CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP sử DỤNG PHẦN MỀM GEOGEBRA TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC 9
2.2.3. Biện pháp 3: Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ phát hiện yếu tố bất biến
biến trong bài Toán Hình học 9.
Yếu tố bất biến là các yếu tố trong hình học mà không thay đổi khi đối tượng hình học chịu sự biến đổi. GeoGebra cung cấp công cụ để xác định và phát hiện các yếu tố bất biến trong bài Toán hình học. GV có thể lập trình trong GeoGebra để tạo một môi trường tương tác và tự động hóa quá trình phát hiện yếu tố bất biến trong các bài Toán hình học.
Ví dụ 6 (Thi chọn Học sinh giỏi Toán lớp 9, Thị xã Hà Đông, Hà Tăy, năm học 2002- 2003) Cho đường tròn tâm o, một dây AB cố định, c là một điểm chuyến động trên cung nhỏ AB. Gọi M là trung điếm của dây BC, từ M vẽ MN vuông góc với tỉa AC (N
CAC). Chứng minh răng MN luôn đi qua một điêm cô định.
y
Các kỹ năng vẽ hình học sinh cân được rèn luyện trong ví dụ này:
9
-Vẽ đường tròn tâm C: Vào biêu tượng . GeoGebra tự động vẽ đường tròn và kí
hiệu là (c) tâm o.
r 9 9
- Lây hai diêm A, B trên đường tròn: Vào biêu tượng
A
trên thanh công cụ, di
\ 9
chuột sang miên làm việc và nháy chuột. Chọn 2 diêm A,B.
- 2 . 9 . 9
- Vẽ đường kính AD: Vào biêu tượng đường thăng * , chọn đoạn thăng . Nháy
9 9 y 9
chuột được AD. Kẻ dây cung AB: Vào biêu tượng đường thăng ' , chọn đoạn thăng
. Nháy chuột được AB.
42
/ 9 ____ 9
- Lây điêm c trên cung AB: Vào biêu tượng
miền làm việc và nháy chuột chọn điểm c.
trên thanh công cụ, di chuột sang
9 __ 9 9
- Kẻ đoạn thăng AC: Vào biêu tượng đường thăng ’ , chọn đoạn thăng
r _ _ _ _ 2 . 9
chuột được AC. Lây M là điêm giữa BC: Vào biêu tượng
. Nháy
nháy chuột vào hai điểm là hai đầu của đoạn thẳng BC, chọn M, GeoGebra tự động chọn trung điểm.
9
- Kẻ MN vuông góc với AC: Vào biêu tượng
9 ____ ___ ____
đê vẽ tam giác ABC. Được Hình 1.14a.
r __ 9
- Lây thêm hai vị trí M khác trên (O): Vào biêu tượng
A
trên thanh công cụ, di
chuột sang miên làm việc và nháy chuột chọn diêm M và lặp lại các thao tác trên,
9 __ . 2 . _
được Hình 1.14b và 1.14c. Các đường thăng MN luôn đi qua điêm giữa E của BD.
Hình 1.14a Hình 1.14b
5
2 . 9
Hoặc cho c chuyên động trên cung nhỏ AB, MN (đường màu xanh) luôn đi qua diêm giữa E của BD. (Hình 1.14d)
Hình 1.14c Hình 1.14d
Chứng minh: Góc ACD = AMN = 90°. Suy ra MN//CD. Vì M là điểm giữa BC nên theo Định lí Thales E là điểm giữa BD. Vậy MN luôn qua điểm cố định M.
43
Ví dụ 7 (Thi vào ỈO trường Phô thông năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, năm học 2003-2004) Cho đường tròn (C) tâm o và một điếm A khác o nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đôi qua A nhưng không đi qua o cắt
(C) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua
2 r
một đíêm cô định khác o.
Hình 1.15a Hình 1.15b Hình 1.15c
Các kỹ năng vẽ hình học sinh cân được rèn luyện trong ví dụ này:
9
- Vẽ đường tròn tâm O: Vào biêu tượng . GeoGebra tự động vẽ đường tròn và
kí hiệu là (c) tâm o.
r 2 A _ 9
- Lây diêm A trong đường tròn: Vào biêu tượng
A
. * . trên thanh công cụ, di chuột sang miên làm việc và nháy chuột chọn diêm A.
- Lấy điểm M trên (O): Vào biểu tượng
làm việc và nháy chuột chọn điếm M.
•_ trên thanh công cụ, di chuột sang miên
- Kẻ đường thẳng AM cắt (O) tại N: Vào biểu tượng đường thẳng ' , chọn điểm hai điểm A, M.
r
- Dựng đường tròn ngoại tiêp o, M, N: Vào ® ±2. Khai báo ba điểm O,M,N.
- Kẻ đường thẳng qua A và O: Vào biểu tượng đường thẳng * , chọn điểm hai điểm
A, o cắt đường tròn (O) tại c và D và đường tròn (OMN) tại B. Được Hình L15a.
r __ 9
- Lây thêm hai vị trí M khác trên đường tròn (O): Vào biêu tượng
A
, . trên thanh
9
công cụ, di chuột sang miên làm việc và nháy chuột chọn diêm M và lặp lại các thao tác trên, được Hình L15b và L15c.
- Các đường tròn (OMN) luôn đi qua điêm cô định B là giao điêm của AO với đường tròn (OMN)
44
Hình 1.15d Hình 1.15e Hoặc cho M chuyển động trên đường tròn (O), đường tròn (OMN) luôn đi qua điếm
B cố định khác o (Hình 1.15d - Hình 1.15e).
9 ___ r
Chứng minh: Gọi c và D là giao diêm của AO với đường tròn (O). Vì A và D cô định nên c và D cố định. Vậy MN luôn qua điểm cố định A. Do AC AN ~ AMAD(g-g,
CA AN , _ _...
Hình 1.14d). Suy ra , hay CA.DA = AN.AM.
MA AD
Tương tự, ABMA ~ ANOA (g-g). Suy ra AB AN
—— = TTT- hay
AM AO AB.AO = AN.AM .
Vậy AB.AO = AC.AD hay AB = AC.AD
AO
9 • __. 2 A
không đôi. Điêm B năm trên đường thăng
AO cố định cách A một đoạn không đồi nên B cố định khi MN di động đi qua A.
Ví dụ 8 (Thi vào 10 trường Phổ thông năng khiếu, Đại học Quốc gia Thành phổ Hồ Chí Minh, năm học 2003-2004) Cho đường tròn (C) tâm o và một đường thắng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di động trên (d). Đường tròn đường kính 10 cắt (C) tại M và N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đỉ qua một điểm cổ định.
Các kỹ năng vẽ hình học sinh cần được rèn luyện trong ví dụ này:
- Vể đường tròn tâm O: Vào biêu tượng . GeoGehra tự động vẽ đường tròn và kí hiệu là (c) tâm o.
9 9 7 9
- Vẽ đường thăng (d): Vào biêu tượng đường thăng * , chọn vẽ đường thăng (d).
- Lấy điểm I trên (d): Vào biểu tượng . trên thanh công cụ, di chuột sang miên làm việc và nháy chuột. Chọn diêm I.
45
- Dựng đường tròn đường kính IO: Vào biểu tượng ’ . GeoGebra tự động vẽ đường tròn và kí hiệu là (c) tâm o cắt đường tròn (C) tại M và N.
- Kẻ OA vuông góc với (d) cắt MN tại B (A thuộc đường thẳng d): Vào biểu tượng
* > 2 __ _ f
, nháy chuột vào diêm B và đường (d), được Hình 1.16a. Lây thêm hai vị trí I
9
khác trên (d) : Vào biêu tượng trên thanh công cụ, di chuột sang miên làm việc
và nháy chuột, chọn 2 vị trí I và lặp lại các thao tác trên, được Hình 1.16b và 1.16c.
7 9
Các đường thăng MN luôn đi qua điêm cô định B.
Hình 1.16a Hình 1.16b
Hình 1.16c Hình 1.16d
Hoặc cho I chuyển động trên (d), đường thẳng MN luôn đi qua điểm B cố định (Hình 1.16d).
... „ ___ ______ , , „ oc OA
Chứng minh: Hai tam giác vuông OCB và OAI đông dạng. Suy ra——- - ——-
OB 01
46
hay OC.OI = OA.OB . Vì tam giác IMO vuông ở M nên OC.OI = OM2 = R2. Suy
ra OA.OB = R2hay OB =
OA không đôi. Vậy B năm trên đường vuông góc với (d)
hạ từ o và cách o một đoạn không đổi nên B cố định.
Ví dụ 9 (Thi chọn Học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Thừa Thiên-Huê, năm học 2004- 2005) Cho nứa đường tròn đường kính AB cố định, c là một điểm hất kì thuộc nửa đường tròn. Ở phía ngoài tam giác ABC vẽ các hình vuông BCDE, ACFG. Gọi Ax,
By là các tiếp tuyến của nửa đường tròn. Chứng minh rằng khi c di động trên nửa đường tròn đã cho thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đường thẳng
FG luôn đi qua một điểm cố định khác.
Các kỹ năng vẽ hình học sinh cần được rèn luyện trong ví dụ này:
,Ấ Q
- Vẽ nửa đường tròn đường kính AB: Vào biêu tượng . GeoGebra tự động vẽ đường tròn và kí hiệu là (c) tâm o.
- Vể nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với AB: Vào biểu tượng , nháy chuột vào điểm và đường đã cho.
- Lấy điểm c trên cung AB: Vào biểu tượng
miền làm việc và nháy chuột.
A
•_ trên thanh công cụ, di chuột sang
- Dựng hình vuông CBED và CAGF: Vào biểu tượng 9 chọn diêm A và diêm B.
Regular Polygon
Máy hỏi: 4 . Cân vẽ đa giác bao nhiêu cạnh thì thay 4 băng sô cạnh cân thiêt.
- DE căt By tại I, GF căt Ax tại K. Được Hình 1.17a.
r e # z -fl — —.
- Lây thêm một vị trí c khác trên cung AB và lặp lại các thao tác trên, được Hình 1.17b. Các đường thăng DE luôn đi qua diêm cô định I. Tương tự, các đường thăng
GF luôn đi qua điểm cố định K.
47
Hình 1.17a Hình 1.17b
___ 5 ______
Chúng minh Hai tam giác vuông ABC và BIE băng nhau vì 1BE = ABC (cùng phụ CIB) và BC = BE. Suy ra BI = AB. Vậy I cố định. Tương tự, hai tam giác vuông
ABC và AKG bằng nhau vì KAG = BAC (cùng phụ CAK) và AC = AG. Suy ra
AK = AB. Vậy K cố định.
Nhận xét: K và I là hai đỉnh của hình vuông cạnh AB.
Các ví dụ trên minh họa ràng việc sử dụng GeoGebra sè cung cấp một hồ trợ mạnh
mè cho việc rèn luyện các kỹ năng trí tuệ cho học sinh trong quá trình dạy học hình học như sử dụng tính động của GeoGebra để thay đổi hình vẽ mà vẫn giữ nguyên các giả thiết ban đầu, giúp học sinh phát hiện những bất biến ấn chứa trong hình vẽ hay tạo ra một môi trường giúp học sinh xem xét vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau, từ đó phát hiện ra các liên kết, mối quan hệ ẩn chứa bên trong hình vẽ.
Như vậy, học sinh không chỉ tiếp cận với yếu tố trực quan mà còn có cơ hội tìm hiểu, khám phá và dự đoán các bất biến ấn trong hình vẽ. Tù' đó hỗ trợ học sinh thực hiện các thao tác tư duy như phân tích, tổng họp, so sánh, tương tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa nhằm phát triển năng lực khái quát hóa cho học sinh.
(Bài báo “Sử dụng Geogebra vào dạy học diêm bất động của họ đường thắng hoặc đường cong” đã được các tác giả tóm tắt trong hội thảo quốc tế “Dạy và học Toán trong kỳ nguyên so” gửi đãng tạp chi ĐHSP ngày 30/12/2023) (Phụ lục 7)
48
2,2,4, Biện pháp 4: Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trọ'kiểm tra và phát hiện
một số giả thuyết hình học.
Sử dụng phần mềm GeoGebra hỗ trợ kiểm tra và phát hiện một số giả thuyết hình học tạo cơ hội cho HS khám phá Toán thông qua các bài toán kết thúc mở; qua đó
HS được khuyến khích khám phá bàng các hoạt động trải nghiệm Toán như quan sát, đặt câu hỏi và giả thuyết, đoán và thử, tìm kiếm quy luật... và được tự do theo đuổi
các ý tưởng Toán học phù hợp với mức độ nhận thức của mình.
Như đã trình bày trong phần trước, để vẽ được hình với GeoGebra HS cần hiểu chính xác các yếu tố của bài toán mới có thể dựng được hình đúng với GeoGebra, nếu sai tính động của GeoGebra sẽ làm lộ ngay lập tức lỗi sai khi dựng hình của HS. Việc tập thói quen dựng hình với phần mềm hình học động sẽ giúp HS tư duy chính xác các khái niệm trong bài toán được xây dựng thế nào. Bao gồm xác định chính xác các đối tượng, các mối quan hệ Toán học và thuật toán đế xây dựng các đối tượng, các mối quan hệ Toán học mới. Cách thực hiện: GV thường xuyên tổ chức cho HS
sử dụng phần mềm hình học động GeoGebra trong quá trình dạy học cho HS quan sát, hoặc cho HS tự mình thực hiện các thao tác vẽ hình (trong điều kiện cho phép).
Ta đã biết bài toán sau:
Ví dụ 10 (Torricelli) Vẽ bên ngoài tam giác ABC những tam giác đều AABD, ABCE, AACF. Khi đó AE, BF, CD đồng quy.
Trong tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 253 (tháng 7/1998), Nguyền Văn Ban có ý định
mở rộng định lý Torricelli như sau.
Giả thuyết (Nguyễn Văn Ban, [4]) Vẽ bên ngoài tam giác ABC những tam giác cân AABD, ABCE, AACF. sao cho
AD = BD = BE = CE = CF = AF.
Khi ấy AE, BF, CD đồng quy.
Nguyễn Văn Ban đã cho một phản ví dụ cụ thể bằng số chỉ ra giả thuyết trên là sai nhờ tính toán theo phương pháp tọa độ. Bài báo đã có phản hồi từ nhiều bạn đọc và
đã được tồng kết, bổ sung bởi Nguyễn Việt Hải trong [5]. Thí dụ, ta có các kết quả sau.
49
Bài toán 1 (Lê Hữu Dũng, THPT Lê Quý Đôn, Đà Nằng, [5]) về phía ngoài tam giác ABC dựng các tam giác AABD, ABCE, AACF cân tại đỉnh D, E, F và ba tam giác
này đồng dạng, thì các đường thẳng AE, BF, CD đồng quy.
Bài toán 2 (Nguyễn Hữu Bình, THPT Tùng Thiện, Hà Tây, [5]) về phía ngoài tam giác cân ABC dựng tam giác cân AABD, ABCE, AACF sao cho
AD = BD = BE = CE = CF = AF. Khi ấy AE, BF, CD đồng quy.
Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy (chỉ với một giả thiết khá hợp lí là các điểm D,E,F theo thứ tự phải nằm bên trong các góc
ACB, BAC, ABC.
Các bài toán trên có hai dữ liệu: Tam giác ABC và các tam giác AABD, ABCE, AACF được vẽ ra phía ngoài tam giác ABC tựa trên các cạnh của
tam giác ABC. Câu hỏi đặt ra là: Khi nào thì các đường thẳng AE, BF, CD đồng quy? Nếu tam giác ABC bất kì thì các tam giác AABD, ABCE, AACF phải thỏa mãn
thêm tính chất nào đó. Hoặc nếu thu hẹp lóp tam giác ABC (AABC cân) thì điều kiện đặt lên các tam giác AABD, ABCE, AACF nhẹ đi. Hoặc tìm điều kiện cần và đủ để
ba đường thẳng AE, BF, CD đồng quy. Các ý tường này đà được phân tích và thực hiện trong [17]. Dưới đây trình bày cách sử dụng Geogebra để kiểm tra giả thuyết hình học này theo [7].
Ta có thể sử dụng GeoGebra để kiểm tra giả thuyết hình học như sau:
Bài toán (Toricelli) Tam giác ABC bất kì và các tam giác AABD, ABCE, AACF đều.
Bước 1: Nháy chuột vào biểu tượng • * (đa giác), chọn * ’ " 1 ac , rê chuột sang vùng
*> 2 2 _
làm việc và nháy đê được diêm A. Rê chuột và nháy đê được các diêm B,c. Ta được tam giác AABC
9
Bước 2: Nháy chuột vào biêu tượng (đa giác), chọn !> Đa giác đêu , rê chuột sang
Đa giác đều
Càc điềm
9 • 2
vùng làm việc, nháy vào điêm B. Rê chuột và nháy vào điêm A. Máy hỏi
50
(4 đỉnh?). Khai báo lại: 3 (tam giác đều) và bấm phím OK. Máy tự động vẽ và kí hiệu tam giác đều AABD. Tương tự cho tam giác ABCE, AACF.
0 c - OcqnT-iirg:A. B.tl)
— 3
TenDoGiJii = DjGiiivfB. A. 3)
— 39
r' — Evrti’I H, A Inùlta GỉK1 ;
TcnDâGisrc2 DaGiac[€. 3.1;
7.6
i — C^nThaiẬlC. B. efiDaGjc2)
lvuDãGim.3 =■ I Tibia:. ; A. c. ỉ;
7.0
' F)ếìô íìTItâIIA.:’ 11 Ir>.=r.iac5;•
\hập lờìh -
Nguôn: tác giả
9
Bước 3: Vào biêu tượng ' .Vào Đoạn thảng . Nối A với E, c với D, B với F.
r 9 ____ ______________ _____________\
Hình vẽ cho thấy ba đường thăng AE, BF, CD đồng quy (Hình 1.18).
F
Vào Nhập lệnh... 9 _____ ____
Hình 1.18: Kiếm tra bài toán Toricelli (Bài toán 1) ĐồngQuy(p,q,r)--- J --- o/.
Đẻ tin tưởng hơn nữa, ta có nhập lệnh GiaoĐiểm( <Đối tượng>, <ĐỐỈ tượng> ) được kết quả (-0.6910516605;0.2025792896) là giao điểm của các đường thẳng (cho hình
đã vẽ):
51
G = GiaoĐiềm(p, q)
- (-0.6910516605, 0.2025792896)
H = GiaoĐiểm(q, r)
- (-0.6910516605, 0.2025792896)
I = GiaoĐiêm(p, r)
- (-0.6910516605, 0.2025792896)
Như vậy, ta có thể tin tưởng chắc chắn các đường thẳng AE, BF, CD đồng quy. Hơn nữa, khi ta vào biểu tượng 1 và di chuột để thay đổi tam giác AABC các điểm D, E,
F sẽ thay đổi theo, nhưng các đường thẳng AE, BF, CD luôn luôn đồng quy.
Bài toán 2: Tam giác AABC bất kì và các tam giác AABD, ABCE, AACF bên
ngoài tam giác AABC sao cho AD = BD = BE = CE = CF = AF.
Bước 1: Vẽ tam giác AABC.
Bước 2: Lấy một đoạn, thí dụ MN = R = 3cm.
Bước 3: Vẽ đường tròn d, e, f có tâm A, B, c bán kính R nhờ công cụ ' Compa . Các đường tròn này cắt nhau tại D, E, F. Khi ấy AD = BD = BE = CE = CF = AF.
Bước 4: Nối A với E, c với D, B với F. Hình vẽ cho thấy ba đường thẳng AE, BF,
CD có vẻ đồng quy (Hình 1.19a).
____ 9
Hình 1.19a: Ba đường thăng p, q, r có vẻ đông quy
’ . ’ K + Nhập lệnh... 1/V1 X Z1 , 1 ' . ni
Đê kiêm tra, ta vào và nhập lệnh: ĐôngQuy(h,i,j). Máy trả lời: false (sai).
52
Nhập lệnh GiaoĐẻn' Đõitưong> <ĐỐ tương>), thì tọa độ giao điểm các đường thẳng p,q; q,r; p,r không trùng nhau, tức là p,q, r không đông qui:
G = GiaoĐiẽm(p. q)
- (-0.66, -0.54)
H = GiaoĐiêm(q. r)
- (-0.91, -0.65)
I = GiaoĐiêm(p, r)
- (-0.56, -0.8)
_ _ _ . 9 [X KIM. ô A -4. Ấ ô > ô jT 9 . __
Vào biêu tượng và dùng chuột đê phóng to hình, ta thây các đường thăng AE, BF,
CD không đồng quy (Hình 1.19b).
Hình 1.19b: Ba đường thăng p, ợ, r không đông qui
Hơn nữa, vào biểu tượng và di chuột để thay đổi tam giác AABC hoặc đoạn thẳng
MN, các điểm D, E, F sẽ thay đổi theo, các đường thẳng AE, BF, CD có vẻ đồng qui, nhưng khi phóng to thì thấy chúng không đồng qui.
53
Như vậy, có thể tin tưởng chắc chắn, trong hầu hết các trường hợp, các đường thẳng AE, BF, CD không đồng quy.
Tóm lại, việc sử dụng các chức năng kiểm tra, tính toán của GeoGebra tạo ra một môi trường giúp học sinh xem xét vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau, từ đó phát hiện
ra các liên kết, mối quan hệ ẩn chứa bên trong hình vẽ, hồ trợ học sinh phát triển tư duy phân tích, tồng hợp, so sánh,... trong các bài toán hình học.
2.2.5. Biện pháp 5: Sử dụng phần mềm GeoGebra đế mô hĩnh hóa, mở rộng, phát triển bài toán.
Mô hĩnh hóa kết quả: Sau khi GV đã giải một bài toán và tìm ra kết quả, GV
có thể sử dụng GeoGebra để tạo một mô hình trực quan của kết quả đó. Ví dụ, nếu
GV đã tìm ra các giá trị của các đại lượng trọng yếu trong bài toán, GV có thề sử dụng các công cụ vẽ trong GeoGebra để vẽ đồ thị hoặc biều đồ của các giá trị đó. Điều này giúp GV hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các đại lượng và biểu thị kết quả một cách trực quan.
Đế mô hình hóa kết quả trong GeoGebra, GV có thê làm theo các bước sau:
- Xây dựng đồ thị hoặc hình học ban đầu: Sử dụng công cụ vẽ trong GeoGebra, tạo hoặc nhập các thành phần hình học và dữ liệu ban đầu vào không gian làm việc.
Ví dụ, GV có thế vẽ các đường thẳng, đường cong, hình chữ nhật hoặc hình tròn.
- Áp dụng công cụ và tính năng trong GeoGebra: Sử dụng các công cụ, phép toán và tính năng có sẵn trong GeoGebra để tạo ra các biến đổi và quy tắc cho các thành phần hình học và dữ liệu. Ví dụ, GV có thể sử dụng công cụ dịch chuyển, công
cụ xoay, công cụ tỉ lệ hoặc phép tính để biến đồi và thao tác với các đối tượng.
- Thiết lập điều kiện và ràng buộc: Sừ dụng công cụ tính toán và hệ thức cho các thành phần trong mô hình của GV. Điều này giúp GV áp dụng các điều kiện, ràng buộc hoặc quy tắc đối với các thành phần đề xác định mối quan hệ và tương tác giữa chúng.
- Xem và kiểm tra kết quả: Sừ dụng công cụ biểu đồ và điều chỉnh trong
GeoGebra, GV có thể xem và kiếm tra kết quả mô hình của mình. Điều này cho phép
GV thấy và hiểu rõ hơn về các quy luật, mối quan hệ và tương tác trong mô hình.
54