MỘT BỔ ĐỀ VỀ PHÂN GIÁC
3. Mở rộng bài toán
Bài toán gốc là một kết quả rất đẹp của hình học phẳng về vấn đề phân giác. Lời giải 2ta chỉ sử dụng tính chất của đường phân giác ở gócAcủa4ABC.Lời giải 3lại liên quan đến vấn đề tiếp tuyến tại điểmAcủa(ABC)nên ở các bài toán tiếp theo ta sẽ có những mở rộng choBài toán 1.
Bài toán 11. 4ABC nội tiếp đường tròn (O), đường phân giác trongAD. I là một điểm di chuyển trênADsao choI,Acùng nằm trên một mặt phẳng bờBC. GọiE,F là giao điểm của BI vớiAC,CI với AB. EF cắt(O)tạiM, N.M I, N I theo thứ tự cắt(O)tạiP,Q. Chứng minh rằngP Qsong songBC.
Trường hợp này ta thấy khi vẽ đường phân giác ngoài của gócA cắtBI, CI thì cho hai điểm không còn đặc biệt nữa. Nhưng để ý thấyBI,CIcắt lần lượt các đường tròn(ACI)và(ABI) thì quan hệ giữa các góc sẽ rõ ràng hơn.
Chứng minh. GọiS,T lần lượt là giao điểm củaBI và(ACI),CIvà(ABI), từ đây:
F IãF T =F AãF B =F NãF M Nên tứ giácN IM T nội tiếp. Tương tự tứ giácN IM Snội tiếp.
Ta có:
(T B, T C) = (T B, T I) = (AB, AI) = (AI, AC) = (SI, SC) = (SB, SC) Do đó tứ giácT BCSnội tiếp.
Gọidlà tiếp tuyến tạiI của đường tròn đi qua các điểmN,I,M,S,T, ta có:
(BC, BI) = (T I, T S) = (Id, IS) Suy radsong songBC. Mặt khác:
(P I, P Q) = (N M, N I) = (IM, Id) Suy radsong songP Q. Do đó ta kết luậnP Qsong songBC.
Vậy bài toán đã được giải xong.
Nhận xét.Lời giải trên vẫn sử dụng kỹ thuật biến đổi góc cùng với phương tích. Tuy nhiên rõ ràng trong bài toán mở rộng nó đã được dùng khéo léo để vận dụng hết các dữ kiện mở của bài toán.
Bài toán tiếp theo là một mở rộng của bài toán trên khi khai thác dữ kiện hai đường tròn ngoại tiếp4ABI và4ACI:
Bài toán 12. Cho4ABC, điểmDnằm trên phân giác trongdcủa gócA. Trong4ABC, gọi d1,d2 là hai đường thẳng đi qua Ađối xứng nhau quad sao chod1 nằm trên mặt phẳng chứa B bờd. QuaDkẻ đường thẳng song song vớiBC cắtd1,d2lần lượt tạiX,Y.BX cắtAC tại E, CY cắtAB tạiF. Đường thẳngEF cắt(ABC)tạiM, N. TiaM Y, N X cắt(ABC)lần thứ hai tạiP, Q. Chứng minhP Qsong songBC.
Chứng minh. Kéo dàiBEcắt(AXC)tạiH,CF cắt(ABY)tạiG. Khi đó do:
(GB, GC) = (AB, AY) = (AX, AC) = (HB, HC) Nên tứ giácGHCB nội tiếp. Từ đây suy raGHY X nội tiếp. Mặt khác do:
F GãF Y =F AãF B =F NãF M
NênGN Y M nội tiếp, tương tự HM XN nội tiếp. Do đó sáu điểmG, N, X, Y, M, H cùng thuộc một đường tròn. Từ điều này ta có:
(XY, XQ) = (M P, M N) = (QP, QX)
Như thếXY song songP Q. MàXY song songBCnênP Qsong songBC.
Vậy bài toán đã được giải xong.
Ngoài ra,Bài toán 12còn một khai thác về đường thẳng song song vớiBC nữa ở bài toán sau:
Bài toán 13. Cho4ABC, điểmDnằm trên phân giác trongdcủa gócA. Trong4ABC, gọi d1,d2 là hai đường thẳng đi qua Ađối xứng nhau quad sao chod1 nằm trên mặt phẳng chứa B bờd. QuaDkẻ đường thẳng song song vớiBC cắtd1,d2lần lượt tạiX,Y.BX cắtAC tại E, CY cắtAB tạiF. Đường thẳngEF cắt (ABC)tạiM, N. TiaM D, N Dcắt (ABC)lần thứ hai tạiP,Q. Chứng minhP Qsong songBC.
Trong Bài toán 11, ta lần lượt có B, I, E và C, I, F thẳng hàng và ta để ý thấy đường nối tâm của(ABI)và(ACI), đường thẳngEF, tiếp tuyến tạiAcủa(ABC)đồng quy. Vậy trong trường hợpB,I,EvàC,I,F không còn thẳng hàng nhưng vẫn giữ nguyên tính chất ba đường thẳng ấy đồng quy thì như thế nào? Ta có bài toán thú vị như sau:
Bài toán 14. Cho4ABC nội tiếp đường tròn(O), đường phân giác trong AD.I là một điểm di chuyển trên đướng thẳngAD. GọiO1,O2lần lượt là tâm của(ABI)và(ACI). Tiếp tuyến tạiAcủa(O)cắt đường thẳngO1O2 tạiX. Một đường thẳng quaXcắt(O)tạiM,N. Các tia M I,N I theo thứ tự cắt(O)tạiP,Q. Chứng minhP Qsong songBC.
Ở bài toán này ta thấy rõ ràng không thể sử dụng việc kéo dài BI, CI được nữa vì M, N di chuyển tùy ý nên khó định hướng được việc xài phương tích, nhưng với bổ đề đã được nêu ởLời giải 3của bài toán gốc thì bài toán trở nên rõ ràng hơn.
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sửN nằm giữaX vàM. Ta cóX nằm trên đường trung trực củaAI nênXA =XI. Áp dụngBổ đềcủaBài toán 1cho tam giácAM N vớiAI, M I,N I cắt(ABC)lần lượt tạiY,P,Qvà chú ýBY =CY.
đượcP Y =QY suy raP B =QC. Từ đây dễ dàng suy raP Qsong songBC.
Vậy bài toán đã được giải xong.
Cuối cùng, tác giả xin đưa ra một số bài tập để bạn đọc rèn luyện thêm về các tính chất thú vị này:
Bài toán 15. Cho 4ABC nội tiếp đường tròn (O). I là một điểm di chuyển trên phân giác trong `của gócAsao cho I,A cùng nằm trên một mặt phẳng bờBC. Gọi E,F là giao điểm củaBI vớiAC,CI vớiAB.EF cắt(O)tạiM,N. M I,N I theo thứ tự cắt(O)tạiP, Q, cắt đường thẳngBC tạiL,K.
a) GọiY,Zlần lượt là giao điểm củaBI và(ACI),CIvà(ABI). Chứng minh rằng bốn điểm L,K,Y,Z cùng nằm trên đường tròn tâmX.
b) GọiDlà giao điểm của`và(O). Chứng minh rằng khiP,Qlần lượt chiaIL,IK theo cùng tỉ sốkthìDcũng chiaIX theo tỉ sốk.
TừBài toán 15ta có một khai thác như sau:
Bài toán 16. Cho4ABC, đường phân giác trongADcủa gócA(DthuộcBC).Ilà một điểm di chuyển trên cạnhADvớiI khácAvàD.BI cắtAC tạiE,CI cắtABtạiF. Đường thẳng EF cắt(ABC)tạiM,N. M I,N I cắt đường thẳngBC lần lượt tạiL, K. Chứng minh rằng các đường thẳngM K,N Lgiao nhau tại một điểm cố định khiIthay đổi.
Bài toán 17. Cho4ABC, đường phân giác trongBE, CF. EF cắt(O) tại M, N. Chứng minh rằngM,N là tiếp điểm của hai tiếp tuyến chung của(ABC)và đường tròn bàng tiếp góc Acủa4ABC.
Bài toán 18. Cho4ABC, hai tiếp tuyến chung ngoài`1, `2 của (ABC)và đường tròn bàng tiếp góc A. Đường thẳng BC cắt `1, `2 lần lượt tạiD, E. Chứng minh rằng AD, AE là hai đường đẳng giác của4ABC.
Bài toán 17vàBài toán 18có thể tham khảo ở [3].
Tài liệu
[1] Two parallels
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h550786 [2] Two parallels generalization problem.
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1147664p5418246 [3] Common tangents problem.
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h385175p3753324 [4] Bisects segment problem.
https://www.facebook.com/groups/Loicenter/permalink/982284725178035