Định nghĩa 5.1.1 (Nội dung của một đa thức). Cho A là một miền nhân tử hóa và f ∈ A[X]. Ta định
nghĩa nội dung củaf, kí hiệu làcont(f), như là một bội chung nhỏ nhất của các hệ số củaf. Như vậy nội dung của một đa thức được xác định một cách duy nhất, chính xác tới liên kết. Ta nóif là nguyên thủy nếu
cont(f) = 1, nói cách khác nếu các hệ số củaf là nguyên tố cùng nhau. Ví dụ 5.1.2. 1. Giả sửA=Z. Ta có
3. cont(2X+ 4) = 2 cont(3X2−15) = 3.
Mệnh đề 5.1.3. Chof, g∈A[X]là hai đa thức 6= 0.
1. Nếuf vàg là hai đa thức nguyên thủy thìf g cũng là một đa thức nguyên thủy; 2. Một cách tổng quát,
cont(f g) = cont(f) cont(g)
(nhắc lại rằng, đẳng thức này là một đẳng thức chính xác tới liên kết)
Chứng minh. 1. Giả sử ngược lạif, glà hai đa thức nguyên thủy nhưngf gkhông nguyên thủy. Gọip∈A là một phần tử bất khả qui sao cho plà ước của tất cả các hệ số củaf g. Nói cách khác f¯g¯= 0, với
¯
f ,¯gtương ứng là các đa thức hệ số trongA/(p)nhận được bằng cách rút gọn modulopcác hệ số của f vàg. Nhưng vìA/(p) là một miền nguyênA/(p)[X] cũng là một miền nguyên. Đẳng thứcf¯¯g = 0
chứng tỏ hoặcf¯= 0, hoặc¯g= 0. Nói cách khác, hoặcplà một ước chung của các hệ số củaf, hoặcp là một ước chung của các hệ số củag. Nhưng điều này mâu thuẫn với tính ngun thủy củaf vàg. 2. Ta có thể viếtf = cont(f)f0, g= cont(g)g0vớif0, g0là hai đa thức nguyên thủy và áp dụng phần trên
chof0, g0.
Mệnh đề 5.1.4. Cho A là một miền nhân tử hóa, K là trường các thương vàf ∈A[X]. Nếu f =gh với g, h∈ K[X] thì tồn tạig0, h0 ∈ A[X] sao cho f =g0h0 vàdegg0 = degg,degh0 = degh. Nói một cácáh khác, nếu f phân tích dưới dạng tích của phần tử của K[X] thì f cũng phân tích được thành tích của các phần tử củaA[X]với cùng bậc với các nhân tử trong K[X].
Ta sẽ sử dụng khái niệm sau về rút gọn modulo một ideal của một đa thức.
Định nghĩa 5.1.5. Cho Alà một vành, a là một ideal của A. Kí hiệuA→A/a, a7→a¯ ánh xạ chuẩn tắc. Với f(X) =anXn+· · ·+a1X+a0∈A[X] ta định nghĩaf¯∈A/a[X]như sau
¯
f[X] = ¯anXn+· · ·+ ¯a1X+ ¯a0 Ta gọif¯là đa thức rút gọn modulo a củaf.
Ta dễ dàng kiểm tra rằngf 7→f¯là một đồng cấu vành giữaA[X] vàA/a[X].
Chứng minh Mệnh đề 5.1.4. Mọi phần tử củaP(X)∈K[X]có thể được viết dưới dạng a1P0(X)vớiP(X)∈ A[X],0 6= a ∈ A nào đó. Giả sử f(X) là một phần tử bất khả qui của A[X] và giả sử f(X) chấp nhận một phân tích trong K[X] dạng f(X) = g(X)a h(X)b với a, b ∈ A, g(X), h(X) ∈ A[X] nào đó. Ta suy ra abf(X) =g(X)h(X). Gọiplà một nhân tử bất khả qui bất kì củaab. Ta suy ra đẳng thứcg(X)¯¯ h(X) = 0
trongA/(p)[X]vớig,¯ h¯ là các đa thức nhận được từg, hbằng cách rút gọn các hệ số modulop. Doplà bất khả qui,plà nguyên tố nênA/(p)là một miền nguyên cũng nhưA/(p)[X]. Như vậyg¯= ¯h= 0, nói cách khác
plà một ước chung của các hệ số củaghoặc của các hệ số củah. Như vậy ta có thể triệt tiêu nhân tửpở hai vế của đẳng thứcabf(X) =g(X)h(X). Tiến hành qui nạp theo số các nhân tử bất khả qui củaabta thu được một đẳng thức có dạngf(X) =g0(X)h0(X)vớig0(X), h0(X)∈A[X]vàdeg(g0) = deg(g),deg(h0) = deg(h).
Hệ quả 5.1.6 (Bổ đề Gauss). Cho A là một miền nhân tử hóa,K là trường các thương và f ∈A[X]. Ta cóf là bất khả qui trongA[X] khi và chỉ khif là bất khả qui trongK[X].
Định lí 5.1.7. Cho A là một miền nhân tử hóa. Vành các đa thức A[X] cũng là một miền nhân tử hóa. Hơn nữa, một đa thứcf ∈A[X]là bất khả qui trongA[X]khi và chỉ khif nguyên thủy và bất khả qui trong K[X].
Chứng minh. Ta chứng minh tính nhân tử hóa củaA[X], khẳng định về các phần tử bất khả qui củaA[X]
nằm trong chứng minh. Giả sửf(X) =a0+a1X+· · ·+anXn∈A[X]×
NTH1. Giả sửf ∈A[X]là một phần tử bất khả qui của vànhA[X]. Nếuf(X)là một hằng sốf(X) =a0 thì rõ rànga0 là một phần tử bất khả qui củaA. Ngược lại, ta dễ dàng kiểm tra rằng mọi phần tử bất khả quia∈A đều bất khả qui nếu coi như phần tử củaA[X].
Giả sử f(X) khác hằng. Ta viết f = cont(f)f0 với f0 ∈ A[X] sao cho cont(f0) = 1. Trước hết, do A nhân tử hóa, ta có một phân tíchcont(f) =ua1· · ·ak vớiu∈A∗, a1, a2, . . . , ak∈Abất khả qui. Theo nhận xét trên, đây cũng là phân tích củacont(f)∈A[X]ra tích của một đơn vị với các phần tử bất khả qui của A[X]. Bây giờ, nếuf0là một phần tử bất khả qui củaA[X]thì ta khơng có gì phải chứng minh. Nếu khơng, f0=g0h0 vớidegg,degh <degf = degf0. Chú ý rằng khi đócont(g) = cont(h) = 1. Bằng cách tiến hành
qui nạp đơn giản theo degf0 ta có được một phân tích của f0 ra tích các phần tử bất khả qui củaA[X].
Kết hợp với phân tích ở trên củacont(f)ta thu được phân tích mong muốn củaf.
NTH2. Bây giờ ta chứng minh tính chất NTH2’. Ta cần chỉ ra rằng nếu f ∈A[X]là một phần tử bất khả qui thìf là một phần tử nguyên tố củaA[X]Giả sửf |gh, nghĩa làf k=ghvớig, h, k∈A[X]nào đó. Coi đẳng thức này như đẳng thức trongK[X]vớiKlà trường các thương củaA. Một mặt, vìf là một phần tử bất khả qui củaA[X]nên theo Bổ đề Gaussf cũng bẩt khả qui trongK[X]. Mặt khác, ta nhắc lại rằng
K[X]là một miền chính và do đó là một miền nhân tử hóa. Như vậy đẳng thứcf k=ghdẫn đếnf |ghoặc f |htrongK[X]. Không mất tổng quảt, giả sửf |gtrongK[X], nói cách khácfpa =gvớip∈A[X], a∈A nào đó, nghĩa làf p=ag. Ta suy ra a|cont(f p) =cont(p)theo Mệnh đề 5.1.3 trên. Như vậy, pa ∈A[X]và do đóf |g trongA[X].
Hệ quả 5.1.8. Nếu A là một miền nhân tử hóa và n nguyên dương thì A[X1, . . . , Xn] cũng là một miền nhân tử hóa. Hơn nữa, các phần tử bất khả qui củaA[X1, . . . , Xn]là các phần tử nguyên thủy và bất khả qui trong K[X1, . . . , Xn].
Chứng minh. Được suy ra từ qui nạp.
Nhận xét 5.1.9. Tương tự, ta có thể chỉ ra rằng nếuA là một miền nhân tử hóa thì A[[X]] cũng là một miền nhân tử hóa.