SỰ TRỢ GIÚP CỦA MÁY VI TÍNH
4. Phương pháp S.O.S, một tiêu chuẩn chung
Trong phần này ta sẽ nói khái quát về phương pháp S.O.S. Có thể xem là một tiêu chuẩn "chung"
cho việc phân tích các bất đẳng thức về dạng tổng các bình phương.
4.1. Dạng chính tắc và một vài tiêu chuẩn của phương pháp S.O.S 4.1.1. Dạng chính tắc
Về cơ bản khi đứng trước một bất đẳng thức bất kì của ba biếna, b, cta sẽ tìm cách đưa chúng về dạng tổng của các bình phương(a−b)2,(b−c)2,(c−a)2kí hiệu:
Sc(a−b)2+Sa(b−c)2+Sb(c−a)2 ≥0.
Phần đưa về dạng chính tắc trên là bước đầu tiên trong cách sử dụng phương pháp S.O.S. Nếu may mắn có đượcSa, Sb vàScđều dương thì bài toán được chứng minh. Tuy nhiên không phải lúc nào ta cũng may mắn như thế.
4.1.2. Định lý S.O.S
Xét biểu thức:
S =f(a, b, c) = Sa(b−c)2+Sb(c−a)2+Sc(a−b)2, Trong đóSa, Sb, Sclà các hàm số củaa, b, c, khi đó
1. NếuSa, Sb, Sc≥0thìS ≥0.
2. Nếua≥b ≥cvàSb, Sb +Sc, Sb+Sa≥0thìS≥0.
3. Nếua≥b ≥cvàSa, Sc, Sa+ 2Sb, Sc+ 2SbthìS ≥0.
4. Nếua≥b ≥cvàSb, Sc ≥0, a2Sb+b2Sa ≥0thìS≥0.
5. NếuSa+Sb+Sc≥0vàSaSb+SbSc+ScSa ≥0thìS ≥0
4.2. Một vài bài toán minh họa
Tiếp theo, tác giả xin giới thiệu một số bài toán khá thú vị, có kết hợp dùng chương trìnhhsos mà tác giả đã tự xây dựng trên nền Maple để giải quyết. Ý tưởng thực hiện và cách vận hành của nó sẽ giới thiệu ở mục sau.
Bài toán 1 Cho các số thựca, b, ckhông âm sao choab+bc+ca >0. Chứng minh rằng:
s
a2+bc b2+bc+c2 +
s
b2+ca c2+ca+a2 +
s
c2+ab
a2+ab+b2 ≥√ 6
Lời giải.Đặt
A= s
a2+bc b2+bc+c2 +
s
b2+ca c2+ca+a2 +
s
c2+ab a2+ab+b2,
B = (a2+bc)2(b2 +bc+c2)(2a+b+c)3+ (b2+ca)(c2+ca+a2)(2b+c+a)3 + (c2+ab)(a2+ab+b2)(2c+a+b)3 Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có
A2B ≥
(a2+bc)(2a+b+c) + (b2+ca)(2b+c+a) + (c2+ab)(2c+a+b)3
Do đó ta chỉ cần chứng minh
hX(a2+bc)(2a+b+c)i3
≥6X
(a2+bc)2(b2+bc+c2)(2a+b+c)3
Đến đây bậc của bất đẳng thức khá cao và khá khó xử lí, và một lần nữa máy tính lại chứng tỏ được sức mạnh. Sử dụng chương trìnhhsos, ta có thể phân tích bất đẳng thức trên thành dạng S.O.S như sau:
Sc(a−b)2+Sb(c−a)2 +Sa(b−c)2 ≥0 Trong đó
Sc= 2(a7+b7) + 9c(a6+b6) + 7ab(a5+b5) + 36abc(a4+b4) + 9a2b2 + 27abc2
(a3+b3) + 60a2b2c(a2+b2) + 3a3b3(a+b) + 72a2b2c2(a+b) + 72a3b3c+ 6a2b2c3
Tương tự vớiSa, Sb.
Máy tính đưa ra phân tích này trong1.484s1, mặt khác dễ thấySa, Sb, Sc≥0doa, b, c≥0.
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khia=b=c.
Bài toán 2 Cho các số thực dươnga, b, chãy chứng minh bất đẳng thức sau luôn đúng:
f(a, b, c) =a3+b3 +c3+ 3abc−ab(a+b)−bc(b+c)−ca(c+a)≥0 Lời giải.Sử dụng phần mềmhsosđược viết trên nền Maple ta thu được phân tích như sau:
f(a, b, c) = (a+b−c) (a−b)2+ (b+c−a) (b−c)2+ (c+a−b) (c−a)2 Máy tính đưa ra phân tích này trong0.188s, mặt khác không phảiSa, Sb, Scluôn dương.
Không mất tính tổng quát giả sửa≥b ≥c, ta có
Sb =a+c−b≥0vàSb+Sc= 2a≥0vàSb +Sa = 2c≥0 nên bất đẳng thức này đúng theo tiêu chuẩn 2.
Đẳng thức xảy ra khia=b =choặca=b, c= 0cùng các hoán vị tương ứng.
4.3. Vài dòng về chương trình hsos
Trong mục này ta sẽ tìm hiểu sơ lược về chương trìnhhsos và ý tưởng thuật toán vận hành nó như thế nào.
4.3.1. Giới thiệu khái quát về chương trình hsos
Chương trìnhhsosđược viết bằng ngôn ngữ lập trình Maple bởi tác giả và một số "đồng nghiệp"
người Trung Quốc vào năm 2009. Phiên bản1.0của chương trình chỉ hoạt động đối với các bất đẳng thức dạng đa thức, đến phiên bản2.0mới hoạt động được với các bất đẳng thức dạng phân thức. Phiên bản hoàn chỉnh3.0hoàn chỉnh vào năm 2011. Hiện chương trình vẫn còn trong giai đoạn phát triển, phiên bản tiếp theo tập trung vào việc phát triển thuật toán cho các bài toán dạng căn. Tuy nhiên, vẫn còn trong giai đoạn kiểm thử nên tác giả chưa thể công bố rộng rãi.
1Tất cả các tính toán có liên quan đến thời gian đều được thực hiện trên cùng một máy tính sử dụng bộ xử lý Intel(R) Core(TM) i7-4510U 2.00GHz, bộ nhớ Ram 8Gb.
4.3.2. Thuật toán
Bước một: Kiểm tra điều kiện cần và đủ củaf(a, b, c):
+ Điều kiện cần:f(a, a, a) = 0.
+ Điều kiện đủ:f(a, b, c)là đa thức đồng bậc và đối xứng.
Nếu thỏa mãn cả hai điều kiện ta đi đến bước hai. Nếu không kết thúc.
Bước hai: Khai sinh đa thức có bậcn−2, với nlà bậc của đa thứcf(a, b, c)cần phân tích gắn kèm với hệ số tự do.
Bước ba: Giải hệ tự do, sau đó đưa ra kết quả nếu hệ tự do có nghiệm.
4.3.3. Ví dụ minh họa
Ví dụ.Hãy thực hiện phép phân tích S.O.S cho các đa thức sau đây:
1. a3+b3+c3−(a2b+b2c+c2b) 2. a2+b3+c4−ab−a2b−a3c 3. a3+b3+c3−a2b−b2c−c2a Phân tích.
1. Bước một: Đa thức không có dạng hoán vị vòng quanh. Phân tích kết thúc.
2. Bước một: Đa thức không có dạng hoán vị vòng quanh. Phân tích kết thúc.
3. Bước một: Đa thức này thỏa mãn cả điều kiện cần và đủ, nện ta sẽ thực hiện phân tích S.O.S cho nó:
Bước hai: Sinh đa thức tự dof(a, b, c)có bậcn = 3−2 = 1là f1(a, b, c) =m1a+m2b+m3c Từ đây ta có dạng S.O.S cần tìm là:
fsos = (am1+bm2+cm3) (a−b)2+ (am3+bm1+cm2) (b−c)2+ (am2+bm3+cm1) (c−a)2
Giải phương trìnhf(a, b, c) = fsosta có nghiệm(m1, m2, m3) = (2,1,0).
Vậy ta được
a3+b3+c3−a2b−b2c−c2a = (2a+b) (a−b)2+ (2b+c) (b−c)2+ (2c+a) (c−a)2