Khi giải bài toán siêu tĩnh ta cần thực hiện khá nhiều những phép tính trung gian, do đó dễ mắc phải những sai ¡ầm hoặc sai lớn trong kết quả cuối cùng.
Để tránh những sai số lớn ta phải tính chính xác các phép tính trung gian.
Kinh nghiệm tính toán chứng tỏ: để bảo đảm cho kết quả cuối cùng được chính xác tới m con số thuộc phần thập phân thì các phép tính toán trung
gian cần phải thực hiện tới m+2 con số thuộc phần thập phân.
Để tránh xảy ra những sai lầm ta cần tiến hành kiểm tra kết quả. Biện pháp kiểm tra tốt hơn cả là vận dụng một số tính chất nào đó độc lập với các phép tính toán đã sử dụng.
Ngoài việc kiểm tra kết quả cuối cùng ta cần tiến hành kiểm tra từng khâu
trong quá trình tính toán để phát hiện ngay sai lầm đã mắc phải.
Dưới đây sẽ lần lượt trình bày cách kiểm tra kết quả trong từng khâu theo thứ tự khi giải bài toán siêu tĩnh với giả thiết hệ cơ bản được chọn là tĩnh định. Trong trình bày, để cho gọn, ta sẽ biểu thị cách tính chuyển vị theo kiểu nhân biểu đồ trong đó chỉ chú ý tới ảnh hưởng của biến dạng uốn. Tất nhiên, những kết luận dưới đây vẫn đúng cho các trường hợp tính chuyển vị theo kiểu tích phân hay có xét đến đầy đủ các yếu tố khác.
A. Kiểm tra quá trình tính toán
1. K iểm tra các biểu đồ đơn vị ( M k ) và biểu đồ
Vận dụng các liên hệ vi phân và điều kiện cân bằng của từng bộ phận được tách ra khỏi hệ như đã biết trong Sức bền vật liệu để kiểm tra.
2. K iểm tra c á c hệ s ố ỏ k m
Gọi RjS và ( M s )là phản lực tại liên kết đàn thứ j biểu đồ đơn
tổng cộng tức là biểu đồ mômen uốn do tất cả các ẩn Xj=
X*=...= X'n=Jtác dụng đồng thời trong hệ cơ bản. Có thể tìm các phản lực và biểu đồ này một cách độc lập hoặc bằng cách cộng các phản lực
Rjkvà các biểu đồ đơn VỊ ( Mk ):
Điều kiện kiểm tra
a) Kết quả tính tập hợp chuyển v tương ứng với tập hợp các lực Xi= X ĩ- ...- x k=...= x n= 1 đồng thời tác dụng do riêng lực x k= 1 gây ra
trong hệ cơ bản phải bằng tổng các hệ số thuộc hàng thứ k của hệ phương trình chính tắc.
R .R ( Mk ) ( M<;)+ Y ———— = ỏki+ ¿Ít2+ •••+ <%*+•••+ <%//• (5.36)
Thật vậy, thay các biểu thức (5.35) vào vế trái của (5.36) rồi khai triển, ta được:
R - R ( M k ) ( Ms ) + ỵ - j ^ = ( M k )[(Mi)+(M2)+...+(Mk )+...+(M„)] +
c i R j S - R j l + R j 2 + ■■■ + R jk + +
( M s ) = ( Mj ) +( M2)+...+(Mk )+...+(Mn ). (5.35)
j CJ
J 1
+...+
,( M tHũ l)+ ỵ Ĩ £ Ẽ jL + ( ũ tX ũ 2h. ỵ M j L
c ; c .
j j j J
+(Mt)(Mt)+ỵ ĩ j ỉ ĩ í +..MMtHM„)+ ỵĨẾỈỈL
c : c :
j J J J
= Ôkỉ+ ổic2+...+ Ổick+..+ ỏkn-
ĐÓ là điều cần chứng minh. Vận dụng điều kiện này ta sẽ kiểm tra các hệ số ỏkm theo từng hàng của hệ phương trình chính tắc.
b) Kết quả tính tập hợp chuyển v tương ứng với tập hợp các lực
Xi= X2 = . . . = Xk=...= xn= 1 đồng thời tác dụng do chính tập hợp các lực đó gây ra trong hệ cơ bản phải bằng tổng toàn bộ các hệ số ổkm
của hệ phương trình chính tắc.
(Ms )(Ms ) + ỵ R ịc R. 0
J cj
với k = 1,2....
m = 7,2,...,/ỉ. (5.37)
Ta dễ dàng chứng minh được điều kiện này nếu thay các biểu thức (5.35) vào vế trái của (5.37) rồi khai triển.
3. K iểm tra các s ố hạng tự do
a) Kịểm tra các Akp:Kết quả tính tập hợp chuyển tương ứng với tập hợp các lực X ì-X2=...= Xk=...= xn= 1 đồng thời tác dụng do các tải trọng gây ra trong hệ cơ bản phải bằng tổng các s ố hạng tự do Akp.
( Ms )(M ị ) + ỵ - ^ ị = A 1P + A2P (5.38)
j CJ
trong đó RjP là phản lực tại liên kết đàn hối thứ j do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản.
Thật vậy, thay các biểu thức (5.35) vào vế trái của (5.38) rồi khai triển ta được:
( Ms )(M°P ) + ỵ J ^ J L = [(M, )+( )] ) +
j cj
+ iRji +Rj2 +...
j cj
— RịpRịỊ — R ịpR /2
=( Ml ) ( M ị ) + Ỵ d- ^ - + ( M2)(M°P) + ỵ j - ^ - + . . . +
j cj j
H M„)<M°P ì + ỵ J h ỉĨ£ . +...+/ M„ )(Mị) + ỵ ỈJĩĨẺ .=
1 CJ
— A/p + A 2P + ...+ A kp + ...+ A np.
Đó là diều cần chứng minh.
b) Kiểm tracác Akt: Kết quả tính tập hợp chuyển tương ứng với tập hợp các lực X i = x2=...= xk=...= Xn = 1 đồng thời tác dụng do sự thay
đổi nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản phải bằng tổng các số hạng tự do Akt.
ỵ . - i h - t l ) ỹ ( M s ) + Y iatcĩ ( ẹ s ) = f j A (5.39)
h
trong đó Q( M s )và Í2(NS ) lần lượt là diện tích biểu đồ mômen uốn
và diện tích biểu đồ lực dọc do các lực Ẩ2= ... = đồng thời cùng tác dụng gây ra trong các đoạn thanh của hệ cơ bản.
Nếu chú ý là theo nguyên lý cộng tác dụng, ta có:
0 (MS) = n(MĂ) + ĩ(M2) + - + &(Mk) + ... + n(M n) ;
Í2(ẹS) = ĩ(ẹj ) + n ( ẹ 2) + ... + ĩ(ẹk ) + ... + Í2(ẹ„),
thì sau khi thay các biểu thức này vào vế trái của (5.39) ta dễ dàng chứng minh được điều kiện kiểm tra (5.39).
c) Kịểm tra gác AkA-Kết quả tính tập hợp chuyển tương ứng vơi tập hợp các lực X i= X ỉ-.. - Xk-...-x n= 1 đổng thời tác dụng do sự chế
tạo chiều dài của thanh không chính xác gây ra trong hệ cơ bản phải
bằng tổng các sổ hạng tự do AkA-
X Ã U - = Ỉ A a. (5.40)
/ *=/
iV,s là lực dọc trong thanh thứ / do các lực X2 = ...= X/c =...= Xti
đồng thời cùng tác dụng gây ra trong hệ cơ bản.
Nếu chỳ ý là NịS =Ku + ẹi2 + ... + ẹĂk
thì sau khi thay biểu thức này vào vế trái của (5.40) ta dễ dàng chứng minh được điêu kiện kiểm tra (5.40).
d) Kịểm tra các Akz:Kết quả tinh tập hợp chuyển tương ứng với tập
hợp các lực X i= X2- ...-Xk-...- x n 1 đồng thời tác dụng do chuyển
vị cưỡng bức tại các gối tựa gây ra trong hệ cơ bản phải bằng tổng các số hạng tự do Akz nhưng trái dấu
(5.41)
X RjsZjm - -X
i k=
RjS là phản lực tại liên kết thứ j do các lực X2 =...= Xk =...= = đồng thời cùng tác dụng gây ra trong hệ cơ bản.
Nếu chú ý là RjS =Rj j + Rj2 +... + Rjk +... + Rjn thì sau khi thay
biểu thức này vào vế trái của (5.41) ta sẽ chứng minh được điều kiện kiểm tra (5.41).
4. Kiểm tra kết quả giải hệ phương trìn h chính tắc.
Nếu cách giải hệ phương trình chính tắc được áp dụng không có điều kiện kiểm tra riêng biệt thì sau khi tìm được các ẩn số Xk ta cần thay những giá trị vừa tìm được của Xk vào hệ phương trình ban đầu, khi tìm được các ẩn số Xk đúng thì các phương trình chính tắc đều bằng không.
Tuy nhiên, trong thực hành tính toán, do hậu quả của việc làm tròn các số liệu tính toán trung gian đến một số hữu hạn các số thuộc phần thập phân nên sau khi thay thế các lực Xk tìm được vào hệ phương trình chính tắc ban đầu, kết quả thường khác không. Để đánh giá sai số, trong mỗi phương trình ta có thể tập hợp các số liệu và biểu thị kết quả tính bằng hiệu của hai số A và B. Nói chung A- B #0. Mức độ sai số được biểu thị qua sai số tỉ đối e
e = A - J i x I 0 0 ( % A
Tùy theo yêu cầu về mức độ chính xác cần thiết của công tác thiết kế, người ta quy định sai số tỉ đối cho phép [£•] và người thiết kế phải tính toán sao cho bảo đảm được điểu kiện £•<[£■].
B. Kiểm tra kết quả cuối cùng
Để kiểm tra kết quả cuối cùng (thường là biểu đồ mômen uốn), nếu sử dụng điều kiện cân bằng thì chưa bảo đảm vì biểu đồ này tìm được bằng phép tổ hợp các biểu đồ vốn dĩ đã cân bằng. Để bảo đảm, cần thực hiện phép kiểm tra theo điều kiện biến dạng.
1. Trường hợp hệ siêu tĩn h ch ịu tải trọ n g
Nếu biểu đồ cuối cùng (Mp) đúng thì kết quả tính chuyển tương ứng với vị trí và phương của lực Xk nào đó phải bằng khõng.
Ta có điều kiện: (Mp) ( M k ) + 2 X * — = 0 (5.42)
j Lj
Thật vậy, Rjk va ( Mk )là phản lực tại liên kết đàn hồi thứ và biểu đồ
mômen uốn do lực Xk = I gây ra trong hệ cơ bản, do đó, theo công thức
(5.29) thì kết quả của phép tính này chính là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực Xk do tải trọng gây ra trong hệ siêu tĩnh. Trong hệ siêu tĩnh, chuyển vị này không tồn tại vì có liên kết ngăn cản nên kết
quả phải bằng không.
2. Trường hợp hệ siêu tĩnh chịu các nguyên nhân: th a y đổi nhiệt độ, chê tạo chiểu dài các thanh không chính xác và ch u yển vị gối tựa
Nếu biểu đồ (Mt), (Mạ),(Mz) đúng thì kết quả nhân những biểu đổ này với một biểu đồ (Mk) nào đố phải bằng số hạng tự do Akz của
phương trình chính tắc th ứ knhưng trái dấu:
Ta sẽ chứng minh điều kiện (5.43) bằng cách vận dụng công thức (5.31). Trong trường hợp này, trạng thái là trạng thái do ẩn = I
gây ra trong hệ cơ bản nên:
• Chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của trong hệ siêu tĩnh (vế trái của 5.31) bằng không.
• ( Mk)là biểu đồ mômen uốn do lực = gây ra trong hệ cơ bản, giữ vai trò ( M k )trong công thức (5.31).
• Ak, là sô' hạng tự do của phương trình chính tắc thứ k tức là chuyển vị
tương ứng với vị trí và phương của Xk do riêng nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản, giữ vai trò Akí trong (5.31).
Vậy theo (5.31), ta có 0 = (M/) ( Mk) do dó (Mi) ( M k ) = - A kl.
Đó là điều cần chứng minh.
Cách chứng minh điều kiện (5.44) và (5.45) cũng tương tự.
Ta cũng có thể chứng minh các điều kiện (5.42), (5.43), (5.44), (5.45) bằng cách thay thế các biểu thức của (Mp), (Mt), (Mỉa), (Mz) vào vế trái của những điều kiện tương ứng rồi khai triển.
(M,) ( Mk)=-Aki (Ma) ( Mk)=-AkA (Mz) ( Mk) = -Akz ■
(5.43) (5.44) (5.45)
Chú ý:Nếu trong các điêu kiện kiểm tra nói trên ta thay bằng (AẶ) thì cũng
chứng minh tương tự ta được: •
m m + ỵ R ị s (Mị)(M;) = - ;
— RịP
— = 0;
'i
(Mt) (Aị;) = -£ â u ;
(Mz)m) = (5.46)
Ví dụ 5.16. Kiểm tra kết quả tính toán trong ví dụ 5.3.
Để kiểm tra ta lập biểu đồ đơn vị tổng cộng ) (hình 5.38).
1 . Kiểm tra các hệ s ố
• Theo hàng thứ nhất. Nhân ( Msvới ) (xem hình 5.17a):
( M S ) ( M , ) = 1
Eỉ 1 2a ỉ
— a.a. — + — a.a.a
2 3 2 6EỈ
Mặt khác:
X > X - 4a a 5a
ỜJ1 + 012 — — = --- (đung).
3EỈ 2EI
Theo hàng thứ hai. Nhân ) với ■ (hình 5.17b):
— — 1 r 1 1 ~J
( M s )(M2) = - j -
EI
1 1
— a. — a.a
2 3
a
T ỉĩĩrrrm ^ j
x,=1 6EI
Măt khác: Ổ21 + Ỏ22 —---t- a' a'
2EỈ 3E1 6E1 (đúng).
• Kiểm tra toàn bộ các hệ số:
( M s ỵ M s ) = - ị -
EI
k,m
2
'da3
2 ì 2a3
— a + — a.a. — a ---
3 2 3EI '
a 3 a 1 <3
2EI 2E1 3EI 3E1
2. Kiểm tra các số hạng tự do. Nhân biểu đồ ( M s ) với (M p) (hình
5.17c):
<m s x m ỉ ) = 4 ĩ
EI
1 qa2 3 qa2 1
— -L— a. — a + —— a. — a
3 2 4 2 2
3jar_
8E1
(đúng).
Mặt khác = 5 ga
8E1
<t<*4 4EỈ
3qa4 8EI
3. Kiểm tra kết quả cuối cùng.Ta sẽ kiểm tra theo điều kiện đầu của
(5.46). Biểu đồ (Mp) đã tìm được trên hình 5.17f. Ta có:
(Mp)( Ms )=
EI
1 q a 22 2 qa2 1 qa2 2
---a . ~ a - — J— a.^-a + — — a
2 14 3 3 8 2 2 14 3
1 qa2 1
— —— a.—a 2 28 3
_ 2qa4 ' ỉ r El 42 = 0 (đúng).
Qua các nội dung trình bày ở trên ta thấy tuy cách kiểm tra có ưu điểm là độc lập với các phép tính đã dùng nhưng cũng bộc lộ một vài khuyết điểm sau:
Hi Cách kiểm tra còn phức tạp, khối lượng công việc để kiểm tra còn lớn.
Hí Khi điều kiện kiểm tra thỏa mãn thì cũng chưa thể khẳng định loại trừ khả năng xảy ra sai lầm. Thật vậy, điều kiện kiểm tra vẫn có thể được thỏa măn khi người tính toán và người kiểm tra cùng mắc sai lầm như
nhau trong các bước vẽ biểu đồ hoặc nhân biểu đồ. Như vậy, cách kiểm tra chỉ có thể tin cậy được khi những người thực hiện không bị mắc sai lầm về nguyên tắc tính toán.
Cũng cần lưu ý là trong thực hành tính toán, do hậu quả của phép làm tròn các số liệu nên các điều kiện kiểm tra nói trên thường sẽ không đồng nhất bằng không hoặc bằng nhau. Lúc này ta cần đánh giá sai số theo quy cách đã trình bày trong phần kiểm tra việc giải hệ phương trình chính tắc.