Nguyễn Hùng Sơn
GIỚI THIỆU
Tung hứng là một bộ môn nghệ thuật cổ xưa, dường như luôn đồng hành với lịch sử của nhân loại. Nhiều bản vẽ mô tả những người phụ nữ đang tung hứng được tìm thấy trong một ngôi mộ của Ai Cập có niên đại vào khoảng thế kỷ thứ hai mươi trước công nguyên.
Chỉ cần một vài viên đá và một chút luyện tập là bạn đã có thể tung hứng. Vì vậy không có gì đáng ngạc nhiên khi loài người quan tâm đến môn nghệ thuật này từ rất lâu rồi.
Tuy nhiên, chỉ mới gần đây khía cạnh toán học của tung hứng mới bắt đầu được quan tâm một cách nghiêm túc. Các nghiên cứu toán học về các mô hình tung hứng được tiến hành lần đầu tiên cùng một lúc vào những năm 80 của thế kỷ XX tại vài trường đại học, trong đó có Đại học California tại Santa Cruz, Caltech và Đại học Cambridge. Trong bài báo nhỏ này chúng ta sẽ liệt kê một cách ngắn gọn về các kết quả mà các nhà toán học có thể giúp các nghệ sĩ xiếc trong việc tạo ra các mô hình tung hứng và các lợi ích do sự hợp tác liên ngành này có thể đem lại cho các nhà toán học.
Hình 1: Những hình ảnh cổ nhất về tung hứng cách đây khoảng 4000 năm.
Bước đầu tiên là tạo ra các mô hình toán học cho các kỹ thuật tung hứng để có thể nói về chúng một cách chính xác. Trong các mô hình đơn giản nhất, ta giả sử thời gian là rời rạc (chính xác hơn, thời gian là một chuỗi các thời điểm1,2,3, . . .), và rằng nghệ sĩ tung hứng có hai tay, mỗi tay chỉ có thể giữ được nhiều nhất một vật trong mỗi thời điểm. Không mất tính tổng quát ta giả sử các vật dùng để tung hứng là các quả bóng. Các tay thay đổi nhau liên tục, có nghĩa là một tay sẽ luôn bắt (hứng) và tung bóng ở các thời điểm lẻ:1,3,5, ...(ta gọi đó là tay lẻ), còn tay thứ hai (tay chẵn) thì luôn tung và hứng ở các thời điểm chẵn:2,4,6, ....
Và bây giờ sẽ là vấn đề thú vị hơn: làm thế nào để mô hình hóa các cách tung bóng khác nhau và đồng thời cho nhiều quả bóng khác nhau? Phương pháp thường dùng nhất là phân loại các cách tung bóng theo thời gian (số khoảnh khắc) mà quả bóng bay trên không. Điều đó có nghĩa rằng nếu tại thời điểmita tung bóng theo kiểut( vớit là một số tự nhiên nào đó) thì bóng sẽ rơi (vào một trong hai tay) vào thời điểmi+t. Lưu ý rằng với cách ký hiệu này, nếu bóng được tung theo kiểu chẵn bằng một trong hai tay thì nó sẽ rơi vào đúng tay đó, còn theo kiểu lẻ thì bóng sẽ rơi vào tay thứ hai. Ta cũng ký hiệu kiểu0cho trường hợp không tung bóng, tức là một trong hai tay được gọi là tung bóng theo kiểu0tại thời điểminếu tay đó không có bóng tại thời điểm này.
Hình 2 là ví dụ của một dãy các cách tung hứng bóng theo trình tự thời gian. Trong ví dụ này người nghệ sĩ tung hứng dùng ba quả bóng được đánh dấu bằng ba mầu. Ngoài ra trên hình vẽ còn có một số thông tin bổ sung (về cấu hình) và sẽ được giải thích sau.
Hoạt động của người nghệ sĩ tung hứng trong ví dụ này có thể được mô tả ở dạng một dãy các cách tung bóng trong từng thời điểm, đó làh5,3,1,4,5,3,0,5,5,2,0,5,3,1,4,5,3,0i. Cách ký hiệu này được gọi là phương pháp dãy hoán đổi (tiếng Anh làsiteswap model). Tuy nhiên, trong thực tế các nghệ sĩ tung hứng thường quan tâm đến các mô hình tung hứng(tiếng Anh gọi là juggling pattern) hơn là cái dãy dài dằng dặc như ở trên. Tốt nhất là nếu ta tìm được các dãy tuần hoàn để một dãy con hữu hạn có thể lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến vô cùng. Ví dụ: một trong
Hình 2: Ví dụ một dãy các cách tung hứng bằng hai tay
các mô hình phổ biến nhất mà mọi người thường bắt đầu học là tung hứng 3 quả bóng theo kiểu thác nước. Kiểu tung hứng này tương đương với dãyh3,3,3,3,3,3,3...i.
=⇒
Để tránh trùng lặp các thông tin vô ích, ta thường ký hiệu các dãy tuần hoàn bằng các thông tin trong một chu kỳ của nó. Như vậy mô hình tung hứng kiểu thác nước là dãy tuần hoàn(3).
Tới đây ta có thể thấy hàng loạt các vấn đề toán học được đặt ra. Phải chăng tất cả các dãy hoán đổi đều khả thi (hợp thức)? Số quả bóng ảnh hưởng như thế nào đến mô hình? Tồn tại bao nhiêu mô hình tung hứng nếu ta cố định một số yếu tố như số lượng quả bóng hoặc số lần tung bóng?
Trước khi tìm hiểu các câu hỏi trên ta hãy làm quen với một số tính chất của mô hình tung hứng ở dạng dãy hoán đổi (siteswap patterns):
Định nghĩa 1 GọiP=ht0ã ã ãtk−1ilà dóy hoỏn đổi với độ dàik. DóyPđược gọi làdóy tung hứngkhi và chỉ khi hàm số
σ :{0, . . . , k−1} → {0, . . . , k−1}xác định bởiσ(i) =i+ti mod k là một hoán vị của tập{0, . . . , k−1}.
Định nghĩa trên chỉ muốn nói rằng trong dãy tung hứng là dãy hoán đổi của quá trình tung hứng thực sự. Khi tung hứng, không tay nào được bắt hai quả bóng cùng một lúc, điều đó co nghĩa rằng các quả bóng đều phải rơi vào một trong hai tay ở các thời điểm khác nhau. Dễ thấy mọi dãy có độ dàik = 1đều là dãy tung hứng và mọi dãy tuần hoàn dạng(n)cũng là dãy tung hứng tương ứng với tung hứng kiểu thác nước dùngnquả bóng.
Bổ đề 1 (về giá trị trung bình) Trong mọi dãy hoán đổi tung hứng tuần hoàna= (a0, a1, ..., ad−1) có độ dài d, giá trị trung bình của dãya = a0+a1+...+ad d−1 là một số tự nhiên và bằng đúng số quả bóng được dùng để tung hứng.
Xin bỏ qua phần chứng minh bổ đề 1 và mong bạn đọc yêu thích toán học coi đây là một bài tập thú vị.
Bổ đề trên đây có thể coi như là điều kiện cần để kiểm tra dãy hoán đổi có phải là dãy tung hứng khay không: nếu giá trị trung bình của dãy không phải là số nguyên thì đó không phải là dãy tung hứng. Ví dụ:
• Dãy(5,2,1)có giá trị trung bình bằng 83, vì vậy đây không phải là dãy tung hứng.
• Dãy(3,2,1)có giá trị trung bình bằng2nên có thể là dãy tung hứng cho2quả bóng. Tuy nhiênσ(1) =σ(2) =σ(3) = 0, vì vậy theo định nghĩa đây không phải là dãy tung hứng.
• Các dãy(4,4,1), (5,3,1), (4,4,1,3) (5,5,5,0,0)là các dãy tung hứng cho3quả bóng;
còn(6,4,5,1),(7,3,3,3),(7,1)là các dãy tung hứng cho4quả bóng. Hy vọng sau khi đọc xong bài viết này, bạn đọc có thể dễ dàng kiểm tra các thông tin trên.
Hình 3: Ví dụ của dãy tung hứng tuần hoàn(4,4,1,3).
Benoˆıt Guerville đã phát hiện và chứng minh kết quả tuyệt vời liên quan đến điều kiện đủ xác định dãy tung hứng như sau:
Định lý 2 (về tái cơ cấu) Nếu dãy số tự nhiên có giá trị trung bình cũng là số nguyên thì ta có thể hoán vị dãy đó thành một dãy tung hứng.
Quay lại ví dụ trên Hình 2. Tại mỗi thời điểm ta hãy quan sát “vị trí" của quả bóng, tức là thời gian từ thời điểm đó cho đến khi quả bóng rơi vào một trong hai tay. Vì không tay nào được bắt hai quả bóng cùng một lúc nên tại một thời điểm tất cả các quả bóng phải ở các vị trí khác nhau.
Ta có thể nói rằng bóng được tung lên vị tríkthay vì nói rằng bóng được tung theo kiểuk.
Cấu hình tại một thời điểm bất kỳ là một dãy s0s1s2. . . gồm các ký hiệu × và −. Ký hiệu sk = ×nếu vị trí của một trong các quả bóng bằng k, còn sk = −khi không quả bóng nào ở vị trí này. Chiều dài của cấu hình thường là số tự nhiên hữu hạn tương ứng với vị trí cao nhất của các quả bóng. Trong ví dụ ở Hình 2 cấu hình tại mọi thời điểm đều có chiều dài bằng5(cột cuối cùng).
Vị trí đầu tiên (ký hiệu s0) của cấu hình mô tả tình trạng của bàn tay chủ động, tức là tay lẻ ở thời điểm lẻ hoặc tay chẵn ở thời điểm chẵn. Điều đó có nghĩa là nếu ký hiệu đầu tiên của cấu hình là − thì bàn tay tương ứng không có bóng và tiếp theo tay đó sẽ tung bóng theo kiểu0.
Còn nếu ký hiệu đầu tiên là×thì quả bóng trong tay sẽ phải được tung lên một trong các vị trí có ký hiệu×(vị trí còn trống). Lưu ý: ta luôn có thể tung bóng lên vị trí cao nhất (tại sao?).
Nếu cấu hình tại thời điểm i là Ci = s0s1s2. . . sd−1 và s0 = − thì cấu hình tiếp theo sẽ là Ci+1 =s1s2. . . sd−1−. Hai cấu hình được nối với nhau bằng mũi tên có trọng số bằng0:
Ci =−s1s2. . . sd−1
−−−−→ C0 i+1 =s1s2. . . sd−1−
Còn nếus0 =×thì các cấu hình tại thời điểm tiếp theo sẽ được hình thành như sau:
1. Kéo dài cấu hìnhCithànhCi0 =s0s1s2. . . sd−1sdvớisd =−; 2. Nếush =−và quả bóng được tung lên vị tríhthì ta sẽ đổish =×; 3. Xóas0 từCi0. Cấu hình tại thời điểmi+ 1sẽ làCi+1 =s1s2. . . sd−1sd
4. Ta nối hai cấu hình bằng mũi tên có trọng số bằngh:
Ci −−−−→ Ch i+1
Bằng cách này ta có thể thiết lập biểu đồ chuyển dịch giữa các cấu hình. Hình 4 là ví dụ minh họa của biểu đồ hoán chuyển giữa các cấu hình khi tung hứng3quả bóng và vị trí cao nhất là5.
Biểu đồ này, thực chất làđồ thị có hướng và có trọng số.
Sử dụng các cấu hình ta có thể dễ dàng kiểm tra xem một dãy hoán đổi có là dãy tung hứng hay không. Dễ dàng nhận thấy rằng mỗi một dãy tung hứng tương ứng với một dây chuyềntrong biểu đổ. Hơn nữa dãy tung hứng tuần hoàn tương ứng với mộtchu trìnhtrong biểu đồ. Cũng có thể sử dụng biểu đồ này để tạo ra các bài biểu diễn tung hứng mới và kỳ lạ. Nhiều nghệ sĩ (ví dụ ở công ty Gandini Juggling) đã sử dụng mô hình này để thiết kế các chương trình biểu diễn của mình.
Bổ đề 1 có thể tổng quát hóa như sau:
Hình 4: Biểu đồ dịch chuyển giữa các cấu hình.
Định lý 3 (tổng quát về giá trị trung bình) Nếua =ha0, a1, a2, . . .ilà một dãy tung hứng có độ cao hữu hạn thì giới hạn
|Ilim|→∞
P
i∈I
ai
|I|
hội tụ và bằng số quả bóng, ở đây giới hạn được xác định cho tập hợp tất cả các khoảng I ={b, b+ 1, . . . , c} ⊂Zvà|I|=c−b+ 1là số số tự nhiên trong khoảngI.
Để ý rằng các kết quả toán học trong bài báo này không sử dụng đến giả thiết về hai bàn tay.
Các kết quả trên đây vẫn đúng cho trường hợp tung hứng dùng nhiều“chi”hơn, ví dụ: 2 chân, 2 tay, đầu, nhiều người. Nghiên cứu về các dãy hoán chuyển vẫn là vấn đề thời sự và được tổng quát hóa cho nhiều trường hợp như:
• Thời gian đồng bộ: nhiều chi cùng bắt bóng và tung bóng trong cùng một thời điểm;
• Multiplexes: một tay có thể tung nhiều quả bóng trong cùng một thời điểm.
Các nghiên cứu cơ bản về đề tài này cũng được tiến hành và khá nhiều bài báo đã được đăng, chủ yếu là về các vấn đề tổ hợp liên quan đến mô hình tung hứng. Một điều thú vị là một số kết quả liên quan đến tung hứng lại có thể sử dụng trong các ngành khác trong toán học. Một số nghiên cứu, kể cả một số luận án tiến sĩ (ví dụ như “Combinatorial aspects of juggling” của Anthony Mays) đã phát hiên rất nhiều sự liên hệ giữa các dãy hoán đổi (siteswap) với một số lý thuyết tiên tiến nhất trong toán học như tính toán chuỗi Poincare cho nhóm affine của Weyl A d−1 hoặc để chứng minh định lý liên quan đến sốq-Stirling. Trước đó, nhiều người cho rằng các lý thuyết này là các mô hình toán học tưởng tượng, không thực dụng.
Không có lý thuyết vô dụng trong toán học: sự liên kết giữa các kết quả toán học và cuộc sống thường xuất hiện một cách tình cờ trong các lĩnh vực mà bản thân các nhà toán học cũng không ngờ tới.
Tài liệu
[1] Tạp chí ‘Delta’ của Ba lan. Số 9. 2014
[2] Beek, Peter J. & Arthur Lewbel (1995), ‘The Science of Juggling’, Scientific American, Vol. 273, No 5, November 1995, p92–97.
[3] Beever, Ben (2002), ‘Siteswap Ben’s guide to juggling patterns’, available at:
www.jugglingdb.com/compendium/geek/notation/siteswap/bensguide.html.
[4] Buhler, Joe, David Eisenbud, Ron Graham & Colin Wright (1994), ‘Juggling drops and de- scents’, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 6, June–July 1994, p507–519.
[5] Cardinal, Jean, Steve Kremer & Stefan Langerman (2006), ‘Juggling with pattern match- ing’, Theory of Computing Systems, 39(3), June 2006, p425– 437.
[6] Carstens, Ed (1992), ‘The mathematics of juggling’, online publication, available at:
www.juggling.org/papers/carstens/.
[7] Polster, Burkard (2003), ‘The mathematical of juggling’. Springer-Verlag, New York.
[8] Shannon Claude E. (1980), ‘Scientific Aspects of Juggling’. In N.J.A. Sloane and A. D.
Wyner (eds) (1993) Claude Elwood Shannon: Collected Papers. IEEE Press.
[9] Anthony Mays (2006), ‘Combinatorial aspects of juggling’. Ph.D Thesis at University of Melbourne.