6 Địa phương hóa một vành
6.1 Định nghĩa vành S−1 A
Định nghĩa 6.1.1. Một tập con S của một vành A được gọi là nhân tính nếu chứa 1 và đóng với phép nhân.
Ví dụ 6.1.2. Ta có các ví dụ điển hỉnh sau đây
1. Cho A là một vành và a∈ A. Tập các lũy thừa không âm của a, nghĩa là {1, a, a2, . . .}, là một tập nhân tính của A;
2. A là một miền nguyên khi và chỉ khi tậpA× là một tập nhân tính của A. Ví dụ thứ hai là một trường hợp riêng của kết quả đơn giản sau đây.
Mệnh đề 6.1.3. Chop⊂A là một ideal. Thế thì,p là nguyên tố khi và chỉ khiA\p là một tập nhân tính. Chứng minh. Thật vậy,p∈SpecA⇔1∈/ pvà∀x, y∈A, x /∈p, y /∈p⇔xy /∈p..
Với một tập nhân tínhS⊂Ata định nghĩa quan hệ∼trênA×S như sau:
(a, s)∼(a0, s0)nếu (as0−a0s)t= 0với t∈S nào đó
Đây là một quan hệ tương đương: tính phản xạ và đối xứng là hiển nhiên, hãy chứng minh tính bắc cầu. Giả sử (a, s)∼(a0, s0)và(a0, s0)∼(a00, b00). Như vậy tồn tạit, u∈S sao cho (as0−a0s)t= (a0s00−a00s0)u= 0,
do đó(as00−a00s)s0tu= 0, nghĩa là(a, s)∼(a00, s00)dos0tu∈S. Ta sẽ viết as, hays−1a, thay cho lớp tương đương của(a, s).
Ta trang bị cho tậpS−1A=S/∼(cịn có kí hiệu khác làAS) phép cộng và nhân như sau: a s + a s0 = as 0+a0s ss0 a s a0 s0 = aa 0 ss0
Ta có thể kiểm tra các phép tốn trên khơng phụ thuộc vào việc chọn các phần tử đại diện và chúng làm AS trở thành một vành giao hốn có đơn vị, gọi là vành các phân thức củaAtương ứng vớiS.
Ta cũng có một đồng cấu vành tự nhiên φ:A→S−1A, a7→ a
1 với các tính chất 1. Với mọis∈S,φ(s)khả nghịch trongS−1A;
2. kerφ={a∈A;as= 0vớis∈S nào đó}(nói riêngφkhông đơn cấu trong trường hợp tổng quát); 3. Mọi phần tử củaS−1Acó dạng φ(a)φ(s), a∈A, s∈S nào đó.
Nói riêng, tính chất thứ hai ở trên có một hệ quả quan trọng sau đây.
Hệ quả 6.1.4. Đồng cấu A→S−1A là một đơn cấu khi và chỉ khiS không chứa ước của0.
Nhận xét 6.1.5. Nói riêng khiA là một miền ngun thì A→S−1A là một đơn cấu. Hơn nữa, ta có thể đồng nhất S−1A với một vành con của trường các thương của A. Cũng chú ý rằng khi đó điều kiện as = bt
được viết gọn lại thành at=bs.
Sau đây là một số ví dụ đặc trưng của xây dựng này.
Ví dụ 6.1.6. 1. NếuA là một miền nguyên vàS =A× vành các phân thức tương ứng chính là trường các thương của A;
2. Tổng quát hơn, vớiplà một ideal nguyên tố củaAvàS=A\p, thì vành các phân thức tương ứng được kí hiệu làAp và được gọi là địa phương hóa củaAtại ideal nguyên tố p.
(a) VớiA =Z và p= (p) ideal chính sinh bởi một số ngun tố pthì ta có thể đồng nhất Z(p) với vành con {a
b ∈Q; (b, p) = 1} của trường các số hữu tỷ;
(b) ChoAlà một miền nguyên và a∈A. Ideal p= (X−a)là nguyên tố trong A[X] vì vành thương A[X]/(p), đẳng cấu vớiA, là một miền nguyên. Ta có thể đồng nhấtA[X](X−a)với một vành con của trường các phân thứcA(X). Cụ thể, A(X−a)=nf(X)g(X) ∈A(X);g(a)6= 0o.
3. Vớif ∈A, tập {fn;n∈N} là một tập nhân tính, vành các phân thức tương ứng được kí hiệu làAf. (a) Với A =Z và n ∈Z thì địa phương hóa của Z tại một số nguyên n là vành con Zn = { a
fn ∈
Q;a∈Z;n∈Z} của trường các số hữu tỷ.
(b) ChoAlà một miền nguyên vàf ∈A[X]. Ta có A[X]f =nf(X)g(X)n;g(X)∈A[X], n∈Zo⊂A(X).
Chẳng hạn vớif(X) =X ta cóA[X]X 'A[X, X−1]⊂A(X).
Các tính chất mà ta liệt kê ở phần trên đặc trưng vànhS−1Atheo nghĩa sau: nếu một vànhBcùng với một đồng cấu vànhf :A→Bthỏa mãn các tính chất trên thì ta có một đẳng cấuB'S−1A. Điều này dễ dàng được suy ra từ tính chất phổ dụng của vành các phân thức mà ta trình bày sau đây.
Mệnh đề 6.1.7 (Tính chất phổ dụng của vành các phân thức). Giả sửf :A→B là một đồng cấu vành sao cho f(s) là khả nghịch với mọi s∈S. Khi đó tồn tại duy nhất một đồng cấu vành g:S−1A→B sao chof =g◦φ.
Chứng minh. Duy nhất. Giả sử g thỏa mãn các điều kiện của mệnh đề. Với mọi a∈ A, ta có g(a/1) = gφ(a) =f(a). Ta suy ra với mọis∈S,g(1/s) =g((s/1)−1) =g(s/1)−1=f(s)−1. Như vậyg(a/s) = g(a)g(1/s) =f(a)f(s)−1 do đó,g hồn tồn được xác định bởif.
Tồn tại. Đặt g(a/s) = f(a)f(s)−1. Ta chứng minh g được định nghĩa tốt: giả sử a/s = a0/s0, ta có
(as0−a0s)t= 0 vớit∈S nào đó. Ta suy ra(f(a)f(s0)−f(a0)f(s))f(t) = 0, dof(t)khả nghịch, điều này dẫn tới f(a)f(s0)−f(a0)f(s) = 0 hay là f(a)f(s)−1 =f(a0)f(s0)−1. Dễ thấy g là một đồng cấu vành.
Ta lưu ý rằng trong các ví dụ ở trên, ví dụ cuối cùng thực ra cho ta một vành thương của một vành đa thức.
Mệnh đề 6.1.8. ChoA là một vành vàf ∈A. Ta có một đẳng cấu vành Af'A[X]/(Xf−1)
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạξ:A[X]→Af,
ξ(anXn+an−1Xn−1+· · ·+a0) = an
fn + an−1
fn−1+· · ·+a0 1
Ta cóξ là một đồng cấu vành (và là đồng cấu vànhA[X]→Af duy nhất gửi a∈Alên a1 vàX lên 1f.) Rõ ràngξlà một toàn cấu. Ta sẽ chứng minh
kerξ= (Xf−1)
Nhận xét rằng bao hàm(Xf−1)⊂kerξlà hiển nhiên. Ta chứng minh bao hàm ngược lại. Giả sửP ∈kerξ, ta sẽ chứng minhP∈(Xf−1).
Trước hết ta chứng minh fnP ∈ (Xf −1) với n ∈ N nào đó. Điều kiện P = P(X) ∈ kerξ có nghĩa là P(f1) = 0 ∈ Af, nói cách khác fnP(f1) = 0 với n nào đó > degP. Ta có thể viết fnP(X) = Q(f X) với Q(Y) ∈A[Y], khi đó điều kiệnfnP(f1) = 0 chứng tỏQ(1) = 0. Ta suy ra Q(Y) = (Y −1)Q0(Y) với Q0(Y)∈A[Y]. Như vậy,fnP(X) =Q(f X) = (f X−1)Q0(f X).
Bây giờ chú ý rằng ta có đẳng thức Bezout1 =Xf−(Xf−1). Nâng lên lũy thừanđẳng thức này và sử dụng công thức nhị thức ta được
Xnfn+S(X)(Xf−1) = 0
với S(X) ∈ A[X] nào đó. Vì thế, P(X) = XnfnP(X) +S(X)(Xf −1)P(X) = Xn(Xf −1)Q0(f X) +
S(X)(Xf−1)P(X)∈(Xf−1).
Ví dụ 6.1.9. Cho Alà một miền nguyên. Ta đã thấy rằng địa phương hóa củaA[X]tại tập{1, X, X2, . . .} là A[X]X =A[X, X−1]. Mệnh đề trên nói rằng A[X]X 'A[X, Y]/(XY −1). Lưu ý rằng chứng minh của
Mệnh đề trên cũng đem lại cụ thể một đẳng cấu A[X, Y]/(XY −1)→A[X, X−1] như sau. Gọi φ là đồng cấu vành A[X, Y] →A(X) duy nhất cố định A, gửi X lên X và gửi Y lên X−1. Ta cókerφ= (XY −1)
(xem chứng minh Mệnh đề trên) và hiển nhiên Imφ = A[X, X−1]. Vì vậy, φ cảm sinh một đẳng cấu A[X, Y]/(XY −1)'A[X, X−1].