Trần Nam Dũng
(Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG TP.HCM)
GIỚI THIỆU
Chuyên mục này được lấy cảm hứng từ bài viết của thầy Nguyễn Duy Liên về bài toán số 6trong kỳ thi IMO2001với5cách giải khác nhau. Mục này sẽ để dành viết về những bài toán hay, lời giải đẹp và những câu chuyện thú vị xung quanh những bài toán và lời giải đó.
Tên của chuyên mục được mượn từ tên của một nhóm những người yêu toán trên Facebook do anh Nguyễn Văn Lợi sáng lập “Bài toán hay – Lời giải đẹp – Đam mê toán học”.
Chuyên mục ghi nhận các đề cử của bạn đọc và sẽ chọn đăng mỗi kỳ1; 2bài toán.
Số này chúng tôi giới thiệu buổi trò chuyện của TS Trần Nam Dũng tại Trại hè Phương Nam năm 2016 nhân một bài toán khá dễ của kỳ thi này, bài số 1.
Bài toán 1 (Olympic Trại hè Phương Nam 2016). Giải phương trình 13.1 2x2/
p1 x2 C 9.1C2x2/
p1Cx2 D0: .1/
Bài toán này rất đơn giản, vì nhìn kỹ, nó chỉ là một phương trình bậc ba củax2;và phương trình đó lại có nghiệm đặc biệt. Nhiều bạn học sinh đã giải được bài này, và đây là lời giải mà đại đa số học sinh đã tìm ra:
Điều kiệnjxj< 1:Ta thực hiện biến đổi tương đương 13.2x2 1/
p1 x2 D 9.1C2x2/ p1Cx2 ,
˚2x2 1>0
169.2x2 1/2.1Cx2/D81.1C2x2/2.1 x2/ ,
˚2x2 1>0
1000x6 750x2C88D0 ,
˚2x2 1>0
2.5x2 4/.100x4C80x2 11/D0
Ta thấy trong điều kiện 2x2 1 > 0 thì 100x4 C80x2 11 > 0 nên từ đây suy ra phải có 5x2 4D0;tức làx D ˙p25:1
1Khi được giới thiệu bài này, bạn Võ Quốc Bá Cẩn cũng có đề xuất thêm lời giải sau đây:
Câu chuyện có lẽ đã dừng lại vì cũng không có gì để bình luận. Một phương trình vô tỷ bình thường được giải bằng một phương pháp bình thường không có gì đặc biệt. Thế nhưng tôi (Trần Nam Dũng) đặt câu hỏi.
“Bài toán được giải xong rồi. Nhưng bây giờ mới là câu hỏi khó: Bài toán này liên quan đến một bài toán quen thuộc nào?”
Do các em học sinh không đoán được (quá khó để đoán), tôi đã gợi ý: Đó là bài toán bất đẳng thức trong đề thi Olympic 30/4 năm 1996, khối lớp 10.
Bài toán 2 (Olympic 30/4, 1996, khối lớp 10). Cho06x61:Chứng minh rằng x
13p
1 x2C9p
1Cx2
616: .2/
Tôi đặt câu hỏi: “Biết là liên quan rồi đó, nhưng liên quan thế nào?”
Sau vài giây, một bạn học sinh trả lời “Dạ thưa thầy, nếu gọi vế trái của bất đẳng thức là f .x/
thì phương trìnhf0.x/D0chính là phương trình ở bài toán của chúng ta ạ”.
Đúng là như vậy. Để chứng minh (2), ta chỉ cần chứng minh giá trị lớn nhất của hàm số ở vế trái bằng 16:Nếu biết đạo hàm, điều này sẽ quy về việc giải phương trình f0.x/ D 0 rồi xét dấu f0.x/để tìm cực tiểu. Sơ đồ giải quen thuộc này nêu lên ý nghĩa quan trọng của đạo hàm và cũng giải thích các phương trình xuất hiện từ đâu và vì sao ta phải học giải phương trình.
Tôi lại đặt tiếp câu hỏi “Giải bằng đạo hàm thì đơn giản rồi, nhưng đây là bài toán cho khối lớp 10. Vậy làm sao các bạn ấy giải được. Tại sao BTC lại chọn bài toán này? Tôi xin bật mí cho các bạn là bài toán được chọn do lời giải chỉ có 1 dòng, và không cần dùng đến đạo hàm. Các bạn đã biết điểm rơi tạix D p25;các bạn có thể phục dựng lại lời giải 1 dòng của đáp án không?”.
Sau vài phút, có một bạn học sinh đã lên trình bày lời giải sau: Theo bất đẳng thức AM-GM, 13xp
1 x2D 13 2
x2p
1 x2 6 13
4
x2C4.1 x2/
; 9xp
1Cx2 D 3 2
3x2p
1Cx2 6 3
4
9x2C4.1Cx2/
Cộng tác bất đẳng thức trên lại, ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x > 0; x2D4.1 x2/và9x2D4.1Cx2/tức là khix D p25:
Ta biến đổi phương trình về dạng
13.2x2 1/
2x2C1 D9 s
1 x2 1Cx2 ,13
1 2
1C2x2
D9 r 2
1Cx2 1:
Đến đây, chỉ cần để ý rằng vế trái là hàm liên tục và tăng theo ẩnx2;còn vế phải là hàm liên tục và giảm theox2; ta chứng minh đượcx2phải bằng45:
Tôi nói rằng đó chính là lời giải của đáp án, chỉ khác là đáp án viết gộp lại nên chứng minh chính chỉ có một dòng!
Có lẽ vì lời giải ngắn gọn đó mà bài toán đã được chọn, lại được xếp vào vị trí bài toán. . . dễ.
Sự thật diễn ra cho thấy đó là một nhận định sai lầm: chỉ có duy nhất một thí sinh của kỳ thi giải được bài này, đó là em Vũ Đức Phú. Em đã giải bằng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
Lời giải đó như sau: Ta có 13p
1 x2C9p
1Cx22
6.13C27/
13.1 x2/C3.1Cx2/
D80.8 5x2/:
Từ đó suy ra x2
13p
1 x2C9p
1Cx22
680x2.8 5x2/64.5x2C8 5x2/2 D256:
Lấy căn bậc hai hai vế, ta dễ có điều phải chứng minh.
Trong khi đó 3 học trò cưng của tôi là Lê Quang Nẫm, Nguyễn Lê Lực, Lưu Minh Đức đã bó tay. Nẫm còn nói “Em đã thử dùng đạo hàm mà cũng không được”. Chắc cậu ấy tính sai, chứ nếu tính đúng sẽ dẫn đến phương trình (1) và đã giải được rồi.
Quay trở lại với hai lời giải trên, một bạn học sinh lại thắc mắc: Có được các lời giải này là do ta biết điểm rơixD p25 và tìm cách cân bằng hệ số thích hợp khi áp dụng AM-GM. Nhưng giá trị này đâu dễ đoán ra. Vậy phải làm thế nào?
Tôi nói: Đây chính là câu hỏi mà tôi muốn nghe. Lời giải 1 dòng ở đáp án tuy đẹp và đáng ngưỡng mộ, có thể vỗ tay nhưng ta chưa học nhiều được ở đó, vì các hằng số khi áp dụng AM- GM vẫn là bí ẩn. Làm sao để tìm ra các hằng số này với điều kiện chưa biết điểm rơi. Đây là câu trả lời: ta dùng phương pháp hệ số bất định. Với hai số dương˛; ˇ bất kỳ, ta có
13xp
1 x2 D 13
˛
˛xp
1 x2 6 13
2˛.˛2x2C1 x2/;
9xp
1Cx2D 9 ˇ
ˇxp
1Cx2
6 9
2ˇ.ˇ2x2C1Cx2/:
Cộng các bất đẳng thức vế theo vế, ta được 13xp
1 x2C9xp
1Cx2 6 13
2˛.˛2x2C1 x2/C 9
2ˇ.ˇ2x2C1Cx2/: .3/
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi˛2x2 D1 x2; ˇ2x2 D1Cx2: Để tìm giá trị lớn nhất của vế trái, ta cần chọn˛; ˇ sao cho
i) Vế phải của (3) không phụ thuộc vàoxI
ii) Tồn tạix sao cho˛2x2 D1 x2; ˇ2x2D1Cx2:
Từ đây ta dễ dàng tìm được điều kiện đối với˛; ˇ là hệ phương trình
13
2˛.˛2 1/C 9
2ˇ.ˇ2C1/D0
˛2C1Dˇ2 1
Giải hệ này ra, ta được (cũng là một phương trình bậc ba của˛) ˛ D 12; ˇ D 32:Từ đó mà có lời giải như trên. Chú ý hệ phương trình rất giống hay chính xác hơn là tương đương với phương trình (1). Một lần nữa lý do để ta phải học giải phương trình, hệ phương trình được giải thích.
Cuối cùng, tôi đề nghị các bạn học sinh áp dụng các phương pháp tương tự để giải quyết bài toán 3 của kỳ thi:
Bài toán 3 (Olympic Trại hè Phương Nam 2016). Một nhà địa chất đang ở vị trí Atrong sa mạc, cách con đường thẳng10km.AN D10km).Trên con đường thì xe của nhà địa chất có thể chạy với vận tốc50km/hnhưng trên sa mạc thì nó chỉ chạy được với vận tốc30km/h. Nhà địa chất đang rất khát nước và ông biết rằng có một trạm xăng P ở vị trí xuôi theo đường 25 km.NP D25km)và ở đó có xá xị Chương Dương ướp lạnh.
A
N P
a) Nhà địa chất tốn bao nhiêu phút để đi từAđếnP theo đường sa mạc?
b) Nếu nhà địa chất đi từAđếnN;sau đó sử dụng con đường để đếnP thì có nhanh hơn đi từAđếnP theo đường sa mạc không?
c) Hãy tìm một cách đi nhanh hơn cho nhà địa chất. Cách của bạn đã là nhanh nhất chưa?
Các bạn học sinh ở Tiền Giang đã giải quyết rất tốt bài toán (ý nói câu cuối – tìm phương án tối ưu) mà không dùng đến đạo hàm. Còn các bạn thì sao?