Nghiờn cứu cơ bản về phõn bố EM trong mụi trường hấp thụ

CHƯƠNG I : CƠ SỞ Lí THUYẾT

2.4. Nghiờn cứu cơ bản về phõn bố EM trong mụi trường hấp thụ

Súng điện từ truyền từ trung bỡnh đến trung bỡnh với cỏc chiết suất khỏc và cỏc đặc tớnh quang học khỏc nhau đó được nghiờn cứu rộng rói bởi một số tỏc giả. Điều quan tõm nhất của cả lý thuyết lẫn thực tế là sư phõn bố nhiễu xạ ỏnh sỏng trong vựng hội tụ khi ỏnh sỏng được tập trung bởi một thấu kớnh của kớnh hiển vi. Những nghiờn cứu này đó đúng gúp rất nhiều trong lĩnh vực kớnh hiển vi quang học để thiết kế cỏc ống kớnh mục tiờu tốt hơn, đặc biệt là những ống kớnh cú khẩu độ cao, cũng như cho hỡnh ảnh quang học cú độ phõn giải cao.

Cỏc tài liệu liờn quan đến súng điện từ được đưa ra từ lý thuyết cơ bản do Peter Debye đề xuất từ đầu thế kỷ 19 cho sự chồng chất của súng phẳng đồng nhất truyền ra từ mặt phẳng khẩu độ trong một phạm vi định hướng cụ thể [89]. Năm 1959, Wolf [90] là nhà khoa học đầu tiờn đó mở rộng tớch phõn Debye cho khẩu độ cao tập trung cỏc súng điện từ trong một mụi trường đồng nhất. Lý thuyết này của ụng là sự thể hiện của phổ gúc của súng phẳng, từ đú thu được cụng thức tớch phõn tương tự tớch phõn Debye. Cụng trỡnh này đó mở đường cho sự phỏt triển hơn nữa của sự lan truyền và tiờu cự của một chựm ỏnh sỏng [91–98]. Cỏc tỏc giả đó đưa ra một giải phỏp chớnh xỏc

của phương trỡnh súng đồng nhất và chứng minh tớnh hợp lệ của tớch phõn Debye mở rộng cho cỏc hệ thống thỏa món điều kiện khẩu độ cao. Theo Gasper và cộng sự [92] đó chứng minh một giải phỏp hoàn chỉnh cho cỏc vấn đề và thu được xấp xỉ tiệm cận và biểu thức xuất phỏt cho cỏc trường điện và từ trường. Họ cũng sử dụng cỏch trỡnh bày của phổ gúc của súng phẳng và coi vấn đề lấy nột cho mụi trường đồng nhất là đẳng hướng. Ling và Lee [95] đó điều chỉnh sự tập trung của súng điện từ thụng qua một mặt giao diện. Một điều kiện biờn dưới dạng một phõn bố hiện tại được sử dụng như là một điểm khởi đầu, và việc biểu diễn phổ gúc của súng phẳng cũng được ỏp dụng. Theo cỏch tiếp cận bỏn hỡnh học, với việc sử dụng phương phỏp pha tĩnh, cỏc biểu thức thu được cho cỏc trường điện và từ trường. Tuy nhiờn, do về mặt lý thuyết rất phức tạp nờn việc sử dụng cỏc cụng thức này để tớnh toỏn trường điện từ gần vựng hội tụ là khụng thực tế trong hầu hết cỏc trường hợp. Năm 1976, Gasper và cộng sự là nhúm nghiờn cứu đầu tiờn đó xem xột một súng điện từ tựy ý khi nú di chuyển qua một bề mặt phẳng. Ji và Hongo [96] đó xử lý cỏc vấn đề khỏc nhau của một nguồn điểm và một giao diện điện mụi hỡnh cầu và sử dụng phương phỏp của Maslov để thu được điện trường trong vựng hội tụ. Việc xử lý tổng hợp toàn bộ cỏc lý thuyết khỏc nhau sau đú được đưa ra bởi Stamnes [99]. Năm 1993, Hell và cộng sự [100] coi vấn đề lấy nột đối với vật liệu chiết suất khụng đồng nhất bằng cỏch sử dụng tớch phõn Fresnel- Kirchho. Họ đó tỏch ra 2 thành phần là vectơ điện s và cỏc phần phõn cực p và cũng đó tớnh toỏn hiệu ứng quang sai hỡnh cầu trờn sự hỡnh thành hỡnh ảnh cho một kớnh hiển vi quang đồng tiờu. Tuy nhiờn, cụng thức tớch phõn mà họ sử dụng được lấy từ định lý của Green, nhưng vần sự liờn tục của điện trường. Ngoài thành phần điện trường cũn thành phần tiếp tuyến của từ trường, do đú cụng thức tớch phõn cuối cựng thu được cú thể khụng chớnh xỏc một cỏch chặt chẽ.Chỉ đến khi Torửk et đồng nghiệp [101] đưa ra sự tập trung của súng điện từ thụng qua giao diện phẳng giữa cỏc vật liệu của cỏc chiết suất khỏc nhau được mụ tả đầy đủ bằng trung bỡnh của ma trận chớnh thức. Họ đó mở rộng lý thuyết của Richards-Wolf về một thấu kớnh thủy tinh cú khẩu độ cao, tập trung ỏnh sỏng thụng qua cỏc phương truyền với cỏc chiết suất khỏc nhau trong khi giới thiệu một lượng đỏng kể quang sai. Sau đú, họ đó mở rộng cụng thức của mỡnh với cỏc chiết suất khỏc nhau và đề xuất một cỏch tớnh xấp xỉ cỏc tớch phõn và phương phỏp tớnh toỏn của Debye-Wolf… Gần như cựng một lỳc, nú cũng được Wiersma và Visser [102] chỉ ra một cỏch độc lập bằng cỏch sử dụng phương phỏp trong mụi trường thứ hai bằng cỏch sử dụng phương phỏp hoàn tồn khỏc nhau. Họ đó sử dụng một lý thuyết vectơ kộo theo, được gọi là lý thuyết m. Tuy nhiờn, hiệu suất của tất cả cỏc tỏc giả đó núi ở trờn, cỏc cụng thức tớnh toỏn đó tốn nhiều thời gian và thường tạo ra sự dao động

nhanh bởi cỏc nhiễu xạ cú thể gõy ra cỏc sai số… Để cải thiện điều này, Leutenegger và cộng sự [103] và Lin và cộng sự [104] đưa ra cỏc kỹ thuật tớnh toỏn nhanh được đề xuất bằng cỏch sử dụng phộp biến đổi Fourier để cú được hiệu suất nhiễu xạ. Phương phỏp tớnh toỏn được đưa ra bởi Leutenegger và cộng sự nhanh hơn 40 lần so với cỏc phương phỏp cổ điển bằng cỏch tớch hợp trực tiếp.

Hầu hết cỏc mụ hỡnh tớnh toỏn nghiờn cứu này được thực hiện bằng cỏch tớnh xấp xỉ một số giải phỏp nghiờm ngặt [92]. Tuy nhiờn, cỏc giải phỏp chớnh xỏc của Maxwell hoặc phương trỡnh súng cũng đó thu được [105]. Trong số nhiều cỏch tiếp cận và thảo luận, những phương phỏp được đưa ra bởi Torửk và cụng sự [101], bởi Wiersma và Visser [102] và bởi Leutenegger và cộng sự [103] thường được sử dụng vỡ dễ dàng để tớnh toỏn số. Phương trỡnh hoặc phương trỡnh súng cũng đó được thực hiện.

Theo những gỡ đó tỡm hiểu, chỳng tụi nhận thấy rằng, mặc dự ỏnh sỏng chiếu qua một giao diện phẳng giữa cỏc vật liệu cú chiết suất khỏc nhau đó được khảo sỏt rộng rói nhưng lại khụng chỳ ý đến súng điện từ tập trung vào một mụi trường hấp thụ - đõy là cỏc trường hợp thường xảy ra trong thực tế khi ỏnh sỏng được tập trung vào vật liệu nhạy sỏng thụng qua một mụi trường dầu hoặc thủy tinh. Việc nghiờn cứu súng điện từ lan truyền trong mụi trường hấp thụ khi ỏnh sỏng bị suy giảm khi đi qua là rất cần thiết. Trong một mụi trường hấp thụ, chiết suất khụng cũn được xỏc định bởi một đại lượng thực duy nhất mà bởi một đại diện phức tạp. Do đú, vectơ súng khụng cũn là vectơ thực mà được xỏc định bởi một vectơ phức, được biểu diễn bằng hỡnh elip. Cú một số bài bỏo liờn quan đến việc truyền súng điện từ thụng qua cỏc giao diện

đơn hoặc đụi giữa mụi trường đẳng hướng đồng nhất và phương phỏp mất mỏt bằng cỏch sử dụng phương phỏp dũ tia [106-117]. Một phương phỏp dũ tia phức tạp chung được đề xuất để xỏc định cỏc chiết suất, vectơ súng, vectơ tia (hoặc vectơ Poynting) và hướng phõn cực của súng khỳc xạ cho hướng ngẫu nhiờn của hướng chớnh và hướng tựy ý của trục chớnh. Tất cả những lý thuyết này cho phộp giải thớch những quan sỏt thử nghiệm trong cỏc trường hợp khỏc nhau.

Trong lĩnh vực chế tạo nano, một vớ dụ đắt tiền là khắc bằng laser trực tiếp (DLW) trong đú ỏnh sỏng được tập trung vào một chất quang dẫn. Việc nghiờn cứu súng điện từ tập trung vào một mụi trường hấp thụ như vậy rất quan trọng trong DLW bởi vỡ, khi ỏnh sỏng được tập trung vào cỏc chất quang dẫn, cường độ của điểm lấy nột liờn tục bị suy giảm như một hàm của độ sõu từ giao diện (giữa một mụi trường trong suốt và lớp cảm quang). Kớch thước và hỡnh dạng của thể tớch rắn ở vựng tiờu cự hoàn

toàn được xỏc định bởi một ngưỡng (tỷ lệ thuận với mức cường độ đẳng ỏp ở vựng tiờu cự), tại đú xảy ra đỏng kể cỏc phản ứng polyme húa.

Mục đớch của chương này là mở rộng cỏch xử lý của Wolf đối với vấn đề nhiễu xạ trong cỏc trường hợp khi súng điện từ được tập trung vào một mụi trường hấp thụ, để cú cỏi nhỡn sõu sắc về vật lý của sự hỡnh thành vựng hội tụ, sau đú được ỏp dụng cho DLW.

2.4.1. Sự hội tụ của súng điện từ trong mụi trường hấp thụ.

Như đó đề cập ở trờn, Torửk và cỏc đồng nghiệp đó thu được một giải phỏp nghiờm ngặt cho súng điện từ tập trung trong một phương truyền phõn tầng khụng tổn thất[101]. Để thiết lập cụng thức của súng khụng đồng nhất trong mụi trường hấp thụ, chỳng tụi đó điều chỉnh cỏch tiếp cận của họ để lấy ra điện từ ngay trước giao diện giữa hai mụi trường. Trường trờn giao diện tuõn theo định luật khỳc xạ chung của Snell mà Fedorov và Nakajimawe gần đõy đó thu được [118] cho cỏc súng phẳng xảy ra trờn giao diện. Trường được lấy ngay sau khi giao diện được sử dụng làm điều kiện biờn cho tập hợp cụng thức tớch phõn thứ hai tương ứng với sự chồng chất của súng phẳng, mụ tả trường trong mụi trường thứ hai. Theo cỏch này, bài toỏn nhiễu xạ được giải theo một cỏch toỏn học chặt chẽ và giải phỏp là phương trỡnh súng khụng thuần nhất.

Hỡnh 2.4. Sơ đồ ỏnh sỏng tập trung bởi một ống kớnh vào một mụi trường đơn lẻ.

Một nguồn điểm nằm trong khụng gian tại z = −∞ phỏt ra một súng điện từ đơn sắc và kết hợp phõn cực tuyến tớnh. Sau đú, súng lan truyền xảy ra trờn một thấu kớnh khẩu độ tạo ra súng hỡnh cầu hội tụ trong khụng gian hỡnh ảnh. Nguồn gốc O của hệ tọa độ (x, y, z) được đặt ở tiờu điểm Gaussian. Cỏc trường điện và từ được xỏc định tại điểm P tựy ý trong vựng tiờu cự.

2.4.2. Khai triển tớch phõn Debye – Wolf.

Chỳng tụi xem xột một hệ thống quang học đối xứng với một trục quang z (như thể hiện trong Hỡnh 2.4). Hệ thống này hỡnh ảnh một nguồn điểm nằm trong khụng gian tại z = -∞ và phỏt ra một súng điện từ đơn sắc và mạch phõn cực tuyến tớnh. Làn súng này xảy ra khi ống kớnh tạo ra một làn súng hỡnh cầu hội tụ trong khụng gian hỡnh ảnh. Nguồn gốc O của hệ tọa độ (x, y, z) được định vị ở trọng tõm Gaussian. Cỏc trường điện và từ được xỏc định tại điểm P tựy ý từ một khẩu độ đó được coi là lớn so với bước súng. Trong Hỡnh 2.4 và những gỡ sau, s = (sx, sy, sz) là vector đơn vị dọc theo một tia điển hỡnh trong khụng gian hỡnh ảnh và rP= (x, y, z) là vector vị trớ trỏ từ

O đến P. Cho Ẽ (P, t) cho thấy trường điện tử phụ thuộc thời gian và ̃( , ) cho biết trường từ trường phụ thuộc thời gian tại P tại thời điểm t, do đú

̃̃ (2.12)

( , ) = [ ( )exp(−ⅈ )

̃̃ (2.13)

( , ) = [ ( )exp(−ⅈ )

Re ở đõy là phần thực.

Trong một khụng gian hỡnh ảnh khụng đồng nhất, cỏc trường điện và điện từ khụng thời gian cú thể được trỡnh bày dưới dạng sự chồng chộo của cỏc súng phẳng [89], và chỳng tụi sử dụng dạng phỏt triển của Wolf [90]:

( )=− ⅈ ∬ ( , ) exp(ⅈ [ ( , ) + . ]) ⅆ ⅆ , (2.14) 2 ( )=− ⅈ ∬ ( , ) exp(ⅈ [ ( , ) + . ]) ⅆ ⅆ , (2.15) 2

trong đú Φ (sx, sy) là chức năng sai lệch (mụ tả đường đi quang học giữa mặt trước của súng quang và mặt cầu dọc theo s, a và b là cỏc vectơ sức mạnh điện và từ trường tương ứng của cỏc điện trường và điện từ khụng bị trật bỏnh ở lối ra aperture Σ, k là số súng, và Ω là gúc cứng được hỡnh thành bởi tất cả cỏc tia quang học hỡnh học (và do đú đú là một giới hạn cho tất cả cỏc vector vectơ đơn vị).

2.4.3. Khai triển tớch phõn Debye- Wolf mở rộng.

Chỳng tụi lưu ý rằng cụng thức (2.14) và (2.15) biểu diễn của súng rời khỏi khẩu độ của OL. Ngoài ra, cỏc trường điện và từ khụng phụ thuộc vào mặt súng đặc biệt trong gúc Ω mà qua đú việc tớch hợp được thực hiện. Điều này cú thể được chứng minh bằng toỏn học [119]. Cỏc phương trỡnh (2.14) và (2.15) cũng chỉ ra rằng cỏc yếu tố pha (ngoài chức năng sai lệch) là một yếu tố vụ hướng của vectơ s và rp. Kết quả là, hệ số pha thể hiện sự di chuyển đường quang giữa cỏc đầu súng đi qua điểm P và

Gaussian lấy nột O, khụng giống như tớch phõn Fresnel-Kirchho, mà hệ số pha tỷ lệ thuận với đường đi đầy đủ từ khẩu độ đến P.

Việc xem xột của chỳng tụi là, khụng gian hỡnh ảnh của OL bao gồm vật liệu 1 (lossless) và 2 (lossy) với cỏc chiết suất n1 và ủ2 = n2 + iκ, tương ứng, được tỏch ra bởi một mặt phẳng phẳng vuụng gúc với trục quang, như thể hiện trong Hỡnh 2.5. Tõm O được định vị ở trọng tõm Gaussian. Chỳng tụi tớnh lại cụng thức (2.14) như sau:

Trong vật liệu 1 và tại bề mặt (z = -d), điện trường được đưa ra bởi:

1( , , −ⅆ) = −

ⅈ 1

∬ (ⅇ)( 1) exp[ⅈ 1( 1 + 1 − 1 ⅆ)] ⅆ 1 ⅆ 1 , (2.16)

2 1

trong đú cỏc chỉ số dưới 1 (và 2 trong phần sau) biểu thị cỏc giỏ trị tương ứng với cỏc vựng trong vật liệu 1 (và 2) tương ứng, vật kớnh được coi là khụng cú sai lệch (Φ (s1x, s1y) = 0), và

(ⅇ) =

( 1 , 1 ) (2.17)

Chỳng tụi sẽ khụng trỡnh bày sự phỏt sinh của cỏc cụng thức tương ứng với trường từ, bởi vỡ, ngoài cỏc vectơ cường độ, pt (2.13) và phương trỡnh (2.14) gần giống nhau.

Hỡnh 2.5. Sơ đồ ỏnh sỏng tập trung bởi một thấu kớnh vào hai phương tiện cỏch nhau bởi một giao diện phẳng.

Để mụ tả trường trong vật liệu thứ hai, chỳng tụi giả định rằng mỗi thành phần súng phẳng khỳc xạ ở giao diện tuõn theo luật của Snell phức tạp, và kết quả là trường

được xõy dựng như một sự chồng chộo của súng phẳng. Nếu biờn độ của súng phẳng phỏt ra khi giao diện được mụ tả bởi W(e), thỡ biờn độ của cỏc súng phẳng truyền qua trong vật liệu thứ hai là một hàm tuyến tớnh của W(e), tức là

T(2) W(e), (2.18)

Trong đú toỏn tử T(2) là một hàm phức tạp của gúc tới, và của n1 và ủ2. Cỏc đường truyền trong vật liệu thứ hai ở vựng lõn cận gần (z = -d + δ) của bề mặt được cho bởi

2( , , −ⅆ) = − ⅈ

2 1 ∬ 1 (2) (ⅇ)( 1) exp[ⅈ 1( 1 + 1 − 1 ⅆ)] ⅆ 1 ⅆ 1 , (2.19)

khi δ → 0 Chỳng tụi trỡnh bày trường bờn trong vật liệu thứ hai một lần nữa như một sự chồng chộo của súng phẳng. Trong tài liệu thứ hai, vector wavesumber k2 cú một biểu diễn vector phức tạp, tức là k2 = k'2 + ik''2, trong đú k'2 và k''2 là cỏc vector thực. Mỗi vector cú hướng lan truyền riờng, được đặc trưng bởi cỏc vector đơn vị s'2 và s''2, tương ứng. Chỳng tụi thấy rằng k''2 luụn luụn vuụng gúc với giao diện, do đú tớch hợp trong phương trỡnh (2.19) chỉ phụ thuộc vào hướng của k'2, do đú s'2. Bõy giờ chỳng tụi cú thể biểu diễn vector phức tạp trong mụi trường thứ hai như k2 = k'2 + ik''2 = k'2s'2

+ ik''2s''2 trong đú k'2 và k''2 được xỏc định bởi | 2′| = ′ và | 2′′| = ′′. Phương

0 0

trỡnh súng theo thời gian độc lập trong mụi trường thứ hai bõy giờ cú thể được viết như: 2( ) = ∬ (ⅇ)( ′2) exp(ⅈ( 2 . ) ⅆ ′2 ⅆ ′ 2 2 = ∬ (ⅇ)( ′1) exp[ⅈ( ′2 ′2 . ] exp(− ′′2 )ⅆ ′2 ⅆ ′2 , 2 (2.20) Chỳng tụi phải xỏc định hàm F(e) (s'2), và vỡ thế chỳng tụi sẽ sử dụng phương trỡnh (2.19), biểu diễn một điều kiện biờn cho phương trỡnh (2.20). Hơn nữa, chỳng tụi sẽ thiết lập mối quan hệ giữa s1 và s'2.

Từ định luận vector phản xạ, chỳng tụi cú:

′ ′ 2 − = ( ′ cos ∅ 2 − cos ∅ ) ,

(2.21)

2 1 1 2 1 1

trong đú u đại diện cho bề mặt bỡnh thường, ϕ1 = (s1, u) và ϕ2 = (s'2, u), rằng

′2 ′2 = 1 1 , ′2 ′2 = 1 1 (2.22)

Kết quả của việc chuyển đổi tọa độ và thiết lập s'2 = f (s1), cụng thức (2.20) trở thành:

2( ) = ∬ 2 (ⅇ)( ′2) exp(ⅈ ′2 ′2 . ) exp(− ′′2 ) ì 0( 1 , 1 ; 2 , 2 )ⅆ 1 ⅆ 1 (2.23) trong đú J0 là ma trận Jacobi của phộp biến đổi tọa độ:

1 2

0 = ( ′2)

bằng cỏch sử dụng cụng thức (2.22). Phương trỡnh (2.23) thỏa món điều kiện biờn được biểu diễn bởi phương trỡnh (2.19) khi

′2 (ⅇ)( , ) = ( ⅈ2 ) (ⅇ) ( 1 , 1 ) exp[−ⅈⅆ( − ′ ′ )] exp(− ′′ⅆ), (2.24) 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1

Thay thế phương trỡnh (2.24) vào phương trỡnh (2.23), chỳng tụi sẽ cú được điện trường trong vật liệu thứ hai:

ⅈ ′ 2 ( , , ) = − ∬ ⅇ ( , ) 2 exp[−ⅈⅆ( − ′ ′ )] 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 ì exp(ⅈ 2′ 2 ′) exp[ⅈ 1( 1 + 1 )] ì exp[(− 2′′( + ⅆ)]ⅆ 1 ⅆ 1

(2.25) Tất cả điều kiện biờn biểu diễn bởi phương trỡnh (2.19), và biểu diễn tỏch rời từ phương trỡnh (2.20) là cỏc giải phỏp chớnh xỏc của phương trỡnh súng đồng nhất và khụng đồng nhất. Vỡ vậy, chỳng tụi đó thành cụng cú được một sự mở rộng phự hợp của giải phỏp của Wolf trong vật liệu thứ hai.

CHƯƠNG III: KẾT QUẢ Mễ PHỎNG VỀ PHÂN BỐ TRƯỜNG QUANG TRONG VÙNG HỘI TỤ CỦA VẬT KÍNH Cể KHẨU ĐỘ SỐ CAO.