Ví dụ minh họa Ví dụ 1.
Chủ đề: Một số phương trình lượng giác thường gặp 1. Giải phương trình: 5sinx + 2cosx = 4 Giải:
Kiến thức kĩ năng vận dụng:
Điều kiện có nghiệm của phương trình asinx + bcosx = c là a2 + b2 c2
Hoặc có thể kiểm tra, thấy cosx
2 = 0 không là nghiệm phương trình, khi đó bằng cách đặt t = tgx
2 và sử dụng các công thức lượng giác sinx = 2t2 1 t và
cosx =
2 2
1 t 1 t
để quy về phương trình bậc 2 với t; giải phương trình lượng giác;
loại các giá trị của x làm cho cosx 2 = 0.
Cụ thể:
- Do có a2 + b2 = 9 < c2 = 16 nên phương trình đã cho vô nghiệm - Hoặc đặt t = tgx
2 và áp dụng các công thức sinx = 2t2
1 t và cosx =
2 2
1 t 1 t
đi
đến phương trình 6t2 - 2 5t + 2 = 0. Phương trình này nên vô nghiệm (có = - 7 < 0), vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
2. Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm:
a) sinx.tgx + 2cosx = 3
2 b) sin2x - cos22x = 2
Giải: 3
a) KT-KN vận dụng:
Chuyển về phương trình bậc hai đối với sinx hoặc cosx Cụ thể, với điều kiện: cosx 0, ta có phương trình:
sin2x + 2cos2x - 3 2 cos
2x = 0 2cos2x - 3cosx + 2 = 0.
Khi đó, đặt t = cosx, t 1, ta có phương trình là: 2t2 - 3t + 2 = 0.
Dễ thấy phương trình này vô nghiệm, suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
b) KT-KN vận dụng:
Điều kiện có nghiệm của phương trình asinx + bcosx = c là a2 + b2 c2
Cụ thể, đưa phương trình đã cho về dạng: 6sin2x - 3cos2x = 7, khi đó có a = 6, b = - 3, c= 7 và a2 + b2 = 45 < c2 = 49 nên phương trình đã cho vô nghiệm.
3. Tim giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
y = cosx 2sin x 2 sin x
Giải:
KT-KN vận dụng:
- Điều kiện có nghiệm của phương trình asinx + bcosx = c là a2 + b2 c2 - Tập giá trị của hàm số
Cụ thể: Vì 2 - sinx > 0, x nên tập xác định của hàm số đã cho là R. Gọi y0 là một giá trị của hàm số, khi đó phải tồn tại x R sao cho:
y0 = cosx 2sin x 2 sin x
hay phương trình: cosx + ( y 0 - 2 )sinx = 2y0
phải có nghiệm 1 + ( y0 - 2 )2 4y02
3y02 + 4y0 - 5 0
48
2 19 3
y
0 2 19
3
- Dấu đẳng thức xảy ra khi 0
0
cosx sin x
tgx y 2
1 y 2
- Vậy miny = 2 19 3
khi x = arctg 8 19 3
+ k
và maxy = 2 19 3
khi x = arctg 8 19 3
+ k
Ví dụ 2.
Chủ đề: Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
1. Cho tứ diện S.ABC có SA = SB = SC. Gọi Sx, Sy, Sz tương ứng là các tia phân giác ngoài của các góc BSC, CSA, ASB . Hỏi các đường thẳng Sx, Sy, Sz có cùng thuộc một mặt phẳng không? Tại sao?
Giải:
KT-KN vận dụng: Trong không gian, các đường thẳng cùng đi qua một điểm và cùng song song với một mặt phẳng thì cùng thuộc một mặt phẳng.
Cụ thể: Từ giả thiết SA = SB = SC suy ra Sx // BC, Sy // AB và Sz // AC. Từ đó, suy ra được Sx, Sy, Sz cùng thuộc một mặt phẳng đi qua điểm S và song song với (ABC)
2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với các cạnh bên là AA’, BB’, CC’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B’C’.
a) Chứng minh rằng AM // A’M’.
b) Tìm giao điểm của mặt phẳng (AB’C’) với đường thẳng A’M.
c) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (AB’C’) và (BA’C’).
d) Tìm giao điểm G của đường thẳng d với mặt phẳng (AMA’). Chứng minh rằng G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
Giải:
KT-KN vận dụng:
- Quan hệ liên thuộc giữa các đối tượng, điểm, đường thẳng, mặt phẳng
- Tính chất song song của hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian
Cụ thể: Từ giả thiết
a) có MM’ // BB’ và MM’ = BB’ nên tứ giác AA’M’M là hình bình hành. Suy ra AM // A’M’.
b) mặt khác A’MAM’ = I nên A’M ( AB’C’) = I
c) gọi O = AB’ A’B thì ( AB’C’) ( BA’C’) = C’O, vậy d là C’O;
z y x
A B
C S
I G
M M'
O
C' B'
A
B
C A'
d) gọi G = C’O AM’ thì G là giao của hai trung tuyến, nên G là trọng tâm của tam giác AB’C’.
3. Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Qua trung điểm M của cạnh AA’, dựng mặt phẳng () song song với 2 đáy của hình hộp ấy. Gọi O và O’ lần lượt là giao điểm của hai đường chéo của hai đáy ABCD, A’B’C’D’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OD và O’C’.
a) Xác định giao điểm K của IJ với mặt phẳng ().
b) Điểm K chia đoạn IJ theo tỉ số nào ? Giải:
KT-KN vận dụng:
- Quan hệ liên thuộc giữa các đối tượng, điểm, đường thẳng, mặt phẳng
- Tính chất song song của hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian
- Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
- Tính chất của hai mặt phẳng song song - Định lí Talet trong không gian
Cụ thể: Từ giả thiết
a) Gọi m và n tương ứng là các đường thẳng đi qua I và J đồng thời song song với CD. Gọi R và S tương ứng là giao điểm của m với BD, AC. Gọi T và U tương ứng là giao điểm của n với A’C’, B’D’. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của ST và RU với MQ và NP. Gọi () là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng m và n, khi đó nó chứa đường thẳng IJ và song song với (ABB’A’), do đó nó cắt () theo giao tuyến EF. Khi đó, EF IJ = K là điểm cần dựng.
b) Áp dụng định lí Talet cho 3 mặt phẳng (), (ABCD), (A’B’C’D’) và 2 cát tuyến AA’, IJ ta có: A ' M JK
MA KI 1
4. Cho 2 nửa đường thẳng chéo nhau là Ax và By. Hai điểm M, N tương ứng di động trên Ax và By.
a) Hãy chỉ ra một mặt phẳng (P) chứa By và song song với Ax. Đường thẳng kẻ từ M song song với AB cắt mặt phẳng (P) tại E. Tìm tập hợp điểm E.
b) Khi M và N di động sao cho AM = BN, chứng minh rằng đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Giải:
KT-KN vận dụng:
- Quan hệ liên thuộc giữa các đối tượng, điểm, đường thẳng, mặt phẳng - Tính chất song song của hai đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian
- Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng
- Tính chất của hai mặt phẳng song song
Cụ thể: Từ giả thiết
50
K E F
I J
O O'
N Q P
M
D' B'
C'
D
A B
C A'
t'
t x
z
y E
A
B
M
N
n U T
S m R
a) Dựng Bz//Ax Ax//(By,Bz), khi đó (P) chính là mặt phẳng (By,Bz).
Gọi (Q) là mặt phẳng (Ax, Bz).
Vẽ ME // AB (E Bz) E thuộc giao tuyến của (P) và (Q) là Bz.
Khi M A thì E B nên tập hợp các điểm E là tia Bz.
b) AM = BN và AM = BE nên BNE cân, đỉnh B.
Dựng các đường phân giác trong và ngoài của góc B tương ứng là Bt và Bt’ thì Bt côs định và phải có Bt Bt’. Mặt khác NE Bt nên suy ra được Bt’ // NE. Gọi R là mặt phẳng ( AB, Bt’) thì (R) cố định. Do ME // AB ME // (R), NE // (R) nên (MNE) // (R) MN // (R) cố định.