- “Lịch sử toán học chỉ rõ rằng các KN và các lí thuyết tốn học lấy nghĩa qua các bà
NGHIÊN CỨU KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM PHÂN SỐ
2.1.1. Cách tiếp cận phân số của người Ai Cập
Người Ai Cập quan tâm các vấn đề thực tế như: sự phân chia thức ăn, quỹ chung của một địa phận,….mà nơi đó chưa có xuất hiện tiền tệ hay chi trả chủ yếu bằng hiện vật. Sau khi đi săn, người thủ lĩnh muốn chia đều 5 con nai cho 4 hộ gia đình. Lúc này, người ta nghĩ đến một loại số mới khi số tự nhiên chưa cho phép giải quyết được các vấn đề tương tự như thế.
Lịch sử ghi nhận phân số được đưa thành kí hiệu tốn học đầu tiên bởi người Ai Cập cách đây khoảng 3.650 năm. Họ là một trong những nhóm người đi đầu trong việc nghiên cứu phân số. Việc sử dụng rộng rãi phân số xuất hiện vào những năm 1600 trước Công Nguyên trong tác phẩm Rhind Papyrus. Đối với người Ai Cập,
“số” là một công cụ đếm và chỉ phù hợp cho việc đếm những thứ có thể chia được và khơng chia được, tức những cái toàn thể và số phần. Họ có thể chia một đơn vị đo lường thành các phần bằng nhau và bắt đầu đếm chúng.
Nếu một đơn vị được chia thành 5 phần bằng nhau, họ viết kí hiệu của số 5 với một kí hiệu đặc biệt có nghĩa “phần” trên nó và đọc: một phần năm. Phần cịn lại là 4 phần bằng nhau khơng được gọi “bốn phần năm” bởi vì khơng tồn tại một phần
chỉ “bốn phần năm”. Trong tài liệu “Kinh thánh”, có viết về phân số 4
5 theo cách tiếp cận như trên: “Vào cuối vụ mùa, người dân phải nộp “một phần năm” cho Pharaoh và bốn phần còn lại là của họ”.
Họ viết tất cả các phân số bằng cách sử dụng những gì chúng ta gọi là phân số đơn vị. Một phân số đơn vị có dạng 1
b trong đó b là một số nguyên và thường được biểu diễn dưới dạng các chữ tượng hình chữ số như là một "cái miệng", có nghĩa là "một phần", trên số nguyên. Dưới đây là một số ví dụ:
Khi số có q nhiều biểu tượng cho dấu hiệu "một phần" được đặt trên các số
ngun, như trong 1
249, thì kí hiệu một phần chỉ được đặt trên phần đầu tiên của số. (được hiểu theo ngơn ngữ tốn học ngày nay là 1
3)
(được hiểu theo ngơn ngữ tốn học ngày nay là 1 5)
(được hiểu theo ngơn ngữ tốn học ngày nay là 1 249)
Họ là người đầu tiên sử dụng tổng của các phân số đơn vị (phân số có tử số là
1). Ví dụ, phân số 2
5 có thể được viết như là
1 1
3 15+ . Dĩ nhiên là người Ai Cập sử
dụng kí hiệu sau:
Bàn chân hướng về phía của văn bản có nghĩa là “cộng” và ngược lại, nó có nghĩa là “trừ”. Trong tốn học Ai Cập, khơng có phép tính nhân và chia, chỉ có phép tính cộng và trừ. Phép nhân thực hiện bằng cách tăng gấp đôi và cộng lại.
Thế nhưng, phương pháp này không cho phép biểu diễn được hầu hết các phân
số, chẳng hạn 2
7. Vì thế họ phải sắp xếp các phân số như thế trong một bảng riêng. Rhind Papyrus chỉ ra rằng “người chép thuê” thời Ai Cập có thể giải quyết bài tốn: “Chia đều 2 ổ bánh mì cho 7 người”. Vậy điều này được thực hiện như thế
nào nếu khơng có KN phép chia và phân số 2 7 .
Đầu tiên chia đôi 2 ổ bánh mì. Xem các “phân nữa” như là các đơn vị mới và tiếp tục chia hai. Chúng ta có 8 phần, mỗi phần bằng một phần tư của ổ bánh. Sau đó, chia mỗi người một phần (tức một phần tư ổ bánh), còn lại một phần tư ổ bánh. Rõ ràng, phần còn lại này sẽ được cắt thành 7 miếng để cho một người một miếng
(đơn vị mới 1
28 ổ bánh). Kết quả: 2 1 1
7= +4 28. Kết quả như trên được tìm thấy trong Rhind Papyrus nhưng khơng kèm theo bất kì lời giải thích gì.
Một lời giải khác cho bài tốn trên được tìm thấy trong một ngơi mộ. Người viết thuê đã giải bài toán một cách tổng qt hơn, khơng chỉ cho các ổ bánh mì.
Biểu diễn 2 đơn vị bởi 2 đoạn thẳng. Đầu tiên chia hai mỗi đoạn thẳng, tiếp tục chia ba cho mỗi (một nửa đoạn thẳng). Chúng ta có 12 miếng, mỗi miếng bằng một
phần sáu đơn vị. Lấy 7 miếng chia cho mỗi người (mỗi người nhận 1
6 đơn vị). Còn 1
2 và 1
3. Họ chia mỗi phần thành 7 phần bằng nhau. Kết quả: 2 1 1 1 7 = +6 14 21+ .
Lưu ý số tự nhiên cũng là trường hợp đặc biệt của phân số Ai Cập. Người ta tin rằng mọi phân số đều biểu diễn được dưới dạng tổng của nhiều phân số Ai Cập. Bởi vậy, khơng cần đưa thêm những phân số có tử số khác 1 vào. Những phân số thường được sử dụng để biểu diễn nhất là các phân số Ai Cập mà mẫu số có nhiều ước số như 12, 24, 60, 36, 144... Có lẽ đó cũng là nguyên nhân hình thành đơn vị như: tá (12 giờ của nửa ngày, 12 chi trong chu kì lịch, 12 tháng của một năm), 24 giờ (trong một ngày), 60 giây (trong một phút), 60 phút (trong một giờ)...
Lịch sử ghi nhận bài tốn nổi tiếng có tên Bài tốn phân số Ai Cập: “Mọi phân số có dạng 4/n (n là số tự nhiên lớn hơn 0) đều biểu diễn được thành tổng của không quá 4 phân số Ai Cập”. Bài toán này đến nay vẫn chưa ai giải được. Người ta viết một phân số bất kì dưới dạng liên phân số, sau khi có KN phân số nghịch đảo. Chẳng hạn phân số 10/7 được viết thành 1 + 3/7. Viết nghịch đảo của 3/7 là 7/3 thành 2 + 1/3. Đến đây ta được 10/7 = 1 + 1/(2 + 1/3) hay kí hiệu liên phân số là (123). Đối với những phân số nhỏ hơn 1, chẳng hạn 2/7 thì phân số nghịch đảo là 7/2 được viết thành 3 1/ 2+ .
Bất lợi rất lớn của hệ thống số người Ai Cập để biểu diễn cho các phân số là rất khó khăn để thực hiện tính tốn. Để cố gắng khắc phục tình trạng này, người Ai Cập thực hiện rất nhiều các bảng để họ có thể tìm câu trả lời cho các vấn đề.
* Bình luận
- Phân số chủ yếu được người Ai Cập quan tâm là phân số đơn vị (có dạng 1
b). Họ cũng có những bước đầu đơn giản về phép cộng hai phân số. Họ biểu diễn một số phân số “không là phân số đơn vị” sang tổng của các phân số đơn vị.
- Ngồi ra, kí hiệu các phân số của người Ai Cập là sự kết hợp của kí hiệu “một phần” (cái miệng) và kí hiệu của các số tự nhiên (đại diện cho mẫu số).
- Một số bài tốn tính diện tích, thể tích, chia thức ăn, chia quỹ chung của một địa phận,… Do đó, chúng ta có thể mơ hình hóa một tình huống cơ sở mà người xưa gặp phải: “Có a đối tượng chia đều cho b người”. Chúng tôi đặt tên cách tiếp cận phân số theo hướng này là “tiếp cận dựa trên phép chia”. Trong trường hợp này, phân số sẽ mang lại nghĩa “biểu diễn kết quả của phép chia a cho b”. Điều đáng lưu tâm là phân số đóng vai trị cơng cụ ngầm ẩn với các tình huống như thế.