6 Địa phương hóa một vành
7.1 Các định nghĩa và định lý đẳng cấu cơ bản
Định nghĩa 7.1.1 (Module). Một module trên một vành A là một nhóm giao hốn M cùng với một tác động tuyến tính củaA. Một cách cụ thể hơn, mộtA-module là một cặp(M,·), trong đóM là một nhóm giao hốn và ·:M →M là một ánh xạ, mà ta sẽ viếtam thay cho·(a, m), thỏa mãn các tính chất sau
1. a(m+m0) =am+am0; 2. (a+a0)m=am+a0m; 3. (aa0)m=a(a0m); 4. 1m=m
với mọia, a0∈A, m, m0∈M.
Ví dụ 7.1.2. 1. Nếua⊂A là một ideal thìa là mộtA-module;
2. Vành các đa thứcA[X]và vành các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong Alà các A-module; 3. NếuA=K là một trường thì khái niệmA-module trùng với khái niệmK-không gian vector;
4. VớiA=Z, khi đó mộtZ-module khơng có gì khác ngồi một nhóm abel. Với Glà một nhóm Abel, ta chỉ cần đặt ng=g+g+· · ·+g,n∈Z, g∈G;
5. ChoV là mộtK-không gian vector vàf là một tự đồng cấu tuyến tính củaV. Ta có thể trang bị cho V cấu trúc của mộtK[X]-module bằng cách đặt P(X)·v=P(f)(v).
Định nghĩa 7.1.3 (Đồng cấu module). ChoM, N là haiA-module. Một đồng cấuA-module, hay một ánh xạA-tuyến tính, là một đồng cấu nhómf :M →N tương thích với tác động củaA. Nói cách khác nếu
f(x+y) = f(x) +f(y)
f(ax) = af(x)
với mọix, y∈M, a∈A. Ta định nghĩa các khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấuA-module theo cách quen thuộc.
Ví dụ 7.1.4. 1. NếuA=K là một trường, một đồng cấuA-module chính là một ánh xạ tuyến tính giữa cácK-khơng gian vector;
2. Một đồng cấuZmodule chính là một đồng cấu nhóm giữa các nhóm Abel; 3. Ánh xạx7→2xlà một đẳng cấuZ-module giữa Zvà2Z;
4. Ánh xạZ2→Z[i],(a, b)7→a+bilà một đẳng cấuZ module nhưng không là một đẳng cấu vành. Dĩ nhiên, hợp thành của hai đồng cấu A-module là một đồng cấuA-module. Ngoài ra, tập các đồng cấu A-module từM vàoN, kí hiệu làHomA(M, N)hayHom(M, N)nếu khơng có sự nhầm lẫn nào về vành cơ sởA, là mộtA-module với các phép toán sau:
(f+g)(x) = f(x) +g(x)
Định nghĩa 7.1.5(Module con và thương). ChoM là mộtA-module.
1. Một module con M0 củaM là một nhóm con củaM đóng với phép nhân với các phần tử củaA (nói cách khác nếu phép nhúng M0→M là một đồng cấuA-module);
2. NếuM0 là một module con của M thì nhóm thươngM/M0 có một cấu trúcA-module tự nhiên, gọi là module thưong, với phép nhân cho bởi a(m+M0) =am+M0.
ChoM0⊂M là một modulue con. Phép chiếu chính tắcM →M/M0 là một đồng cấuA-module. Tương tự như một kết quả quen thuộc với các ideal, ta có một phép tương ứng1−1, bảo tồn thứ tự, giữa các
module con củaM chứaM0 và các module con củaM/M0.
Định nghĩa 7.1.6 (Hạch, ảnh và đối hạch). Cho f : M → N là một đồng cấu A-module. Khi đó, hạch
kerf ={m∈M;f(m) = 0} và ảnh Imf =f(M) (theo nghĩa đồng cấu nhóm) tương ứng là các A-module con củaM vàN. Ta gọi module thương Coker(f) =N/Imf là đối hạch củaf.
Mệnh đề 7.1.7. Chof :M →N là một đồng cấuA-module. 1. f là một đơn cấu⇔kerf = 0;
2. f là một toàn cấu⇔Imf =N ⇔Cokerf = 0.
Chứng minh. Hiển nhiên, bởi vì một đồng cấuA-module là một đồng cấu nhóm. Tương tự như với định lý phân tích đồng cấu nhóm quen thuộc, ta có
Định lí 7.1.8 (Định lý đẳng cấu thứ nhất). Mọi đồng cấu A-modulef :M →N cảm sinh một đẳng cấu A-module
¯
f :M/kerf 'Imf định nghĩa bởi f¯(m+ ker(f)) =f(m).
Chứng minh. Đây là một bài tập đơn giản.
Ta có một số xây dựng cơ bản các module từ các module cho trước như sau.
Định nghĩa 7.1.9(Tổng và giao các module con). Cho(Mi)i∈I là một họ cácA-module con củaM. 1. Tổng X i∈I Mi:= ( X h.h mi;mi∈Mi )
là một module con củaM. Cụ thể hơn, đây là module con nhỏ nhất chứa tất cả cácMi.
2. Giao∩i∈IMi cũng là một module con củaM. Đây là module con lớn nhất củaM nằm trong tất cả các Mi.
Ta chú ý khái niệm sau đây.
Định nghĩa 7.1.10(Tích của một module với một ideal). Vớialà một ideal củaAvàM là mộtA-module, ta định nghĩaaM là module con củaM gồm các phần tử có dạng tổng hữu hạn P
iaimi,ai∈a, mi∈M. Các đẳng cấu sau đây là phiên bản cho các module của các kết quả quen thuộc cho nhóm.
Định lí 7.1.11(Định lý đẳng cấu thứ hai). Giả sửL⊂M ⊂N là cácA-module. Ta có đẳng cấuA-module
(N/L)/(M/L)'N/M và
Định lí 7.1.12 (Định lý đẳng cấu thứ ba). Giả sử M0, M00 là hai module con của M. Ta có đẳng cấu A-module
(M0+M00)/M0'M00/(M0∩M00)