6 Địa phương hóa một vành
7.3 Bổ đề Nakayama
Kết quả sau đây là phiên bản module của Định lý Cayley-Hamilton quen thuộc.
Định lí 7.3.1. ChoM là mộtA-module hữu hạn sinh vàf :M →M là mộtA-tự đồng cấu module. Giả sử
Imf ⊂aM với một ideala nào đó. Khi đó tồn tại một đa thức đơnP(x) =a0+a1x+· · ·+an−1xn−1+xn với các hệ sốa0, a1, . . . , an−1 trong a sao choP(f) = 0.
Chứng minh. Ta sử dụngmẹo định thức như sau. Gọix1, . . . , xn là một hệ sinh củaM. Ta có thể viết, với i= 1, . . . , n,f(xi) =Pnj=1aijxj vớiaij∈a. Nói một cách khác ta có một hệ đẳng thức
n
X
j=1
(δijf −aij)xj = 0
với mọii= 1, . . . , n(ở đây,δij là kí hiệu Kronecker). Nhân hai vế ở bên trái với ma trận phụ hợp của ma trận (δijf−aij) ta thấydet(δijf−aij)triệt tiêu tất cả các xi và do đó triệt tiêuM (vì các xi là một hệ sinh). Như vậydet(δijf−aij) = 0. Khai triển định thức ở vế trái cho ta kết quả mong muốn.
Kết quả sau đây là cơ sở của nhiều dạng phát biểu khác nhau của Bổ đề Nakayama.
Mệnh đề 7.3.2. Cho M là một A-module hữu hạn sinh. Giả sử a là một ideal sao cho aM =M. Khi đó tồn tạix∈A, x= 1 moda sao choxM = 0.
Chứng minh. Áp dụng Định lý 7.3.1 chof = Idta được một đẳng thức có dạng
Id(1 +a1+· · ·+an) = 0
với cácai∈a. Rõ ràng phần tử x= 1 +a1+· · ·+an thỏa mãn điều kiện yêu cầu. Kết quả quan trọng sau đây là phát biểu quen thuộc nhất của Bổ đề Nakayama.
Định lí 7.3.3(Bổ đề Nakayama). ChoM là mộtA-module hữu hạn sinh và a⊂Alà một ideal nằm trong căn Jacobson củaA. NếuaM =M thì M = 0.
Chứng minh. Thật vậy, theo mệnh đề 7.3.2,xM = 0vớix≡1 (mod J(A))nào đó. Theo Mệnh đề 2.2.19,x−
1∈J(A) =⇒ x∈A∗. Do đóM =x−1xM = 0.
Hệ quả 7.3.4. Giả sử M là một A-module hữu hạn sinh và N là một module con củaM. Nếu a là một ideal nằm trong căn Jacobson củaA thỏa mãnaM+N =M thìM =N.
Chứng minh. Áp dụng Bổ đề Nakayama choM/N cùng với nhận xéta(M/N) = (aM +N)/N.
Giả sửM là một module trên một vành địa phương(A,m). Khi đó module thươngM/mM bị triệt tiêu bởimnên có một cấu trúcA/m-module, nghĩa là một không gian vector trênA/m. Nhận xét rằng nếuM là hữu hạn sinh thì ảnh của một hệ sinh của M là một hệ sinh của A/m-không gian vectorM/mM. Kết quả sau là một dạng địa phương của Bổ đề Nakayama.
Mệnh đề 7.3.5. ChoA là một vành địa phương với ideal cực đạim vàM là mộtA-module hữu hạn sinh. Giả sửm1, . . . , mn là các phần tử củaM sao cho ảnh của chúng trongM/mM là một cơ sở củaA/m-khơng gian vectorM/mM. Thế thì các phần tửm1, . . . , mn là một tập sinh củaM.
Chứng minh. GọiN là module con củaM sinh bởim1, . . . , mn. Khi đó hợp thành của các ánh xạ N→M →M/mM
là một toàn cấu từN vàoM/mM. Ta suy raN+mM =M. Áp dụng Hệ quả 7.3.4 ta đượcM =N.