vùng thứ hai nằm quanh đường nằm nghiêng trong mặt phẳng -tần số.

Hệ số phản xạ trong mặt phẳng -tần số cho ta thấy thuộc tính tán xạ với mọi góc tới và mọi tần số.

Một phần của tài liệu Nghiên cứu phát triển cấu trúc EBG ứng dụng cho các hệ thống thông tin vô tuyến thế hệ mới (Trang 51 - 54)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(127 trang)