B ẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC , ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN
4. Chứng minh định lý Minkowski, phần II
Phần (b) là phần hay nhất trong định lý Minkowski. Các chứng minh phần (b) của định lý Minkowski với số chiều≥3đều sử dụng toán cao cấp. Có lẽ chính vì vậy mà mặc dù được phát biểu dưới dạng sơ cấp, định lý Minkowski ít được biết đến trong toán sơ cấp. Ở đây ta chỉ chứng minh định lý Minkowski cho trường hợpn = 4, trường hợp này chỉ cần sử dụng kiến thức của toán phổ thông. Với một ít kiến thức về giải tích nhiều biến, bạn có thể hiểu được chứng minh định lý Minskowski tổng quát, xem mục 4.4.
4.1. Tập hợp các đa giác có vector pháp tuyến cho trước
Giả sử u1,u2,u3,u4 ∈ R3 và các số dươnga1, a2, a3, a4 thoả mãn các điều kiện của phần (b) định lý Minkowski 3 chiều. Từ giả thiết, ta có thể thấy rằng
u2,u3,u4không cùng trên một mặt phẳng. (4) Bài tập 4.1. Hãy chứng minh rằng u2,u3,u4 là độc lập tuyến tính, tức là nếu các số thực k2, k3, k4thỏak2u2+k3u3+k3u4 =~0thìk1 =k2 =k3 = 0.
Giả sửP là một đã diễn thoa điều kiện
các vector pháp tuyến mặt củaP làu1, . . . ,u4. (5) Khi đó tồn tại các số thựcz1, z2, z3, z4sao cho
P ={x∈R3 | hx,uii ≤zi ∀i= 1,2,3,4}. (6) Các sốz1, . . . , z4xác định hoàn toàn đa diệnP. Tuy nhiên không phải bất cứ4số thựcz1, . . . , z4
cũng xác định một đa diện theo (6), vì tập hợp định nghĩa bởi vế phải của (6) có thể không phải là đa diện, thậm chí có thể rỗng.
Bài tập 4.2. (a)Giả sửP được xác định bởi (z1, . . . , z4)theo (6), vàv∈R3. Chứng minh rằng v+P được xác định bởiz10, . . . , z40, định nghĩa bởiz0i =zi+hv,uii.
(b) Chứng minh rằng(z1, . . . , z4)xác định một đa giácP nếu và chỉ nếu tồn tạix∈R3 sao cho hx,uii< zi ∀i= 1,2,3,4.
(c) Chứng minh rằngz1 =z2 =z3 =z4 = 1xác định một đa diện nào đó thoả mãn (5).
Vì ta sẽ đồng nhấtP vớiP +v, ta sẽ chọnvsao cho(z1, . . . , z4)là đơn giản, như sau. Từ tính chất (4) dễ dàng suy ra rằng các mặt phẳng quaF2, F3, F4 cắt nhau tại một điểm duy nhất. Ở đâyFi là mặt củaP có vector pháp tuyếnui. Sau một phép tịnh tiến, ta có thể giả sử
các mặt phẳng quaF2, F3, F4 cắt nhau tại gốc tọa độ~0. (7) Giả sửP0 là tập hợp tất cả các đa giác thoả mãn (5) và (7). VớiP ∈ P0, và các sốz1, z2, z3, z4
của (6), ta cóz2 =z3 =z4 = 0. Vì vậyP được xác định duy nhất bởiz1 =z1(P). Ta có ánh xạ z1 :P0 →R. GọiP =z1(P0)là ảnh củaP.
Bài tập 4.3. Chứng minhP =R+ ={x∈R|x >0}, vàz1 :P0 → P là song ánh.
Như vậy tập hợp tất cả các đa giác thoả mãn (5) và (7) có thể đồng nhất với tập hợp P = R+. Vóiz ∈ P =R+, ta ký hiệu P(z)∈ P0 là đa giác thoả mãnz1 =z, z2 =z3 =z4 = 0. Khi đó P :P → P0là song ánh.
4.2. Tập hợp các diện tích có thể có
Giả sửQ0 là tập hợp tất cả(y1, y2, y3, y4)∈(R+)4sao cho y1u1+y2u2+y3u3+y4u4 =~0.
Một vector trongR3có 3 thành phần, vì vậy đẳng thức trên cho ra 3 phương trinh tuyến tính với 4 ẩn sốy1, y2, y3, y4. Nói chung tập hợp lời giải sẽ là không gian 1 chiều. Ngoài ra ta còn phải giới hạnyi >0.
Đặtπ:R4 →Rlà phép chiếu lên toạ độ thứ nhất, tức là π(y1, . . . , y4) =y1.
ĐặtQ=π(Q0), và ký hiệuα:Q0 → Qlà giới hạn củaπtrên tậpQ0.
Bài tập 4.4. (a) Chứng minh rằng Q0 thoả mãn: nếu x,y ∈ Q0 và k ∈ R+ thìx+y ∈ Q0 va kx∈ Q0.
(b) Sử dụng điều kiện (4), chứng minh rằngαlà song ánh.
(b) Chứng minh rằngQ=R+.
4.3. Ánh xạ diện tích mặt
Giả sửz∈ P. ĐặtAi(z)là diện tích mặtFicủa đa giácP(z), vàA:Q →R4 là ánh xạ A(z) = (A1(z), . . . , A4(z)).
Phần (a) của định lý Minkowski chứng minh rằngA(P)⊂ Q0. Phần (b) của định lý Minkowski 3 chiều tương đương với mệnh đề sau đây mà ta sẽ chứng minh.
Lemma 4.1. Ánh xạA:P → Q0 là song ánh.
Chứng minh. Dễ dàng thấy rằngP(kz) = kP(z)voi moik ∈R+. Từ đó suy ra rằng
A(kz) =k2A(z). (8)
ĐặtB:P → Qlà compositionR+ =P −→ QA 0 −→ Qα =R+. Đẳng thức (8) chứng tỏ rằng B(kz) =k2B(z) ∀z ∈R+&∀k ∈R+.
Dễ dàng thấy rằng bất kỳ ánh xạ B : R+ → R+nào thoả mãn điều kiện trên là một song ánh.
Vìαlà song ánh, ta suy raAcũng là song ánh.
Ta đã kết thúc chứng minh định lý Minkowski 3 chiều cho trường hợpn= 4. Trường hợpn >4 được chứng minh tương tự, mặc dù phức tạp hơn, và sử dụng bất đẳng thức Brunn-Minkowski.
Độc giả có thể tham khảo [1,2].
4.4. Sơ lược về trường hợp n > 4
Bằng cách đánh số lại, ta có thể giả sử
un−2,un−1,unkhông cùng trên một mặt phẳng. (9) Một đa giácP thỏa điều kiện
các vector pháp tuyến mặt củaP làu1, . . . ,un (10) sẽ được hoàn toàn xác định bởi các số thựcz1, . . . , znsao cho
P ={x∈R3 | hx,uii ≤zi ∀i= 1, . . . , n}. (11) Tuy nhiên không phải bất cứnsố thựcz1, . . . , zncũng xác định một đa diện theo (11).
Bài tập 4.5. (b) Chứng minh rằng(z1, . . . , zn)xác định một đa giácP nếu và chỉ nếu tồn tại x∈R3sao cho
hx,uii< zi ∀i= 1, . . . , n.
(c) Chứng minh rằngz1 =ã ã ã=zn= 1xỏc định một đa diện nào đú thỏa món (10).
Tính chất (9) suy ra rằng các mặt phẳng quaFn−2, Fn−1, Fncắt tại một điểm duy nhất. Sau một phép tịnh tiến, ta có thể giả sử
các mặt phẳng quaFn−2, Fn−1, Fncắt nhau tại gốc tọa độ~0. (12) Giả sửP0 là tập hợp tất cả các đa giác thỏa mãn (10) và (12). VoiP ∈ P0, ta cózn−2 =zn−1 = zn = 0, vì vậyP được xác định duy nhất bởiz1, . . . , zm. O daym=n−3. ĐặtP ⊂Rmlà tập hợp tất cả z= (z1, . . . , zm)sao cho(z,0,0,0)xác sinh một đa giácP ∈ P0. Ánh xạP → P0, z→P(z)là song ánh.
Bài tập 4.6. (a) Chứng minh P là một cone lồi, tức là nếuz,z0 ∈ P vàk ∈ R+thìkz ∈ P và z+z0 ∈ P.
(b) Chứng minhP là một tập hợp mở, tức là nếuz∈ P thì tồn tạiε >0sao cho nếukz0−zk< ε thìz0 ∈ P.
Giả sửQ0 là tập hợp tất cả(y1, . . . , yn) ∈(R+)n sao choPn
i=1yiui =~0.Đặtπ :Rn → Rm là phép chiếu lên mtọa độ đầu tiên. Đặt Q = π(Q0), và ký hiệuα : Q0 → Qlà giới hạn củaπ trên tậpQ0.
Bài tập 4.7. (a) Chứng minh rằngQ0 là mot cone loi.
(b) Sử dụng điều kiện (4), chứng minh rằngαla song ánh.
(b) Chứng minh rangQlà một cone lồi mở trongRm.
Vớiz∈ P datAi(z)la diện tích mặtFicủa đa giácP(z), vàA:Q →Rnlà ánh xạ A(z) = (A1(z), . . . , An(z)).
Đăt B = α◦A. Phần (a) của định lý Minkowski chứng minh rằng A(P) ⊂ Q. Phần (b) của định lý Minkowski 3 chiều tương đương với mệnh đề sau
Lemma 4.2. Ánh xạB:P → Qlà song ánh.
Như vậy ta phải chứng minh với mọi a ∈ Qtồn tại duy nhất z ∈ P sao cho B(z) = a. Bài toán tìmzsẽ đưuợc đưa về bài toán tìm cực trị của một hàm số lồi và trơn, và lời giải duy nhất của nó được khẳng định bới đính lồi và trơn của hàm số. em chi tiết tại [2]. Alexandrov có một chứng minh thú vị khác, bằng cách trước hết chứng minh tính duy nhát, rồi dùng tính chât tôpô của miền xác định và miền giá trị củaBđể chứng minh tính tồn tại. Xem chi tiết tại [1].
Tài liệu
[1] A. D. Alexandrov, Convex polyhedra (translation of the 1950 Russian original), Springer, Berlin, 2005.
[2] I. Pak,Lectures on Discrete and Polyhedral Geometry, online at http://www.math.ucla.edu/~pak/geompol8.pdf