6 Địa phương hóa một vành
7.2 Phần tử sinh của module
Định nghĩa 7.2.1(Tổng trực tiếp và tích trực tiếp). Cho(Mi)i∈I là một họ các A-module. Ta định nghĩa tổng trực tiếp và tích trực tiếp của chúng như sau
1. ⊕i∈IMi={(mi)i∈I;mi∈I, mi= 0 với hầu hết cáci}; 2. Q
i∈IMi={(mi)i∈I;mi∈I}.
với các phép toán được định nghĩa một cách hiển nhiên.
Nhận xét 7.2.2. Dễ thấy rằng các khái niệm tích trực tiếp và tổng trực tiếp là trùng nhau nếu tập chỉ số là hữu hạn.
Định nghĩa 7.2.3(Hệ sinh, module tự do). Cho M là mộtA-module.
1. Với mọi m∈M, tập các bội {am, a∈A} củam là một A-module con của M, được kí hiệu bởi Am hay(m);
2. Một họ các phần tử(mi)i∈I củaM được gọi là một hệ sinh củaM nếu mọi phần tử củaM đều có thể viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử mi, nghĩa là, với mọi m ∈M, tồn tại một họ các phần tửai∈A, i∈I, bằng 0 với hầu hếti sao cho
m=X
i∈I aimi
Như vậy, (mi)i∈I là một hệ sinh của M nếu
M =X
i∈I Ami
3. ModuleM được gọi là hữu hạn sinh nếu có một hệ sinh hữu hạn.
Mệnh đề 7.2.4. Một module là hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu đẳng cấu với một thương của An với nnào đó.
Chứng minh. ⇒.Giả sửx1, . . . , xn là một hệ sinh củaM. Ta định nghĩa
φ: An → M
(a1, . . . , an) 7→ a1x1+· · ·+anxn Rõ ràngφlà một toàn cấuA-module. Ta suy ra M 'An/kerφ.
⇐. Giả sửφ:A →M là một toàn cấu A-module. Vớii = 1, . . . , n, đặt ei= (0, . . . ,0,1,0, . . . ,0) ∈An (trong đó1 nằm ở vị trí thứ i). Thế thì các phần tử ei là một hệ sinh của An. Doφlà một toàn cấu, các phần tửφ(e1), . . . , φ(en)là một hệ sinh của M.
Định nghĩa 7.2.5(Module tự do, cơ sở). ChoM là mộtA-module.
1. Một họ khác rỗng các phần tử(mi)i∈I củaM được gọi là mộtA-cơ sở củaM nếu mọi phần tử củaM đều có thể viết một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử mi. Nói một cách khác
(mi)i∈I là một cơ sở nếu là một hệ sinh và độc lập tuyến tính trênA; 2. M được gọi là một module tự do nếu có một cơ sở hoặcM = 0.
Mệnh đề 7.2.6. MộtA-moduleM được là tự do nếu và chỉ nếu đẳng cấu với một tổng trực tiếpA(I)=⊕i∈IA các phiên bản của A.
Chứng minh. ⇒.Giả sử(xi)i∈I là mộtA-cơ sở củaM. Ta định nghĩa φ: A(I) → M
(ai)i∈I 7→ P
i∈Iaixi Rõ ràngφđược định nghĩa tốt và là một đẳng cấuA-module.
⇐. Giả sử φ:A(I)→M là một toàn cấu A-module. Vớii∈I, gọiei ∈A(I) là phần tử có tọa độ thứj bằng1nếuj=ivà bằng 0nếuj6=i. Thế thì các phần tử (ei)i∈I là một cơ sở của A(I). Doφlà một đẳng cấu, rõ ràng các phần tửφ(ei))i∈I tạo thành một cơ sở của M.
Tương tự như với các khơng gian vector, ta có
Mệnh đề 7.2.7. Hai cơ sở bất kì của mộtA-module tự do có cùng lực lượng.
Chứng minh. Gọimlà một ideal cực đại củaAvàklà trường thặng dư tương ứng. Module thươngM/mM bị triệt tiêu bởimdo đó có một cấu trúckkhơng gian vector. MỗiA-cơ sở(xi)i∈I củaM xác định một đẳng cấuA-moduleA(I)'M do đó cảm sinh một đẳng cấuk-khơng gian vector(A/m)(I)=k(I)'M/mM. Như vậyI chính là lực lượng của một cơ sở củak-không gian vector M/mM. Nhưng ta biết rằng lực lượng của hai cơ sở của một không gian vector là bằng nhau.
Mệnh đề 7.2.7 cho phép đưa ra định nghĩa sau.
Định nghĩa 7.2.8 (Hạng của module tự do). Ta gọi hạng của một module tự do lực lượng của một A-cơ sở bất kì. Theo qui ước, hạng của module0 bằng0.
Nhận xét 7.2.9. Trong một mục sau đây, ta sẽ đưa ra một khái niệm hạng của các module (khơng nhất thiết tự do) trên một miền chính và hạng của một module con của một module tự do trên một miền nguyên.