Công thức chuyển vị Maxwell - Morh là tổng quát, áp dụng cho hệ siêu tĩnh cũng như tĩnh định. Khi sử dụng công thức này ta cần quan niệm hệ tương ứng với hai trạng thái: trạng thái "m" là trạng thái thực của hệ, trạng
thái "k”là trạng thái khả dĩ tạo ra bằng cách đặt một lực = có vị trí và phương tương ứng với chuyển vị cần tìm. Ngoài ra cần chú ý là trạng thái
"k" phải xảy ra trên hệ giống như hệ đã cho.
Như vậy, muốn tìm chuyển vị trong hệ siêu tĩnh theo công thức (4.25) hoặc (4.33) ta cần:
+ Tính trạng thái "m"tức là tính hệ siêu tĩnh cho ban đầu (hình 5.33a).
4- Tính trạng thái "k"tức là tính hệ siêu tĩnh đó một lần nữa với lực
Trên hình 5.33b vẽ trạng thái "k" với giả thiết cần tìm chuyển vị ngang
tại c .
Do đó, để tính một chuyển vị nào đó trong hệ siêu tĩnh ta cần phải tính hệ siêu tĩnh hai lần với hai nguyên nhân khác nhau. Khối lượng tính toán sẽ nặng nề.
Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một cách khác đơn giản hơn.
A. Trường hợp hệ siêu tĩnh chịu tải trọng
Ta sẽ chứng minh:
Đ ể xác định chuyển vị trong hệ siêu trọng ta
+ Tính trạng thái "m"tức là tính hệ cho ban
+ Tính trạng thái "k".Trạng thái này hiện một hệ cơ
bản bất kỳ suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho.
+ Áp dụng các công thức chuyển vi đã ở chương 4. Nghĩa
AkP = (Mr)(MZ)+
J
(5.29)
trong đó:
(M p ) , (Rjp) - biểu đồ rrkômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ
j do tải trọng gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đầu;
( M ị ) , (Rjk ) - biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ
j do lực P/c - 1 có vị trí và phương tương ứng với chuyển vị cần
tìm, gây ra trong hệ cơ bản bất kỳ suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho.
Để cho đơn giản, từ đây về sau ta chỉ viết công thức chuyển vị cho trường hợp dầm và khung đồng thời biểu thị theo cách nhân biểu đồ; điều này không ảnh hưởng gì đến các kết luận chung.
Để chứng minh, ta xét hệ siêu tĩnh cho trên hình 5.33a. Giả sử chọn hệ cơ bản như trên hình 5.33c. So sánh hai hệ a) và c) ta thấy: nếu các lực X], X2
và X3 là nghiệm của hệ phương trình chính tắc khi tính hệ siêu tĩnh a)
theo hệ cơ bản c),thì hai hệ này sẽ làm việc hoàn toàn giống nhau nghĩa
là nội lực, biến dạng chuyển vị trong hai hệ hoàn toàn như nhau. Do đó, muốn xác định chuyển vị trong hệ a), ta chỉ cần xác định chuyển vị trong hệ cơ bản c).Để tìm chuyển vị trong hệ c) ta cần tạo trạng thái "k"trên hệ
tương ứng với hộ c) (hình 5.33d) tức là trên hệ cơ bản. Đó là điều cần chứng minh.
Chú ý:
1. Vi có thể tạo trạng thái T trên hệ cơ bản bất kỳ suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho, nên hệ cơ bản này có thể chọn khác với hệ cơ bản đã dùng khi tìm (Mp). Nên chọn hệ cơ bản sao cho biểu đồ M k đơn giản để nhân biểu đồ được dễ dàng.
2. Cũng có thể chứng minh dược:
4ằp--(M°p )(M k ) * ỵ R ° p F^ , (5.30)
j (Mp ) ,( R jp ) - biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ do tải
trọng gây ra trong hệ cơ bản;
(M k ),(R jk ) - biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đản hổi thứ do lực
Pk=1 có vị trí và phương tương ứng với chuyển vị cần tìm, gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đẩu.
Ví dụ 5.13.Xác định góc xoay tại nút của khung đã xét trong ví dụ 5.3.
Trong ví dụ 5.3 ta đã vẽ được biểu đồ (Mp) của
hệ (hình 5.170.
Để xác định góc xoay ở nút ta chỉ cần tạo trạng thái "k"trên hệ cơ bản suy ra từ siêu tĩnh đã cho
và vẽ biểu đồ (M°k ) (hình 5.34). Nhân biểu đồ
(Mp) với biểu đồ (M* ), ta được: Hình 5.34
<p = Eỉ
ỉ qa2 1
— - — .a.l + -- 2 14 2 28
qa
~56ẼỈ
Góc xoay cần tìm quay ngược chiều kim đồng hồ.
B. Trường hợp hệ siêu tĩnh chịu hiến thiên nhiệt chê tạo chiêu dài các thanh không chính xác, chuyển gối tựa
Ta vận dụng cách lập luận tương tự như trên để nghiên cứu chuyển vị trong trường hợp này.
Xét khung siêu tĩnh chịu tác dụng của sự biến thiên nhiệt độ (hình 5.35a).
Giả sử khi tính nội lực ta chọn một hệ cơ bản bất kỳ suy ra từ hệ siêu tĩnh đã cho như trên hình 5.35b. Nếu các lực ATà nghiệm của hộ phương trình
chính tắc thì hệ h) sẽ làm việc giống như hệ a). Do đó, muốn tìm chuyển vị trong hệ a)ta chỉ cần tìm chuyển vị trong hệ và trạng thái cần
tạo ra khi xác định chuyển vị của hệ có thể thực hiện trên hệ cơ bản (hình 5.35c).
Chuyển vị trong hệ b)do hai nguyên nhân gây ra:
+ Do các ẩn sốX: Vì nội lực do các lực Xgây ra chính là nội lực trong hệ
siêu tĩnh nên thành phần chuyển vị này bằng ( )(M,) + y £/* — .
j Lj
+ Do nhiệt độ: Cần chú ý rằng nhiệt độ chỉ không gây ra nội lực trong hệ
cơ bản tĩnh định nhưng vẫn gây ra chuyển vị. Gọi .A^ là thành phần
chuyển vị do thay đổi nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản.
Áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta có:
A , = ( M , x ũ ° k ) , ỵ s ị ĩ í + 4Ỉ , (5.31)
i
với
trong đó:
(Mt), Rj, - biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ do sự thay đổi nhiệt độ gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đầu;
í2(M k ), 0 ( N k )- diện tích biểu đồ mômen uốn và biểu đồ lực dọc
trong các thanh của hệ ở trạng thái "k" tạo ra trong hệ cơ bản tĩnh định tương ứng với hệ cơ bản tĩnh định đã chọn khi định thành phần thứ nhất của công thức (5.31).
Cũng lập luận tương tự như vậy ta có:
♦> Trường hợp hệ có các thanh chế tạo chiều dài không chính xác:
4 u = (Ma)(M£)+ỵ R ị Ĩ & - , (5.32)
J
với A°kA= Y Jẹ°kAĂ -
ị
❖ Trường hợp hệ chịu chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa:
4tz = (Mz)(M k ) + I R% , (5.33)
i
với A°k Z = - Ỵ R ] kZ ị .
j
Trong (5.32) và (5.33):
(Ma), RjA- biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ j do sự chế tạo chiều dài không chính xác gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đầu;
(Mz), RjZ - biểu đồ mômen uốn và phản lực tại liên kết đàn hồi thứ do chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa gây ra trong hệ siêu tĩnh ban đầu;
N,°k ,Rjk - lực dọc trong thanh thứ i và phản lực tại gối thứ j của hệ ở
trạng thái "k"được tạo ra trong hệ cơ bản tĩnh định tương ứng với hệ cơ bản tĩnh định đã chọn khi xác định thành phần thứ nhất của các
công thức (5.32) và (5.33).
Ví dụ 5.14. Xác định độ võng tại giữa nhịp thanh ngang của khung đã xét
ở ví dụ 5.6.
Nguyên nhân gây ra chuyển vị trong khung là nhiệt độ, do đó ta sử dụng công thức (5.31) để xác định chuyển vị cần tìm.
4 S = I j U 2 - t I )Q(M°k ) ^ Y Jcctc
Thứ tự thực hiện như sau:
1) Vẽ biểu dồ (Mt)Bài toán này
đã được khảo sát trong ví dụ 5.6, kết quả tìm được như trên hình 5.23.
2) Tạo trạng thái hệ cơ bản tĩnh định và vẽ các đồ ( Ĩẩ°k ), ị N k ) (hình 5.36a, b).
3) Xác định chuyển theo (5.31):
a) P
^ t i V n
' 1/4
b) P K=1
.M
1 r
o= 1/2 jo
/7 ỳ/1'ỉtĨ)T
Hình 5.36
Nl°
27M7T
A i = (M,)( M°k ) + ỵ . Ị . (t2 - 1,)Q(M°k ) + ỵ a t cn ( N ? ) =
h
1 l_3EIat EI 2
'3 2 Í a 1 1 , 3 ỉ r atl l “
— +— + — t ——l + —at — — _ 129 + 2 -
2 h h 2 4 2 2 2. h \
Dấu trừ chứng tỏ chuyển vị hướng ngược chiều với Pk tức là hướng lên
trên.
Ví dụ 5.15. Xác định chuyển vị ngang tại c của khung đã xét ở ví dụ 5.9.
Nguyên nhân gây ra chuyển vị trong khung là tải trọng và chuyển vị cưỡng bức, do đó ta sử dụng công thức (5.29) và (5.33) để xác định.
Thứ tự thực hiện như sau:
1) Vẽ biểu đồ (M).Bài toán này đã được khảo
sát trong ví dụ 5.9, kết quả tìm được như trên hình 5.28e.
Pk=1
Hình 5.37
2) Tạo trạng thái "k"trên hệ cơ bản và vẽ đồ ( M k Kết
quả như trên hình 5.37.
3) Xác định chuyển vị theo (5.33):
xc = (M)(Ũ ỉ)+ ỵRị - ỵ* Ặ Z . =
J cj J
_Ị_
Eỉ
1 2
— ma .— a 2 3 . + ỡ - [- / .d] = +ma'
6E1 6E1
ma3