Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP RẩN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN HèNH
2.3.1. Biện phỏp 1: Rốn luyện kĩ năng xỏc định hỡnh
* Mục đớch biện phỏp: biện phỏp này chủ yếu rốn luyện cho HS cỏc KN: xỏc định giao tuyến của hai mp (KN7), xỏc định giao điểm của đƣờng thẳng và mp (KN8), xỏc định thiết diện (KN9).
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
* Cỏch thực hiện:
Đõy là KN tƣơng đối khú đối với HS. Nếu chỉ dừng lại ở một vài bài toỏn đơn lẻ thỡ HS sẽ gặp khú khăn trong việc giải cỏc bài toỏn khỏc. Để khắc phục khú khăn đú, GV nờn hỡnh thành những thuật giải cho từng dạng toỏn xỏc định hỡnh. Mỗi thuật giải đƣợc phỏt hiện và rốn luyện thụng qua cỏc bƣớc sau:
- Nhỡn nhận cỏch xỏc định hỡnh thụng qua một hệ thống bài toỏn cụ thể. - Trờn cơ sở của việc giải bài toỏn cụ thể, đề xuất quy trỡnh xỏc định hỡnh. - Kiểm nghiệm lại quy trỡnh bằng hệ thống cỏc bài tập ỏp dụng.
Cỏch thức đú đƣợc cụ thể cho từng dạng bài toỏn nhƣ sau:
Dạng 1: Xỏc định giao tuyến của hai mặt phẳng
Giao tuyến của hai mp là một đƣờng thẳng, vỡ vậy khi định hƣớng để tỡm đƣờng lối giải, GV cú thể đƣa ra cõu hỏi dẫn dắt:
GV: Một đƣờng thẳng trong khụng gian hoàn toàn xỏc định khi nào? HS: Biết hai điểm phõn biệt hoặc biết một điểm và phƣơng của đƣờng thẳng. Từ đú hỡnh thành đƣờng lối giải.
a) Nhúm bài toỏn mở đầu
- Xỏc định giao tuyến bằng cỏch tỡm hai điểm chung phõn biệt
VD1: Cho tứ diện ABCD và một điểm I
thuộc cạnh AB. Một đƣờng thẳng a nằm trong mp (BCD), khụng song song với BD cắt cạnh BC tại J. Tỡm giao tuyến của mp (I, a) và mp (ABC).
Túm tắt lời giải:
I AB nờn I (ABC). Mặt khỏc I (I,
a) I là điểm chung của (I, a) và (ABC).
Vỡ J là giao điểm của a và BC nờn J (I, a).
Mặt khỏc, J BC nờn J (ABC).
Vậy giao tuyến của (I, a) và (ABC) là IJ.
B D C A a J I Hỡnh 2.1
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
VD2: Cho hỡnh tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm của cạnh
AB, AD. P là một điểm thuộc cạnh AC sao cho AP = 2PC. Hóy tỡm giao tuyến của mp (MNP) và (BCD).
Giải:
Do AP = 2PC nờn MP khụng song song BC và NP khụng song song DC nờn kộo dài chỳng cắt nhau.
Trong mp (ABC). Gọi F = MP BC. Ta cú: F MP (MNP) và F
BC (BCD) nờn F là điểm chung của
(MNP) và (BCD). Tƣơng tự, gọi E = NP DC. Ta cũng cú E là điểm chung thứ hai.
Vậy giao tuyến là đƣờng EF.
Chỳ ý: Trong khi tỡm giao tuyến của hai mp (P) và (Q), cú thể ta chƣa
nhỡn thấy điểm chung nào của chỳng. Khi đú ta phải tạo ra hai điểm chung của hai mp (P), (Q) bằng cỏch: thƣờng tỡm hai đƣờng thẳng đồng phẳng lần lƣợt thuộc hai mp đú. Giao điểm của hai đƣờng thẳng đú chớnh là điểm chung của (P), (Q). (Chẳng hạn nhƣ ở VD2).
- Xỏc định giao tuyến nhờ cỏc định lý về giao tuyến song song
Điểm yếu của HS khi xỏc định giao tuyến nhờ cỏc định lớ về giao tuyến song song là khụng biết lựa chọn định lớ nào để vận dụng vào một bài toỏn cụ thể. Vỡ vậy, để rốn luyện KN xỏc định giao tuyến nhờ cỏc định lớ về giao tuyến song song, GV nờn cho HS hệ thống lại cỏc định lớ liờn quan.
Cỏc định lớ về giao tuyến song song: Định lớ 1
Nếu ba mặt phẳng đụi một cắt nhau theo ba giao tuyến phõn biệt thỡ ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đụi một song song với nhau.
B D C A Hỡnh 2.2 M N P F E
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Định lớ 2
Nếu hai mặt phẳng phõn biệt lần lƣợt chứa hai đƣờng thẳng song song thỡ giao tuyến của chỳng (nếu cú) cũng song song với hai đƣờng thẳng đú hoặc trựng với một trong hai đƣờng thẳng đú.
Định lớ 3
Cho đƣờng thẳng a song song với mặt phẳng (). Nếu mặt phẳng () chứa a và cắt () theo giao tuyến b thỡ b song song với a.
Định lớ 4
Nếu hai mặt phẳng phõn biệt cựng song song với một đƣờng thẳng thỡ giao tuyến của chỳng (nếu cú) cũng song song với đƣờng thẳng đú.
Định lớ 5
Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thỡ cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.
VD3: Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD. M và N lần lƣợt là trung điểm của
AB và AD. P là một điểm thuộc cạnh SB. Tỡm giao tuyến của mp (SBD) và (MNP).
Hƣỡng dẫn giải:
Lỳc này việc xỏc định giao tuyến bằng cỏch tỡm hai điểm chung phõn biệt khụng cũn thuận lợi nữa. Khi đú GV hƣớng dẫn HS khai thỏc giả thiết M và N lần lƣợt là trung điểm của AB và AD
(dẫn tới MN // BD) để HS cú thể liờn hệ tới Hỡnh 2.3
định lớ 2, từ đú xỏc định đƣợc giao tuyến của (SBD) và (MNP). Ta thấy P SB (SBD). Nờn P là điểm chung của (SBD) và (MNP). Do M, N lần lƣợt là trung điểm của AB và AD nờn MN là đƣờng trung bỡnh của tam giỏc ABD, nờn MN // BD.
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Mà MN (MNP). BD (SBD).
Gọi d = (MNP) (SBD). Suy ra d là đƣờng thẳng đi qua điểm P và song song với BD.
VD4: Cho hỡnh chúp S.ABCD. M thuộc cạnh AD, mp (P) qua M song
song với SA. Xỏc định giao tuyến của mp (P) với (SAD).
Giải:
Gọi N là giao điểm của mp (P) với SD. Ta cú: ( ) / / ( ) / / ( ) ( ) P SA SA SAD MN SA P SAD MN
Vậy MN là giao tuyến của mp(P) với mp (SAD).
b) Đề xuất quy trỡnh giải
Nhƣ vậy để rốn luyện KN trờn GV yờu cầu HS
thảo luận đƣa ra phƣơng phỏp chung để xỏc định giao tuyến của hai mp phõn biệt. GV chớnh xỏc lại phƣơng phỏp giải dạng toỏn này nhƣ sau:
Muốn xỏc định giao tuyến của hai mp phõn biệt ta cú cỏc cỏch sau:
Cỏch 1: Tỡm hai điểm A, B cựng thuộc hai mp đó cho. Giao tuyến của hai mp này chớnh là đƣờng thẳng AB.
Để tỡm điểm chung của hai mp thƣờng tỡm hai đƣờng thẳng đồng phẳng lần lƣợt nằm trong hai mp, giao điểm (nếu cú) của hai đƣờng thẳng này là điểm chung của hai mp. Trong nhiều trƣờng hợp, nếu chỉ nhỡn thấy những đƣờng sẵn cú trong mp, cú thể khụng tỡm đƣợc hai đƣờng cắt nhau mà phải tạo ra đƣờng thẳng lần lƣợt thuộc hai mp.
Cỏch 2: Xỏc định giao tuyến nhờ cỏc định lớ về giao tuyến song song.
A D C B S M N Hỡnh 2.4
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
c) Nhúm cỏc bài toỏn kiểm nghiệm
VD5: Trong mp () cho tứ giỏc ABCD cú AB và CD cắt nhau tại E, AC
và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp (). Tỡm giao tuyến của cỏc mp sau:
a) mp (SAB) và mp (SCD) b) mp(SAC) và mp (SBD)
Nhận xột:
Với hai mp (SAB) và mp (SCD) thỡ HS dễ dàng tỡm đƣợc hai điểm chung lần lƣợt là S là E dựa vào hỡnh vẽ (hỡnh 2.5). Tƣơng tự đối với hai mp (SAC) và mp (SBD) thỡ HS cũng phỏt hiện đƣợc giao tuyến là đƣờng thẳng SF. (hỡnh 2.6) A E D B C S Hỡnh 2.5 A E D B C S Hỡnh 2.6 F Túm tắt lời giải: a) Ta cú S(SAB)(SCD) (1) EABCD E (SAB)(SCD) (2) Từ (1) và (2) SE(SAB)(SCD) b) Ta cú S(SAC)(SBD)(*)
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn F ACBD F (SAC)(SBD) (**)
Từ (*) và (**) SF (SAC)(SBD)
Dạng 2: Xỏc định giao điểm của đƣờng thẳng và mặt phẳng a) Nhúm bài toỏn mở đầu
VD6: Cho hỡnh chúp S.ABCD và 3 điểm M, N, P lần lƣợt nằm trờn SA,
SB, SC. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Tỡm giao điểm giữa: a) SI với mp (MNP). b) SD với mp (MNP). * Phõn tớch. a) Trƣớc tiờn, ta xem xột SI cú cắt đƣờng thẳng nào nằm trong mp (MNP) khụng? Dễ thấy SI và MP đồng phẳng (cựng thuộc mp (SAC)), hơn nữa SI khụng song song với MP, tức là SI phải cắt MP tại một điểm J. Nhƣ vậy, J chớnh là giao điểm giữa SI với mp (MNP).
b) Theo phƣơng phỏp ở trờn, ta chọn một mp chứa SD sao cho việc xỏc định giao tuyến giữa mp này với mp (MNP) dễ dàng nhất. Trờn hỡnh vẽ, cỏc mp sẵn cú mà đi qua SD là (SAD), (SBD), (SCD). Trong số 3 mp này thỡ mp (SBD) phự hợp nhất với yờu cầu của chỳng ta. Dễ thấy (SBD)∩(MNP) = NJ. Khi đú, trong mp (SBD) gọi Q = NJ ∩ SD thỡ Q chớnh là giao điểm của SD với mp (MNP).
VD7: Cho tứ diện S.ABC. Trờn cạnh AB lấy một điểm P và trờn cỏc
đoạn SA, SB ta lấy lần lƣợt hai điểm M, N sao cho MN khụng song song với AB. Tỡm giao điểm của đƣờng thẳng MN với mp (SPC) bằng hai cỏch.
A B C D S N I M P J Q Hỡnh 2.7
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Giải:
Cỏch 1: Trong (SAB), gọi E = SP ∩ MN. + E SP mà SP (SPC) E (SPC) + E MN.
Vậy: E = MN ∩ (SPC).
Cỏch 2: Chọn mp phụ (SAB) MN.
+ (SAB) ∩ (SPC) = SP. + Trong (SAB) gọi E = MN ∩ SP. Khi đú: E MN và E SP mà SP (SPC).
Vậy: E = MN ∩ (SPC).
b) Đề xuất quy trỡnh giải
Tỡm giao điểm của đƣờng thẳng d và mp (P) cú thể xảy ra hai trƣờng hợp: Trƣờng hợp 1. Trong (P) cú sẵn đƣờng thẳng d' cắt d tại I.
Ta cú ngay d (P) = I.
Trƣờng hợp 2. Trong (P) khụng cú sẵn d' cắt d.
Chọn mp phụ (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến d'. Gọi I = d' d. Ta cú d (P) = I.
Với quy trỡnh giải nhƣ vậy, HS sẽ dễ dàng hơn trong việc xỏc định giao điểm của đƣờng thẳng và mp.
c) Nhúm cỏc bài toỏn kiểm nghiệm
VD8: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm
trờn AD sao cho AJ=2
3AD. Tỡm giao điểm của đƣờng thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xột: Với bài toỏn này thỡ HS dễ dàng phỏt hiện đƣợc đƣờng thẳng
a cần tỡm chớnh là đƣờng thẳng BD. Nhiệm vụ của GV là cần lƣu ý cho HS điều kiện để hai đƣờng thẳng cắt nhau là hai đƣờng thẳng đú phải cựng nằm trờn một mp và khụng song song. A C B S M N P E Hỡnh 2.8
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Túm tắt lời giải:
Từ giả thiết IJ và BD khụng song song. Gọi K IJ BD IJ K BD (BCD) K Kết luận: K IJ (BCD) (Hỡnh 2.9)
VD9: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy
ABCD là hỡnh thang đỏy lớn AB. Gọi I là
trung điểm của SA, M là một điểm tựy ý thuộc đoạn SD. Tỡm giao điểm của đƣờng thẳng BM với mp (SAC).
Nhận xột: Với giả thiết của bài toỏn thỡ dựa vào hỡnh 2.10 HS khú mà
tỡm đƣợc đƣờng thẳng a nằm trờn mp(SAC) là đƣờng thẳng nào để cắt BM, nếu GV khụng khộo lộo hƣớng dẫn sẽ cú nhiều HS nhầm là đƣờng thẳng SC. Vai trũ của GV là gợi ý cho HS biết chọn (SBD) chứa BM và tỡm giao tuyến của hai mp(SBD) và (SAC) là đƣờng thẳng SO. Từ đú kết luận giao điểm P của hai đƣờng thẳng BM và SO chớnh là giao điểm cần tỡm. (hỡnh 2.11).
A B D C S I M Hỡnh 2.10 A B D C S I M Hỡnh 2.11 O P Túm tắt lời giải: Ta cú BM (SBD)
Xột 2 mp ( SAC) và (SBD) cú: S là điểm chung thứ nhất. (1) Gọi O ACBD O là điểm chung thứ hai (2)
B D C I J K Hỡnh 2.9
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Từ (1) và (2) SO(SAC)( BD)S . Gọi P = BMSO
Kết luận: P = BM(SAC)
VD10: Cho hỡnh hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lƣợt là trung điểm
của AA’ và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tỡm giao điểm Q của đƣờng thẳng DD’ với mp (MNP).
Nhận xột: Để tỡm giao điểm Q của đƣờng thẳng DD’ với mp (MNP) thỡ
GV phải gợi ý cho HS tỡm giao tuyến của mp chứa đƣờng thẳng DD’ với mp (MNP). GV yờu cầu HS cho biết đƣờng thẳng DD’ nằm trờn những mp nào và cho biết số điểm chung của cỏc mp đú với mp (MNP)?
A D C B D' C' A' B' M N P Q Hỡnh 2.12 x A D C B D' C' A' B' M N P Q Hỡnh 2.13 Túm tắt lời giải: Ta cú DD’ (CC’D’D). Xột 2 mp (MNP) và mp (CC’D’D) cú: N là một điểm chung (1) MP // (CC’D’D) (2) MP (MNP) (3) Từ (1), (2) và (3) (MNP) ( CC’D’D) = Nx // MP Gọi Q = DD’ Nx Q = DD’ (MNP) (hỡnh 2.12)
*Chỳ ý: Ta cú thể chọn (AA’D’D) chứa DD’ và tỡm đƣợc giao tuyến của 2 mp (MNP) và (AA’D’D) là My song song với đƣờng thẳng NP (hỡnh 2.13).
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Dạng 3: Xỏc định thiết diện
Mở rộng bài toỏn tỡm giao tuyến của hai mp là bài toỏn về thiết diện của hai hỡnh. Trƣờng hợp riờng là tỡm giao tuyến của mp và cỏc mặt của khối đa diện. Trong HHKG, bài toỏn xỏc định thiết diện là một dạng bài toỏn cơ bản, nú chiếm một tỉ lệ khỏ lớn và xuyờn suốt toàn bộ chƣơng trỡnh.
Thiết diện là gỡ?
Cắt khối đa diện T bằng một mp (P). Phần mp của (P) thuộc giới hạn bởi cỏc giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T gọi là thiết diện hay mặt cắt. Thiết diện của T với (P) là một đa giỏc cú số cạnh khụng vƣợt quỏ số mặt của T.
Xỏc định thiết diện
Cho trƣớc khối đa diện T và mp (P). Nếu (P) cú điểm chung với T thỡ (P) sẽ cắt một số mặt của T theo cỏc đoạn thẳng. Phần mp (P) giới hạn bởi cỏc đoạn thẳng đú là đa giỏc, gọi là thiết diện của T và (P).
Khi xỏc định thiết diện cần chỳ ý:
- Bài toỏn xỏc định thiết diện là bài toỏn dựng hỡnh nhƣng chỉ cần trỡnh bày phần cỏch dựng và phần biện luận (nếu cú).
- Đỉnh của thiết diện là giao điểm của (P) với cỏc cạnh của T, cạnh của thiết diện là đoạn giao tuyến của (P) với cỏc mặt của T. Do đú, thực chất của việc xỏc định thiết diện là giải bài toỏn xỏc định giao điểm giữa đƣờng thẳng với mp và xỏc định giao tuyến giữa hai mp.
a) Nhúm bài toỏn mở đầu
Phương phỏp 1: Phương phỏp giao tuyến gốc
Phƣơng phỏp này thƣờng đƣợc ỏp dụng cho cỏc hỡnh cú đỏy nhƣ hỡnh chúp, hỡnh lăng trụ và thƣờng đƣợc dựng khi mp() đƣợc cho dƣới dạng tƣờng minh, tức là cho bởi 3 điểm khụng thẳng hàng, hoặc cho bởi hai đƣờng thẳng cắt nhau, hoặc cho bởi hai đƣờng thẳng song song.
VD11: Cho hỡnh chúp S.ABCD đỏy là hỡnh bỡnh hành tõm O. Gọi M, N, I là
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn
Túm tắt lời giải
Trong (ABCD), gọi J = BD MN,
K = MN AB, H = MN BC. Trong (SBD), gọi Q = IJ SB Trong (SAB), gọi R = KQ SA
Trong (SBC), gọi P = QH SC Vậy: thiết diện là ngũ giỏc MNPQR.
VD12: Cho hỡnh chúp S.ABCD. Gọi M, N, P lần lƣợt là trung điểm lấy
trờn AB, AD và SC. Tỡm thiết diện của hỡnh chúp với mp (MNP).
Giải:
Trong (ABCD): gọi E = MN DC, F = MN BC.
Trong (SCD), gọi Q = EP SD Trong (SBC), gọi R = FP SB
Vậy: thiết diện là ngũ giỏc MNQPR. Ta cú quy trỡnh:
Bƣớc 1: Xỏc định giao tuyến d của mp() với mp đỏy của hỡnh chúp.
Bƣớc 2: Xỏc định giao điểm của mp() với cỏc cạnh của đỏy.
Bƣớc 3: Xỏc định cỏc giao tuyến của mặt bờn hỡnh chúp với mp() từ đú xỏc định thiết diện.
Phương phỏp 2: Xỏc định thiết diện bằng cỏc định lớ về giao tuyến song song
Cơ sở để xỏc định thiết diện trong trƣờng hợp này là cỏc định lớ về giao tuyến song song.
Định lớ 1
Nếu ba mặt phẳng đụi một cắt nhau theo ba giao tuyến phõn biệt thỡ ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đụi một song song với nhau.
A B C D S O M N P J K H Q I R Hỡnh 2.14 B C D A S M N P E F Q R Hỡnh 2.15
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn