MỘT BỔ ĐỀ VỀ PHÂN GIÁC
2. Khai thác bài toán
Bài toán gốc là một cấu hình đẹp và có nhiều tính chất thú vị. Bài toán sau là một kết quả về việc chia đôi đoạn thẳng.
Bài toán 6. Cho4ABC nội tiếp đường tròn (O)có các phân giác BE, CF cắt nhau tạiI.
EF cắt (O)tạiM, N. Các đường thẳngM I, N I cắt(O)lần lượt tạiP,Q. Khi đóP Qchia đôiBI vàCI.
Tính chất này được phát hiện khi tác giả tìm thêm những lời giải khác choBài toán 1. Chia đôi đoạn thẳng cũng là một kiểu bài toán đang phổ biến hiện nay, lời giải sau được đề xuất bởi anh Nguyễn Lê Phước.
Chứng minh. GọiX,Y,Z lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp gócA,B,Ccủa4ABC. Kéo dàiIP,IQcắtBCtheo thứ tự tạiL,K. GọiDlà giao điểm củaAI với(O).
Như đã chứng minh ở tính chất 1, ta có tứ giác ZM CLnội tiếp, kết hợp với việc bốn điểmA, C, X,Z cựng nằm trờn một đường trũn, ta cú ILãIM = IZ ãIC = IAãIX. Do đú tứ giỏc AM XLnội tiếp, suy ra(LI, LX) = (AM, AI) = (P I, P D). Như vậyP Dsong songLX. Mà D là trung điểm củaIX nênP là trung điểm của IL. Tương tựQlà trung điểm của IK hay P Qlà đường trung bình của4ILK. Từ đó ta suy raP Qchia đôiIBvàIC.
Vậy bài toán đã được giải xong.
Chia đôi đoạn thẳng là một tính chất hay, thậm chí ta có thể mở rộng bài toán thành chia đoạn thẳng theo tỉ sốk, sau đây ta có một khai thác nhiều bài toán khá đẹp như sau:
Bài toán 7. Cho4ABC nội tiếp đường tròn (O)có các phân giác BE, CF cắt nhau tạiI.
EF cắt(O)tạiM, N. Các đường thẳngM I, N I cắt(O)lần lượt tạiP, Q. Gọi X, Y,Z lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp gócA,B,Ccủa4ABC.IP,IQtheo thứ tự cắt đường thẳng BC tạiL,K. Chứng minh rằng năm điểmX,Y,Z,L,K cùng nằm trên một đường tròn.
Bài toán 7được suy ra trực tiếp từBài toán 6cùng với tính chất:Phép vị tự tâmI tỉ số 1 2 biến (XY Z)thành(ABC).
Bài toán 8. Cho4ABC nội tiếp đường tròn (O)có các phân giác BE, CF cắt nhau tạiI.
EF cắt(O)tạiM, N. Các đường thẳngM I,N I cắt(O)lần lượt tạiP,Q. GọiX, Y,Z lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp gócA,B,Ccủa4ABC.IP,IQtheo thứ tự cắt đường thẳng BC tạiL,K. Chứng minh rằng tứ giácM N LK nội tiếp đường tròn tâmX.
Chứng minh. Như ta thấy, để chứng minh một điểm là tâm của tứ giác thì hai hướng thường gặp nhất là biến đổi góc hoặc biến đổi cạnh, ở đây tác giả sử dụng phương pháp biến đổi cạnh thông qua việc chứng minh AN và AK là hai đường đẳng giác, vì để chứng minh LX = N X = M X =KX thì đầu tiên ta có thể chứng minhKX =N X vàLX =M X sau đó kết hợp việc LX =KX đã chứng minh ở hệ quả trên ta suy ra bốn cạnh bằng nhau. Từ đó ta nghĩ đến việc chứng minh các tam giác cân thông qua việc biến đổi góc, chú ý do tứ giác N AKX nội tiếp nên (AN, AX) = (KN, KX)và (N X, N K) = (AX, AK). Nếu tam giác N KX cân tại X thì(KN, KX) = (N X, N K), do đó ta phải chứng minh(AN, AX) = (AX, AK)hayAN và AK là hai đường đẳng giác của4ABC.
Chú ý tứ giácAN XK nội tiếp nên, mà (AN, AX) = (AX, AK)nênXN = XK. Hoàn toàn tương tự,XM =XL. Vị tự tâmItỉ số2biếnD,P,QthànhX,L,KnênXL=XK. VậyK, L M,N thuộc đường tròn tâmX.
Bài toán 9. Cho4ABC nội tiếp đường tròn (O)có các phân giác BE, CF cắt nhau tạiI.
EF cắt(O)tạiM, N. Các đường thẳngM I,N I cắt(O)lần lượt tạiP,Q. GọiX, Y,Z lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc A,B,C của4ABC. TiaIP, IQtheo thứ tự cắt đường thẳngBC tại L, K. GọiS là điểm đối xứng củaK quaXY, T là điểm đối xứng củaL qua XZ. Chứng minh rằng các bộ ba điểm(Z, T, K),(A, T, B),(A, S, C),(Y, L, S)thẳng hàng.
Chứng minh. Ta có(ZB, ZT) = (ZL, ZB) = (ZB, ZK)nênZ,T,Kthẳng hàng.
Ta có(BZ, BT) = (BL, BZ) = (BC, BX) = (BZ, BA)nênA,T,B thẳng hàng.
Tương tựA,S,C vàY,S,Lthẳng hàng.
Bài toán sau là một tính chất thú vị về hai đường thẳng cắt nhau trên đường tròn:
Bài toán 10. Cho4ABC nội tiếp đường tròn(O)có các phân giácBE,CF cắt nhau tạiI.
EF cắt(O)tạiM, N. Các đường thẳng M I, N I cắt đường thẳngBC theo thứ tự tại L, K.
LN,KM cắt(O)lần thứ hai tạiT. Chứng minh rằngT là điểm chính giữa cungBAC. Lời giải sau được phát hiện khi tác giả cố suy nghĩ tìm một ứng dụng cho định lý Brokard:
Chứng minh. GọiX,Y,Z lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp gócA,B,C của4ABC. Gọi J là giao điểm của đường thẳng Y Z và BC. Theo bài toán gốc có Y M IN Z nội tiếp đường trònωvà Y ZBC nội tiếp. Theo bài toán 8 còn cóKLN M nội tiếp nên trục đẳng phương của các cặp trong ba đường tròn(O),(KLM N),(Y ZM N)đồng quy nênM N đi quaJ.
Ta dễ dàng chứng minhJLN A và JKM Anội tiếp nênA là điểm Miquel của bộ bốn đường thẳng (M N, LK, M K, LN). Mặt khác T là giao điểm của M K và LN nên A cũng thuộc (T M N)hayT thuộc(AM N) ≡ (O). Áp dụng định lý Brokard cho tứ giác M N LK nội tiếp (X)ta đượcIA ≡ IX ⊥ JT. MàIA ⊥ Y Z ≡ JZY nênT nằm trên đường thẳngY Z. Vậy bài toán đã được giải quyết.
Từ bài toán gốc ban đầu ta đã thu được nhiều kết quả đẹp, phần tiếp theo tác giả sẽ mở rộng bài toán gốc ra tổng quát hơn.