Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RẩN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HèNH
2.3.4. Biện phỏp 4: Rốn luyện kĩ năng thụng qua việc khai thỏc và đề
bài tập
* Mục đớch biện phỏp: Biện phỏp này chủ yếu nhằm hỡnh thành và phỏt huy khả năng tƣ duy linh hoạt cho HS. GV cú thể khộo lộo dẫn dắt, tạo tỡnh huống giỳp HS tập khai thỏc và đề xuất bài tập. Trƣớc tiờn, cú thể tập từ những bài đơn giản đƣợc nõng bậc dần. Từ đú HS sẽ rốn luyện đƣợc thúi quen, độ nhạy cảm với những bài toỏn phức tạp hơn. Nhƣ vậy sẽ hỡnh thành năng lực học toỏn.
* Cỏch thực hiện: Phõn tớch khỏi niệm, bài toỏn, kết quả đó biết dƣới nhiều khớa cạnh khỏc nhau, từ đú lật ngƣợc vấn đề, khỏi quỏt hoỏ, đặc biệt hoỏ, xột cỏc vấn đề tƣơng tự theo nhiều khớa cạnh khỏc nhau.
VD39: Cho hỡnh lập phƣơng ABCD.A'B'C'D' cú cạnh bằng a. Xột điểm
M di động trờn cạnh AB và điểm N di động trờn cạnh AD, luụn thoả món AM + AN = a. Gọi E là trung điểm MN. Chứng minh rằng A'E luụn thuộc một mp cố định và diện tớch toàn phần tứ diện A'AMN khụng đổi.
Với bài này, cú thể khai thỏc cỏc hoạt động trớ tuệ: dự đoỏn, so sỏnh, phõn tớch, tổng hợp, đặc biệt hoỏ nhằm rốn luyện cho HS nhƣ sau:
- Phõn tớch: Nếu E luụn thuộc một mp (P) cố định thỡ E phải luụn thuộc một đƣờng thẳng cố định là giao tuyến của mp (P) và mp (ABCD).
- Dự đoỏn: Cú thể dự đoỏn E luụn thuộc đƣờng thẳng cố định nào trong mp(ABCD) dựa vào một số vị trớ đặc biệt của M, N. Khi M trựng với B thỡ N trựng với A, nờn E trựng với trung điểm của AB. Tƣơng tự, khi MN trựng với AD thỡ E trựng với trung điểm của AD. Vậy, đú là đƣờng thẳng nối cỏc trung điểm của AB và AD.
- Đặc biệt hoỏ: khi M, N là cỏc trung điểm của AB và AD, ta biết đƣợc giỏ trị khụng đổi của diện tớch toàn phần tứ diện A'AMN là a2
.
- Cú thể chuyển bài toỏn chứng minh diện tớch toàn phần tứ diện A'AMN khụng đổi thành bài toỏn dễ hơn là chứng minh diện tớch toàn phần tứ diện A'AMN bằng a2
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
VD40: Bài toỏn 1: Từ bài toỏn quen thuộc:
Cho tứ diện ABCD cú AC = BD, AD = BC. Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm cỏc cạnh đối là cỏc đoạn vuụng gúc chung.
Chứng minh:
Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của AB và CD, từ giả thiết ta dễ dàng suy ra ABC =
DAB CM = DM MN CD (1) BCD = CAD BN = AN MN AB (2) Từ (1) và (2) ta cú MN là đoạn vuụng gúc chung của AB và CD. Lật ngƣợc vấn đề ta cú bài toỏn:
Bài toỏn 2: Chứng minh rằng nếu đƣờng thẳng nối trung điểm hai cạnh
AB và CD của tứ diện ABCD là đƣờng vuụng gúc chung của AB và CD thỡ AC = BD, AD = BC.
Chứng minh:
Gọi I, J lần lƣợt là trung điểm của AB và CD.
Qua J ta kẻ đoạn thẳng A'B' sao cho AA'B'B là hỡnh bỡnh hành và JA' = JB' = AB
2 Vỡ IJ A'B' và IJ CD nờn IJ
(CA'DB').
Mặt khỏc AA' // BB' // IJ nờn AA' và BB' cựng vuụng gúc với (CA'DB'). Nhƣ vậy AA' CA' và BB' DB'. Điểm J là trung điểm của A'B' và CD nờn A'C = B'D AA'C = BB'D AC = BD.
Chứng minh tƣơng tự ta cũng cú BC = AD.
B D A C N M Hỡnh 2.43 A B C D I J B' A' Hỡnh 2.44
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Áp dụng kết quả bài toỏn 2 ta dễ dàng chứng minh đƣợc bài toỏn:
Bài toỏn 3: Cho tứ diện ABCD cú SABC = SABD. Chứng minh rằng đƣờng vuụng gúc chung của AB và CD đi qua trung điểm của CD.
Đặc biệt hoỏ bài toỏn này ta cú bài toỏn:
Bài toỏn 4: Cho tứ diện ABCD cú diện tớch 4 mặt bằng nhau.
a. Chứng minh đoạn thẳng nối trung điểm của cỏc cặp cạnh đối là đoạn vuụng gúc chung của cỏc cặp cạnh đú.
b. Chứng minh tứ diện ABCD cú cỏc cặp cạnh đối bằng nhau. Chứng minh:
a. Dựng CH AB, DK AB. Vỡ SABC = SABD CH = DK.
Gọi N, M, O lần lƣợt là trung điểm HK, CD, HD ta cú: CHN = DKN (vỡ CH = DK, HN = HK) CN = ND MN CD. Lại cú NO // DK NO
AB, MO // CH MO AB NM AB.
Vậy đƣờng vuụng gúc chung của AB và CD đi qua trung điểm của AB.
Sử dụng giả thiết 4 mặt của tứ diện cú diện tớch bằng nhau ta suy ra điều phải chứng minh.
b. Gọi MN là đƣờng vuụng gúc chung của AB và CD ta cú M, N lần lƣợt là trung điểm CD và AB NA = NB, mà NH = NK HB = AK
CHB = DKA BC = AD. Tƣơng tự cỏc
cạnh đối cũn lại của tứ diện cũng đụi một bằng nhau.