9.1 Vành Noether
Mệnh đề 9.1.1. ChoM là mộtA-module, các điều kiện sau là tương đương.
1. Mọi xích tăng các moduleM1⊂M2⊂ · · · là dừng: nghĩa là tồn tại nsao choMn=Mn+1=· · ·; 2. Mọi tập6=∅các module {Mi}i∈I đều chứa một phần tử cực đại (với quan hệ bao hàm);
3. Mọi module con củaM là hữu hạn sinh.
Chứng minh. 1⇒2. Giả sử tồn tập6=∅các module{Mi}i∈I không chứa một phần tử cực đại. LấyM1 là một module bất kì trong tập đã cho. Do M1 không cực đại, tồn tại M2 trong tập {Mi}i∈I sao cho M1 (M2. Bằng qui nạp, ta có thể xây dựng được một dãy các module M1 (M2(M3(· · ·. Dãy này không dừng, mâu thuẫn với giả thiết của 1). Chú ý rằng2)⇒1) là hiển nhiên.
2⇒3. Giả sửM0⊂M là một module con. GọiΣlà tập các module con hữu hạn sinh củaM0. Do{0} ∈Σ
nênΣ6=∅. GọiM00là một phần tử cực đại củaΣ. Khi đóM00=M0: thật vậy, nếu khơng, gọimlà một phần tử củaM0/M00, hiển nhiênM00+Amlà một module con hữu hạn sinh củaM0vàM00(M00+Am,
mâu thuẫn với tính cực đại của M00.
3⇒1. Giả sửM1⊂M2⊂ · · · là một xích tăng các module con củaM. Khi đó ∪i=1,2...Mi là một module con của M, do đó hữu hạn sinh. Gọim1, . . . , mn là một tập sinh hữu hạn của ∪i=1,2...Mi và giả sử m1 ∈Mi1, m2 ∈ Mi2, . . . , mn ∈ Min. Khi đó nếu đặt k = sup{i1, i2, . . . , ik} thì Mk chứa tất cả các phần tử sinh này, như vậyMk=∪i=1,2,...Mi và do đóMk=Mk+1=· · ·.
Định nghĩa 9.1.2 (Vành và Module Noether). Một module thỏa mãn các tính chất ở mệnh đề trên được gọi là module Noether trênA. Một vành được gọi là Noether nếu là module Noether trên chính nó.
Nói một cách khác,Alà một vành Noether nếu thỏa mãn một trong các tính chất tương đương sau 1. Mọi xích tăng các ideal a1⊂a2⊂ · · · đều là dừng;
2. Mọi tập6=∅các ideal đều chứa một phần tử cực đại; 3. Mọi ideal của Ađều là hữu hạn sinh.
Ví dụ 9.1.3. 1. Mọi trường là Noether, tổng qt hơn, ta có; 2. Mọi vành chính là Noether;
3. Vành A[X1, X2, . . .] đa thức với vô hạn biến trên một vành không phải là Noether. Thật vậy, dãy các ideal
0⊂(X1, X2)⊂(X1, X2)⊂(X1, X2, X3)· · · rõ ràng không phải là dừng.
Ta có một số tính chất cơ bản sau về module Noether.
Mệnh đề 9.1.4. 1. Giả sử0→M →N →P →0 là một dãy khớp cácA-module. Khi đóN là Noether khi và chỉ khi M vàP là Noether.
2. Tổng trực tiếp hữu hạn các module Noether là Noether; 3. Một module hữu hạn sinh trên một vành Noether là Noether. Chứng minh. 1. Kí hiệuf, g lần lượt là các ánh xạM →N, N →P.
⇒.Một xích tăng các module trongM (tương ứng, một xích tăng các module trongP) thơng quaf (tương ứng, thơng qua g−1) cho ta một xích tăng trong N nên là dừng.
⇐.Giả sử{Ni}i∈Nlà một xích tăng các module trongN. Các dãy{f−1(Ni)},{g(Ni)}là dừng. Vớin đủ lớn, ta có đồng thời các đẳng thức f−1(Nn) =f−1(Nn+1) =· · ·, g(Nn) =g(Nn+1) =· · ·. Do tính khớp của dãy đã cho, các đẳng thức này dẫn đến Nn=Nn+1=· · ·.
2. Khẳng định này dễ dàng được suy ra từ 1và phép qui nạp theo số module của tổng.
3. Khẳng định này được suy ra tử các khẳng định1và2 ở trên cùng với nhận xét rằng một module hữu hạn sinh là thương của một module tự do hạng hữu hạnAn=A⊕A⊕ · · · ⊕A.
Mệnh đề 9.1.5. ChoA là một vành Noether. 1. Nếua là một ideal thìA/a cũng là Noether;
2. Nếuf :A7→B là một tồn cấu vành thì B là Noether;
3. NếuS là một tập nhân tính thìS−1A là một vành Noether (nói riêngAp, Af là các vành Noether với f ∈A,p là một ideal nguyên tố bất kì).
Chứng minh. 1. Khẳng định này được suy ra từ Mệnh đề trên:A/a là mộtA-module Noether nên hiển nhiên là A/a-module Noether.
2. Khẳng định này được suy ra từ1 cùng với định lý thác triển đồng cấu quen thuộc. 3. Khẳng định này được suy ra từ kết quả về cấu trúc của các ideal của vành các phân thức.
Nhận xét 9.1.6. Nói chung, vành con của một vành Noether khơng phải là Noether:K[X1, X2, . . .]⊂trường các thương K(X1, X2, . . .)của nó .
9.2 Đa thức với hệ số trong một vành Noether
Định lí 9.2.1 (Định lí các cơ sở Hilbert). ChoAlà một vành Noether. Thế thì vành đa thứcA[X]cũng là Noether.
Chứng minh. GọiI là một ideal củaA[X]. Tập các hệ số bậc cao nhất của các đa thức trongI rõ ràng tạo thành một ideala⊂A. Theo giả thiết Alà Noether nêna sinh bởi một số hữu hạn phần tửa1, . . . , ak. Với mỗii, gọifi∈I là một đa thức với hệ số cao nhất bằngai và viết
fi=aiXdi+ (bậc nhỏ hơn)
Đặtd= sup{d1, . . . , dk}, J= (f1, . . . , fk)⊂I.
Giả sử f ∈ a. Ta có thể viểt f = g+h với degg < d, h ∈ J. Thật vậy, nếu degf = m ≥ d, ta viết f =axm+ (bậc nhỏ hơn). Theo định nghĩaa∈anêna=Pki=1aiui, ui∈A. Đa thứcf−(Pdi=1uiXd−difi) rõ ràng có bậc< m. Trừf liên tiếp bởi các đa thức củaI theo cách này ta sẽ nhận được một đa thứcg có bậc< d.
Tập Ad−1[X]các đa thức có bậc nhỏ hơndlà một A-module hữu hạn sinh, và do Alà Noether, là một module Noether. Như ta đã chỉ ra ở trênI= (I∩Ad−1[X]) +J. Do tính Noether củaAd−1[X],I∩Ad−1[X]
sinh bởi một số hữu hạn đa thứcg1, . . . , gl. Rõ ràng I sinh bởif1, . . . , fk, g1, . . . , gl và như vậy là hữu hạn sinh. Ta suy raA[X]là một vành Noether.
Hệ quả 9.2.2. Nếu Alà Noether thìA[X1, . . . , Xn]là Noether với mọinnguyên dương.