6 Phương pháp chuyển vị và
6.3. Cách xác định chuyển vị thẳng tương đối giữa hai đẩu thanh theo phương vuông góc với trục thanh
Khi tính hệ siêu động có ẩn là chuyển vị thẳng, ta cần cho nút chuyển vị thẳng bằng đơn vị để xác định nội lực trong hệ cơ bản và xác định các hệ số của hệ phương trình chính tắc. Ta xét hai trường hợp:
♦ Khi không chấp nhận giả thiết bỏ ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi dọc trục so với ảnh hưởng của biến dạng uốn, thì tại mỗi nút có hai
chuyển vị thẳng. Tuy số ẩn tăng lên song chuyển vị thẳng giữa các nút độc lập với nhau. Chuyển vị thẳng tại mỗi nút chỉ gây ảnh hưởng cục bộ và có thể dễ dàng vẽ được các biểu đồ đơn vị theo bảng mẫu 6.2 cho mọi phần tử.
♦ Khi chấp nhận giả thiết bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng đàn hồi dọc trục so với ảnh hưởng của biến dạng thì số ẩn giảm xuống song chuyển vị thẳng giữa các nút có sự liên quan với nhau. Nói chung, khi một nút nào đó chuyển vị thẳng thì các nút khác cũng có chuyển vị thẳng kéo theo. Muốn vận dụng các số liệu cho trong bảng 6.2 để xác định nội lực ta cần biết giá trị của chuyển vị thẳng tương đối giữa hai đầu mỗi thanh theo phương vuông góc với trục thanh.
Trong hệ có các thanh đứng song song, việc xác định những thành phẩn chuyển vị nói trên tương đối dễ dàng. Thật vậy, nếu bỏ qua biến dạng dọc trục của các thanh thì khi một nút nào đó chuyển vị thẳng, các thanh ngang sẽ chuyển vị tịnh tiến nên thành phần chuyển vị nói trên sẽ có giá trị bằng không, các thanh đứng trong phạm vi mỗi tầng sẽ có chuyển vị thẳng tương đối như nhau theo phương vuông góc với trục thanh.
Trong hệ có các thanh đứng không song song, nói chung thành phần chuyển vị thẳng nói trên tồn tại đối với cả thanh ngang và thanh đứng với giá trị khác nhau đối với mỗi thanh đứng. Do đó ta cần nghiên cứu cách xác định giá trị của thành phần chuyển vị này.
Để tìm hiểu cách xác định, ta xét hệ cho trên hình 6 .lóa. Giả sử gây chuyển vị cưỡng bức tại một nút nào đó của hệ, chẳng hạn nút với giá trị
ổ bằng đơn vị theo phương vuông góc với trục thanh Yêu cầu tìm thành phần chuyển vị thẳng tương đối giữa hai đầu mỗi thanh, theo phương vuông góc với trục mỗi thanh đó.
Vì ở đây chỉ xét chuyển vị thẳng mà không xét đến chuyển vị xoay của các nút cho nên ta có thể thay thế hệ đã cho bằng hệ thanh khớp trong đó các
nút và ngàm được thay bằng khớp như trên hình 6.16b. Nếu chú ý đến giả thiết 3 thì khi nghiên cứu chuyển vị thẳng, ta có thể xem các thanh là tuyệt
đối cứng. Để xác định các thành phần chuyển vị cần tìm, trước tiên ta xác định chuyển vị của các nút. Trong trường hợp này, các điểm a, b, (hình 6 .lóc) nối với trái đất nên chúng vẫn đứng yên trong quá trình hệ chuyển vị. Khi cho nút 1 chuyển vị đến vị trí mới là thanh sẽ có vị trí
Bây giờ cần tìm vị trí mới 2'và ycủa cấc nút 2 và
Điểm 2 có liên quan đến các điểm Ivà bằng các thanh và 2-b. Cắc
điểm I và ố có vị trí mới đã được xác định nên ta có thể xác định vị trí mới của 2 bằng hình học như sau: nếu giả thiết điểm 2 không bị ràng buộc bởi thanh 2-b thì thanh 1-2 sẽ chuyển dời tịnh tiến tới /'-2/ do kết quả chuyển
vị của thanh ơ-1, tiếp đó, vì điểm 1'được giữ cố định tại vị trí mới nên
điểm 2/ chỉ có thể chuyển dời theo phương vuông góc với thanh 1-2 (chú ý
là các chuyển vị được xem là nhỏ). Mặt khác, nếu lại giả thiết điểm 2 không bị ràng buộc bởi thanh 1-2 thì điểm 2 chỉ có thể chuyển dời so với
điểm b theo phương vuông góc với thanh 2-b. Nhưng điểm 2 bị ràng buộc
bởi cả hai thanh đó nên vị trí mới 2' của điểm 2 chính là giao điểm của hai đường vuông góc với hai thanh b-2 và 7-2 lần lượt kẻ từ 2 và 2/. Sau khi
tìm được vị trí mới 2' của 2, ta dễ dàng tìm được vị trí mới 7'-2' và b'-2' của
các thanh 7-2 và b-2, tiếp đó suy ra các thành phần chuyển vị cần tìm của
thanh 7-2 và b-2 lần lượt là các đoạn 21-2' và 2-2' trên hình 6.16c.
Biết vị trí mới của 2 và của c ta có thể tìm được vị trí mới của 3 theo lập
luận tương tự như đã thực hiện đối với điểm 2. Vị trí mới của điểm 3 là
giao điểm của hai đường vuông góc với hai thanh và 3-2 lần lượt kẻ từ 3 và 3Ị.Thành phần chuyển vị cần tìm của các thanh và 2-3 lần lượt là
các đoạn 3-3'và 3 1-3'trên hình 6.16c.
Từ những nhận xét trên, ta có thể thực hiện đơn giản hơn bằng cách sử dụng sơ đổ chuyển vị như sau (hình 6.16d):
Chọn điểm bất kỳ 0 làm điểm tượng trưng cho các điểm không chuyển vị,
các điểm tượng trưng cho chuyển vị của các điểm là trùng với điểm 0. Với một tỷ lệ xích nào đó, từ A kẻ đoạn = 7 theo phương vuông góc với thanh a-1. Như vậy, đoạn AI biểu thị chuyển vị tương đối
giữa hai đầu thanh a-l theo phương vuông góc với trục thanh a-l.
Để tìm điểm 77 tượng trưng cho chuyển vị của điểm 2 trên sơ đồ chuyển vị, ta thực hiện như sau: điểm 2 thuộc thanh 7-2 nên điểm tượng trưng 7/ tương ứng trên sơ đồ chuyển vị nằm trên đường 7-77 vuông góc với thanh 7-2; mặt khác, điểm 2 còn thuộc thanh b-2 nên điểm tượng trưng II còn nằm trên
đường B-II vuông góc với thanh b-2. Trên sơ đồ chuyển vị, các đoạn B-II
và 7-7/ lần lượt biểu thị chuyển vị tương đối giữa các đầu thanh b-2 và 7-2
theo phương vuông góc với trục thanh. Tam giác B-II-I và tam giác
đồng dạng nên đoạn B-II tỷ lệ với đoạn 2-2'; đoạn /-77 tỷ lệ với đoạn 21-2'
theo tỷ lệ tương ứng với tỷ lệ xích đã chọn để vẽ sơ đồ chuyển vị.
Tiếp tục thực hiện tương tự như vậy ta sẽ tìm được điểm tượng trưng 77/ của điểm 3 là giao điểm của đường /7-777 vuông góc với thanh và đường
C-IIIvuông góc với thanh c-3. Các tam giác C-7/-777 và đồng dạng
nên các đoạn C-III và /7-/77 tỷ lệ với các đoạn và 3 ị- 3 ’ dồng thời biểu thị chuyển vị tương đối giữa các đầu thanh c-3 và 2-3 theo phương vuông
góc với trục thanh.
Như vậy, muốn tìm chuyển vị thẳng tương đối giữa hai đầu thanh theo phương vuông góc với trục thanh ta cần vẽ sơ đồ chuyển vị, đoạn thẳng nối
hai điểm bất kỳ ỈK nào đó trên sơ đồ chuyển vị sẽ biểu thị chuyển vị thẳng tương đối giữa hai đầu thanh iktheo phương vuông góc với trục thanh tương ứng. Để xác định độ dài ÌK ta đo trực tiếp trên sơ đồ chuyển vị theo
tỷ lệ xích đã chọn hoặc giải các tam giác theo các góc, cạnh đã biết trên sơ đồ chuyển vị.
Ví dụ 6.3. Vẽ biểu đồ mômen uốn trong hệ siêu động cho trên hình 6.17a.
Hệ có hai ẩn: một chuyên vị xoay tại nút y và một chuyển vị thảng theo phương ngang tại khớp 2. Hệ cơ bản như trên hình 6.17b.
M! (hình 6.17d) do chuyển vị xoay Z/ gây ra trong hệ cơ bản tìm được dễ dàng theo các số liệu cho trong bảng 6.1 và 6.2.
Bảng 6.3
Biểu đồ M ị (hình 6.17c) do tải trọng gây ra trong hệ cơ bản và biểu đồ
Đại lượng
Biểu đồ Bộ phận tách Phương trình cân bằng Kết quả
rn ^ 2E
oII
u]c\i1
LU1
II 3EI
ri2~ r21
m 2
y £ n ) E ,/4
^ -3 E I/4 ZM = r „ - - E I + - E I =0
12 4 4
E
~ 2
r229 m 2
ZY = 1A N ..sina cosa
12
_ .. 79EI
Suy ra N — —
240
w 3EI 79EI
22 64 240
3 0 . ’
- — sina= 0
10
31EI 64 ct
N12
Aịfk 3E1/10
4-, 2 r22
' S r r
y ì 3E1/10ỵ * y
79E1/240 3EI/6\ N2B
R1P Mp R1 p (p -ị) IM = Rjp + 9 = 0 -9
! I *8 §
ỵ y = N1A sina + 15 = 0
o Suy ra N = KI 15 = 75
sina 4 ỵX =R ĨP +— cosa =075
4 4
y
a . ỌL^ H ^ N 12
ỵ 5ql/8=15 NÍa
1^ 2 R2P
r
/ 75/4
cần vẽ sơ đồ chuyển vị. C h ọ n đ iể m b ấ t k ỳ , tượng trưng cho tất cả các điểm bất động (hình 6.17e), c á c đ iể m B sẽ trùng với Từ o dựng đoạn ớ -// - ô2b - I theo p h ư ơ n g v u ô n g g ó c với thanh 2-B ta được điểm
tượng trưng II của điểm 2 . Đ iể m tư ợ n g tr ư n g I chính là giao điểm của
đường O-Ivuông góc với th a n h a-Ivà đ ư ờ n g //-/ kẻ từ II vuông góc với thanh 1-2. Từ sơ đồ chuyển vị ta x á c đ ịn h c h u y ể n vị thẳng tương đối giữa
hai đầu các thanh và được k ế t q u ả n h ư sau:
&2b = B-II = 1;i S2= ì-II = 0,75; ỏia = y , 2 5 .
Sơ đồ biến dạng tương ứng của hệ như trên hình 6.17f. Vận dụng bảng 6.2 đồng thời căn cứ vào các số liệu vừa tìm được và đường biến dạng của các thanh ta vẽ được biểu đồ M-)như trên hình 6.17g.
Quá trình xác định các hệ sô' và số hạng tự do của hệ phương trình chính tắc được trình bày trong bảng 6.3.
Hệ phương trình chính tắc:
3EIZi - -EIZ2 - 9 = 0; - - EIZ2
2 2 64 4
Sau khi giải hệ phương trình trên, ta được: Z/ = -~z~ rad; z 2 = r ~ r tn.
6 1 6 77 77 EI
Biểu đồ mômen uốn tổng cộng được xác định theo công thức:
(Mp)= ( M ị )Z, + (
Kết quả tìm được như trên hình 6 .17h.