Như đã biết từ chương 3, nhiệm vụ của bài toán tính hệ chịu tải trọng di động bao gồm: xác định vị trí bất lợi của đoàn tải trọng trên công trình và
xác định giá trị để tính của đại lượng nghiên cứu s.Để thực hiện nhiệm vụ này ta đã xây dựng khái niệm về đường ảnh hưởng, tiếp đó vận dụng đường ảnh hưởng để xác định vị trí bất lợi của đoàn tải trọng và xác định giá trị để
tính của đại lượng nghiên cứu snhư đã trình bày trong 3.8; 3.9; 3.10. Lý thuyết trình bày trong các mục đó là tổng quát, áp dụng cho các đ.a.h.
trong hệ tĩnh định cũng như trong hệ siêu tĩnh nên ở đây chỉ cần trình bày về cách vẽ đ.a.h. trong hệ siêu tĩnh mà không cần bàn thêm về cách vận dụng đ.a.h. để thực hiện hai nhiệm vụ nói trên.
Nguyên tắc tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng di động cũng tương tự như nguyên tắc tính hệ siêu tĩnh chịu tải trọng bất động. Như đã biết, muốn xác định một đại lượng nào đó trong hệ siêu tĩnh thì trước tiên phải tìm các ẩn
Xk. Do đó, muốn vẽ đ.a.h. của một đại lượng bất kỳ trong hệ siêu tĩnh thì trước tiên ta cũng phải vẽ được đ.a.h. của các ẩn A*. Những đ.a.h. Xk gọi là
" đường ảnh hưởng cơ bản”. Sau đó vẽ các đ.a.h. của những đại lượng khác theo các đ.a.h. cơ bản.
A. Đường ảnh hưởng cơ bản
Đường ảnh hưởng cơ bản Xk được xác định từ tiệ phương trình chính tắc (5.3) nhưng khi vẽ đ.a.h. ta chỉ cho một lực p = duy nhất di động trên hệ nên số hạng tự do A/CP biểu thị chuyển vị theo phương X/c do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản trở thành ỏkp vì nguyên nhân gây ra chuyển vị này
bằng đơn vị.
98
Do đó, hệ phương trình chính tắc khi vẽ đ.a.h. có dạng:
ô ịi X j + ỏ i2 X2 + ■ ■ . + Xi + Sjp — 0
Ổ21 X j + Ổ22 X2 + ■ . . + Xn + = 0
... (5.75)
Ôn í X j + ỏn2 X2 + ■ . . + Ỏ,III Xi + Ônp 0
trong đó:
ôkm - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương do Xn=ỉ gây ra trong hệ
cơ bản, chúng không phụ thuộc tải trọng nên là những hằng số và được xác định theo (5.4), (5.5), hoặc (5.6);
ỏkP - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương Xk do tải trọng gây ra
trong hệ cơ bản. Vì tải trọng P - ì di động nên ỏkp là những hàm
của tọa độ chạy 1 biểu thị vị trí của lực P=1 và được xác định theo
(5.9) hay (5. 10).
Theo định lý tương hỗ của các chuyển vị đơn vị ta có ỏkp = ổpk ; do đó
hàm ỏkp cũng chính là phương trình đường đàn hồi (chuyển vị tương ứng
với vị trí và phương của lực p, nhưng p di động nên những chuyển vị này tạo thành đường đàn hồi) do lực Xk=lgây ra trong hệ cơ bản.
Sau khi giải hệ (5.75) ta tìm được các ẩn Xk dưới dạng hàm của biến số z.
Đó là phương trình của các đ.a.h. cơ bản. Cho z biến thiên ta sẽ vẽ được
đồ thị biểu diễn quy luật biến thiên của các ẩn Xk theo vị trí của lực tức là vẽ được các đ.a.h. Xk-
Có nhiều phương pháp giải hệ (5.75), ở đây chỉ giới thiệu phương pháp
sô'ảnh hưởng. Cách giải này không phụ thuộc tải trọng nên mặc dù khi vẽ
đ.a.h. ta phải thay đổi vị trí tải trọng p nhiểu lần nhưng vẫn không cần phải thực hiện lại các phép tính các hệ số ảnh hưởng. Áp dụng phương pháp hệ số ảnh hưởng ta có thể biểu thị các ẩn sô' Xk dưới dạng:
Xi = P n ỏip + Pi2 Ỗ2P+
X2 = P2I ÔIP + P22 Ỗ2P+
X = PaSlP + Pi2 Ò2P +
Xi = pnl Ôip + p„2 Ô2P +
+ Plk SkP + .. . + Pln ỏnP;
+ P2kỏkP +■■■ + p2n S/,P ;
(5.76) + Pik SkP + Pin ỏnP
+ Pnk SkP + . . . + pnn s„p
(5.77) trong đó:
ậik - hệ số ảnh hưởng, xác định theo công thức sau:
Pit = Ĩ ầ - ,
số mũ trong biểu thức có thể lấy dấu cộng hoặc trừ;
D -đ ịn h thức các hệ sô' trong hệ phương trình (5.75):
s u Sj2 ■ Sli • Sln
¿21 ¿22 ■ ¿21 • ■ ¿ s kl s k2 • Ôki ■ S
s nl s n2 ■ Õni. ^nn
Dik - định thức suy ra từ định thức D bằng cách loại bỏ hàng thứ cột thứ
k (hoặc hàng thứ k cột thứ ĩ).
B. Đ ường ảnh hưởng p h ả n lực, nội lực và chuyển vị
Sau khi tìm được các đ.a.h. cơ bản, áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta
có thể vẽ đ.a.h. của đại lượng s (phản lực, nội lực hay chuyển vị) theo biểu thức sau:
Đ a .h S = Sj (đ.a.h.Xj)+ s2 (đ.a.h.x2)+... + (5.78)
trong đó:
S ,.S 2,...,S n - giá trị của đại lượng cần vẽ đ.a.h. do riêng từng lực X],
X2,...,X, bằng đơn vị gây ra trong hệ cơ bản, những đại lượng này có giá trị xác định;
đ.a.h.Xi, d.a.h.Xĩ,..., đ.a.h.Xi -c á c đường ảnh hưởng cơ bản;
d.a.h.S" - đường ảnh hưởng của đại lượng strong hệ cơ bản.
Khi vẽ đường ảnh hưởng trong hệ siêu tĩnh, nên thiết lập bảng tính (xem ví dụ).
Ví dụ 5.25.Cho khung siêu tĩnh như trên hình 5.72a. Yêu cầu:
• Vẽ các đường ảnh hưởng cơ bản.
• Vẽ đường ảnh hưởng mômen uốn và lực cắt tại tiết diện m ở chính
giữa hộ và tại tiết diện k.
• Vẽ đường ảnh hưởng của thành phần phản lực thẳng đứng tại gối A.
a)
7
L± i
T w
l—-Jf— i —jf— 1—k-
d n
El =const
* 2 X 2 X1
s b b
A
b b
/>'/}))>
Hình 5.72
I ) Vẽ các đường ảnh hưởng cơ hản
Hệ có bậc siêu tĩnh bằng ba. Chọn hệ cơ bản như trên hình 5.72b.
Hệ phương trình chính tắc có dạng:
ỔJJ XI+ Ỏ12 X ỉ + X j ỏ21 Xị + ỏ22 X2 + Ổ23 Xj + Ỗ2P = 0
¿>31 X l + ¿>32 X ỉ + Ổ33 X3 Ỏ3P= 0
Vì hệ cơ bản chọn đối xứng nên các biểu đồ(M j ) , có tính chất đối xứng còn biểu đồ (M3) có tính chất phản xứng. Như đã biết, kết quả
nhân biểu đồ đối xứng với biểu đồ phản xứng bằng không. Do đó, trong
trường hợp này ta có ỔJ3 = ô31 = 0và ỏ23 Ổ32 = 0.
Hệ phương trình chính tắc phân thành hai nhóm độc lập:
Silx¡ + Ổ 12X 2 + = 0
Ô21 X / + Ổ22 X2 + Ổ2P = 0
S33 X3 + = 0
Để xác định các hệ số ôkmta chỉ cần thực hiện tính toán với nửa hệ rồi nhân đôi kết quả. Các biểu đồ đơn vị như trên hình 5.73.
ô a u t a n -
1
Xo=1'
ĩ 0,5 /
0,5
\ ỉ - j /
1/1 b
Hình 5.73
^rrrợTil T iwM
. . .
M 0,5
Ĩ 7.5
ỏI1 = (M J)(M l ) = ị -
EI Ỏ22 = (M 2)(M 2)= 2
¿ ¿ ¿ l i 2 ' 2 ' 2 ' 3 ' 2 + 2 ' 2 " 3 '2 4EI
ô33 = (M 3 )(M 3 ) = ị
E1
X u . l u i . i j
2 3 2
5 /
3EI
'L L j l L
2 2 3 2 +2 2 2 3 2 4EI
Sl2= Ô21 = (Mị )(M =
E1 L Ụ L ,
2 2 3
V 6E1
Thay các kết quả vào hệ phương trình chính tắc, sau khi biến đổi ta được:
l 3 , l 2
— X ị - — X 2 + E I Ỏj p
l 2 51
~ — X l + — X 2 +EIÔ2P
6 3
1l 3
— X 3 +E1Ô3 P =0.
Từ phương trình thứ ba ta có 4E3_
l 3 ' 3P
(a )
Để giải hai phương trình đầu, ta sử dụng phương pháp hệ số ảnh hưởng:
Xj = EI (Piiỏ!P +
X ỉ = Eỉ (P 2 1 ỏ ip + P 2 2 Ỏ2P).
Định thức các hệ số:
Z) = l 3 ¡4 - l 2/ó - ỉ 2 /ó 51/3
7V 18
A , £ 4 - 4 ;
7l4 7l3
— ( 1 \{2+2+J) * 18 h ỉ H > 4 71*
P12 = h l = ị - i ) iM *ãì
141' 18 7V 7 /2 ■
Vậy Xj = (J0 + / <% />/;
7 /J
x 2 = (2 < 5 ,/> + Ô2P).
I4I2
(b)
(c) Để xác định ỏkp ta lần lượt cho di động trong từng nhịp.
Hình 5.
a = ~ 0 * z )
b = - ( 2 l - z )
3
z(l-z)
I
/7^77
.^ Í T T Ĩ Ĩ K
d = 77^77
+ Khi P=1 di động trên nhịp bên ( Mp) có dạng như trên hình
5.74a.
1 I z(l - z) 21 - z
■ 5/ ' 2 :
ỏ iP = (MI )(M°p) = 1
E Í 2 I /2E1 z(l - z)(2l z)
c /77 , / , „0ằ l l z ( l - z ) 7 /ớ2 2,
&2P — (M 2 )(Mp ) — — ; . — — —— " z(7 —z ),
E Í 2 l '3 1 61EI
L LĩíLlỉẦ - 7
ỏ3p = ( M 3 ) ( M p ) =--- . ---. — . -
J ^ £7 2 / 5 / 2
Nếu ký hiệu M = z // thì
121EI z ( l 2 -
ỔIP =
l 3
u ( ì — u )(2 =
I2EI 12E1 fi ( u ) ;
ị2 ị.
s2p = ~ - u ( ỉ
ỐEI ỎEI f 2(u);
ị3 ị3
u 0 - u 2) = - ^ f 2(u),
với
Ặp = -
1 2 E
fl(u ) = u(J-
I2EI
f 2(u) = u
Thay những số liệu này vào (a), (b) và (c) ta sẽ tìm được phương trình các đường ảnh hưởng cơ bản trong nhịp bên trái:
Xi = -3EỈ_ (d)
7 Ị3
j o r „ , , ¡3
Ĩ2ẼĨ ' (li)
*2 =
X , =
3EI 1412
4E[ / J / 3' 1
7Ì3 3 l3
- ^ — fi(u ) + — f 2(u)
12EI 1 = ^ ị f l ( “) - 3f2(u)k
f2 ( u) = , f 2 ( u)-
(e )
(f)
Cho u biến thiên ta vẽ được các đường ảnh hưởng cơ bản trong nhịp trái.
Trong thực hành thường nên chia nhịp thành những đoạn có khoảng cách đều nhau. Với mỗi điểm chia (ranh giới giữa các đoạn chia) ta xác định được một giá trị u;tiếp đó xác định được một tung độ đ.a.h. tương
ứng. Nối các tung độ này với nhau bằng các đoạn thẳng hoặc đường cong gần đúng ta sẽ được đ.ah. cần tìm. Tất nhiên càng tính nhiều tung độ đ.a.h. tại nhiều điểm chia khác nhau thì kết quả càng chính xác.
Trong ví dụ này ta chọn các điểm chia như trên hình 5.75a. Kết quả tính tung độ các đ.a.h. tương ứng tại các điểm chia ghi trong bảng 5.3.
Bảng 5.3
Điểm u fô u) f2(u) Đ.a.h.Xu
(theo d)
Đ.a.h.X 2,
(theo e)
Đ.a.h.x3 ,
(theo f)
0 0,00 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,000
1 0,25 0,3281 0,2344 0,100 - 0,013.1 0,078 2 0,50 0,3750 0,3750 0 ,1 0 7 -0,027.1 0,125
3 0,75 0,2344 0,3281 0,060 ■0,027.1 0,109
4 1,00 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,000
Dựa vào những số liệu này ta sẽ vẽ được các đ.a.h. cơ bản trong nhịp trái (hinh 5.75b, c, d).
+ Khip=ỉ di động trên phần phải của nhịp giữa, ) có dạng như
trên hình 5.74b.
__ 1
S,p = ( Mj ) ( M° p ) = — .- .2 .1 .2 - .- = - —
J pE ỉ 2 2 = i
Ổ2P = ( M2)(M°p ) =
EI 2Ỉ 2 ,
— — .7
2 3 2
12EỈ 1
u;
6E1 2(2I + 3z) =
6E1 u (2 + 3 u )= /•
6E1 /j(w);
SỈP = (M 3 )(M°p) = ị -
EI
£/ 2_l 2£ (//2 - z/i)
2 ' 3 ' 2 + 2 '
6 El l2 + — zl - Z 2
,3 Ị
u(2 + 3u- 2u2 ) =
12E1 12 EI Ĩ Ạ u ) ’
trong đó: Ịi(u) = j'4u) = u(2+3
Thay các số liệu vào (a), (b), và (c) ta được:
*/ = 3E[
713
101 i
—
12EI 6 El = 7 7 [ / i ^ - 5 "] ỉ
14 (g)
x2 =
X , =
J £ / / 4 /2
2/-
12EI
,3
u - — fs(u) 313 6 El 3 = ^ f j ( u) ~ uh
¿O
4E1 l J T ĩ ĩ E ĩ Ỉ4(u) s U u ì -
(h )
(i)
Ket qua tinh cac tung do cua d.a.h. co ban tren nufa ph^n ben trai cua nhip giua ghi trong bang 5.4.
gang 5.4
Diem u f3(u) f4(u) D.a.h.Xi,
(theo
D.a.h X2, (theo h)
D.a.h X3, (theo i)
4 0,00 0,0000 0,0000 0,000 0,000 0,000
5 0,25 0,6875 0,6563 - 0,040 0,065.1 -0,219
6 0,50 1,7500 1,5000 - 0,054 0,170.1 - 0,500
Dua vao nhung so lieu nay ta se ve duoc cac ducrng anh hucmg co ban tren nura ph^n ben trai cua nhip giiia.
Vi khung d6'i xiing va cac cap An co tinh d6'i xumg hoac phan xiing nen ta khong can cho P=1 di dong tren nira phan ben phai cua khung de tinh
toan ma suy ra nhu sau: cac tung do cua d.a.h. Xj, d.a.h.X2 tai nhung diem thudc phln ben phai khung va cac tung do tai nhung ditim doi xiing thudc phan ben trai khung co gia tri va dau nhu nhau, con doi vcri
d.a.h. Xj thi hai tung do nay co gia tri bang nhau nhung trai da'u (hinh
5.75b, c, d).
2) Ve dtfdng anh hifdng n o i life va phan life
Dudng anh hucmg mdrnen uon va luc cat tai tidt dien m giiia khung chinh la d.a.h. X2va d.a.h. X3.
De ve cac d.a.h. M k, Qk , Ra , ta ap dung cong thurc (5.78):
D.a.h. Mk = Mk l (d.a.h.X[)+ M k2(d.a.h.X2
D.a.h. Qk = Qkj(d.a.h.Xj)+ Qk2(d.a.h.X2)+
D.a.h. Ra = RA](d.a.h.Xj)+ RA2 (d.a.h.X2)+
Tir hinh 5.73 ta dd dang xac dinh duoc:
Mi ; = 0 ; M k2 =1
Q ll = 0; Qk2 = 0; Qki = I ;
Vay: D.a.h. Mk = (d.a.h.X2) - l-(d.a.h.X j) + d.a
D.a.h. Qk = (d.a.h.Xj) + d.a.h. Qk ; D.a.h. Ra = ~ (d.a.h.Xj) + — (d.a.h.X2) — (d.a.h.Xj) + d.a.h. R°A .
2 l 2
Các đ. a. h. M% , đ. a. h. Q^vằ đ.a.h.R°Atrong hệ cơ bản vẽ trên hình 5.76b, c, d.
Trên bảng 5.5 ghi các số liệu tính tung độ và đ.a.h.Qk. Trên
bảng 5.6 ghi các số liệu tính tung độ Từ kết quả tính toán trên bảng 5.5 và 5.6 ta vẽ được d.a.h
và đ.a.h.R/\(hình 5.76e, f, g).
Bảng 5.5
Điểm Đ.a.h.x2 ■ (đ.a.h.x3) Ư2 Đ.a.h.MiP Đ.a.h.Mk Đ.a.h.x3 Đ.a.h.QtP Đ.a.h.Qk
0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
1 ■ 0,013.1 -0,039.1 0,000 - 0,052.1 0,078 0,000 0,078
2 -0,027.1 -0,063.1 0,000 - 0,090.1 0,125 0,000 0,125 3 - 0,027.1 - 0,054.1 0,000 -0,081.1 0,109 0,000 0,109
4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
1,000
0,000 1,000 5 0,065.1 0,109.1 -0,250.1 -0,076.1 -0,219 1,000 0,781
6 0,170.1 0,250.1
-0,250.1
-0,500.1 0,000 - 0,080.1 -0,500
0,500
1,000 0,000 0,500 5 0,065.1 - 0,109.1 0,000 -0,044.1 0,219 0,000 0,219
4 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
3 -0,027.1 0,054.1 0,000 0,027.1 - 0,109 0,000 - 0,109 2 ■0,027.1 0,063.1 0,000 0,036.1 - 0,125 0,000 -0,125
1■ - 0,013.1 0,039.1 0,000 0,026.1 -0,078 0,000 -0,078
0 0,000 0 ,0 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000
Bảng 5.6
Điểm (đ.a.h.Xi)/2 ■ (đ.a.h.Xỉ) / / - (đ.a.h.x3) / 2 Đ.a.h.R°A Đ.a.h.RA
0 0,0 0,00 0,00 1,0 1,0
1 0,050 -0,013 -0,039 0,7 0,7
2 0,0 -0,027 - 0,063 0,500 0,4
3 0,030 -0,027 -0,054 0,250 0,1
4 0,000 0,00 0,00 0,000 0,000
5 -0,020 0,06 0,10 -0,250 -0,096
6 - 0,027 0,17 0,250
-0,250
-0,500
0,000 - 0,207
5 - 0,020 0,06 0,10 0,0 - 0,064
4 0,000 0,000 0,00 0,000 0,000
3 0,030 -0,027 0,05 0,000 0,0
2 0,053 -0,027 0,06 0,000 0,088
1 0,050 -0,013 0,03 0,000 0,0
0 0,0 0,00 0,00 0,000 0,000