6 Địa phương hóa một vành
6.4 Một số tính chất bảo tồn bởi địa phương hóa
Định lí 6.4.1. Cho Alà một vành và S là một tập nhân tính của A. Ta có
1. NếuAlà nhân tử hóa thì S−1A cũng là nhân tử hóa. Các phần tử bất khả qui củaS−1A chính là các phần tử bất khả qui của Akhơng là ước của bất kì phần tử nào củaS ;
2. NếuAlà một miền chính thì S−1Acũng là một miền chính; 3. NếuAlà một miền Euclid thì S−1Acũng là một miền Euclid.
Chứng minh. Để cho gọn, ta đặtB =S−1A. Nhận xét rằng nếuB là một trường thì các khẳng định cần chứng minh là tầm thường. Ta sẽ giả sửB không phải là một trường.
1. GọiP là một hệ đại diện các phần tử bất khả qui củaA, nghĩa là một phần tử bất khả qui củaAliên kết với đúng một phần tử của P. GọiQtập con các phần tử củaP khơng là ước của bất kì phần tử nào củaS. Giả thiếtB không phải là một trường chứng tỏQ 6=∅. Từ tính nhân tử hóa củaAdễ thấy rằng mọi phần tử6= 0của B có thể được viết thành tích các phần tử củaQvà một phần tử đơn vị. Ta chứng minh mỗi phần tử của Q là bất khả qui trong B. Giả sửq ∈ Q. Trước hết nhận xét rằng q /∈B∗. Thật vậy, nếu qas = 1với a∈A, s∈S nào đó thìqa=s và do đóq|svơ lý. Giả sử q= asbt
với a, b∈A, s, t∈S nào đó thìab=qst, như vậy q|ab. Do qlà bất khả qui trong Ata suy ra q|a hoặcq|b, haya=qa0 hoặcb=qb0. Nhưng khi đó hoặc1 = as0bt hoặc1 = asbt0, nghĩa là hoặc bt ∈B∗ hoặc as ∈B∗. Như vậyqlà bất khả qui trongB. Các lập luận trên cũng chứng tỏ các phần tử bất khả qui củaB chính là các phần tử bất khả qui củaAkhông là ước một phần tử nào củaS.
Bây giờ ta chứng minh rằng các phần tử bất khả qui của B là nguyên tố. Giả sử as là một phần tử bất khả qui của B và chia hết btuc, nghĩa là asdv = btuc với b, c, d ∈ A, t, u, v ∈ S nào đó. Ta suy ra adtu=bcsv và như vậya|bcsv. Nếua|sv, nghĩa làae=sv vớie∈Anào đó thì a
s e
v = 1và a s ∈B∗, mâu thuẫn với giả thiết bất khả qui của as. Như vậya-svvà do đóa|bcvàa|bhoặca|c. Nếua|b trongAthì as | b
t trongB. Tương tự, nếua|c thì as | c
u trongB.
2. Giả sửblà một ideal củaB. Do Alà một vành chính, ta có a=b∩A là một ideal chính, chẳng hạn
3. Giả sử f :A× →Nlà một hàm Euclid. Nếu x∈ B× thì theo chứng minh tại phần 1 ở trên tồn tại a ∈ A, u ∈B∗ sao cho x=ua vàa nguyên tố cùng nhau với mọi phần tử của S. Ta mở rộng hàm Euclid trên B bằng cách đặt
φ(x) =f(a)
Trước hết, ta chỉ ra đây là định nghĩa tốt. Thật vậy, giả sử x=vb vớiv ∈B∗, b∈A vàb nguyên tố cùng nhau với mọi phần tử của S. Ta cóauv−1 =b. Viết uv−1 = sc với c∈A, s∈S nào đó, thế thì ac=bs. Nhưng bởi vìsvàangun tố cùng nhau, ta suy ras|c, như vậyuv−1∈A. Tương tự, ta có vu−1∈A. Từ đó suy ra avàblà hai phần tử liên kết của Avà do đóf(a) =f(b).
Bây giờ ta chứng minhφđịnh nghĩa một hàm Euclid trênB. Trước hết ta chứng minh nếux, y∈B× thì φ(x)≤φ(xy). Viết x=ua, y =u0a0 vớiu, u0 ∈B∗, a, a0 ∈A là các phần tử nguyên tố cùng nhau với mọi phần tử của S. Thế thì xy=uu0aa0 là với uu0 ∈ B∗, aa0 ∈A nguyên tố cùng nhau với mọi phần tử của S. Do đóφ(xy) =f(aa0)≥f(a) =φ(x). Cuối cùng ta chứng minh sự tồn tại của phép chia Euclid trênB. Giả sửx∈B, y∈B×. Rõ ràng nếux= 0thì0 =0 + 0là phép một chia Euclid. Giả sửx∈B×. Như ở trên, ta viếtx=ua, y =u0a0 vớiu, u0∈B∗, a, a0∈Alà các phần tử nguyên tố cùng nhau với mọi phần tử củaS. DoAlà một vành Euclid, ta cóa=a0q0+r0 vớiq0, r0∈Avàr0 = 0
hoặcf(r0)< f(a0). Thế thìx=yq+rvớiq=uu0−1q0, r=ur0 là phép chia Euclid cần tìm.
Nhận xét 6.4.2. Một số tính chất quan trọng khác cũng được bảo tồn dưới địa phương hóa mà ta sẽ đề cập tới, chẳng hạn tính Noether, tính đóng ngun, tính phẳng.
Bài tập 58. ChoA=Z/(6) vàS={1,¯ ¯3,¯5}. Chứng minh rằng S là một tập nhân tính củaA và tìmkerφ vớiφ:A→S−1A là ánh xạ chuẩn tắc.
Bài tập 59. ChoAlà một vành và S là một tập nhân tính. Chứng minh rằng các khẳng định sau là tương đương
1. S−1A= 0
2. 0∈S;
3. S∩nilrad(A)6=∅.
Bài tập 60. ChoAlà một vành và S là một tập nhân tính. Chứng minh rằngA→S−1Alà một đẳng cấu khi và chỉ khi mọi phần tử của S là khả nghịch.
Bài tập 61. ChoA, B là hai vành vàC=A×B. Chứng minh rằngA, B là các vành các phân thức củaC. Bài tập 62. ChoA là một vành. Định nghĩaS={x∈A×;∃a, b∈A, x=a2+b2}.
1. Chứng minh rằngS là một tập nhân tính củaA; 2. VớiA=Z,R[X], hãy xác định vànhS−1A.
Bài tập 63. ChoA là một miền nguyên với trường các thươngK. Với mỗi m∈SpecmAta đồng nhất Am với một vành con củaK. Chứng minh rằngA=∩m∈SpecmAAm.
Bài tập 64. Cho K là một trường và A = K[X, Y]/(Y2). Đặt S = {f(X)X +g(X)Y;f(X), g(X) ∈ K[X], f(X)6= 0}.
1. Chứng minh rằngS là một tập nhân tính củaA;
2. Chứng minh rằng vànhS−1A đẳng cấu vớiK(X)[Y]/(Y2).
Bài tập 65. Cho A là một vành con củaQ. Chứng minh rằng tồn tại một tập nhân tính S củaZ sao cho A'S−1
Z. Từ đó suy raA là một miền Euclid (nói riêng, là một miền chính).
Bài tập 66. Cho A là một miền chính và K là trường các thương. Chứng minh rằng mọi vànhB sao cho A⊂B ⊂K là một vành các phân thức của A tương ứng với một tập nhân tính nào đó. (Kết quả này mở rộng bài tập trước).
Bài tập 67. ChoK là một trường. Chứng minh rằngK[X, Y]/(XY −1)là một miền chính.
Bài tập 68. ChoAlà một vành vàmlà một ideal cực đại. Chứng minh rằng với mọinnguyên dương, vành A/mn là một vành địa phương.
Bài tập 69. ChoK là một trường. Chứng minh rằngK[[X]]là một vành địa phương.
Bài tập 70. Chứng minh rằng một vành A là địa phương khi và chỉ khi với mọix, y∈A, x+y = 1 =⇒ x∈A∗ hoặc y∈A∗.
7 Cơ bản về module