R với mọi k= ki, ki 1, thì yi(x) được gọi là nghiệm Newton-Puiseux thực tạ
1.2 Một vài kết quả trong cấu trúc o-tối tiểu và hình học nửa
đại số
Để tiện cho việc sử dụng và tránh nêu lại các kết quả trong cả chương 3 và 4, chúng tơi trình bày về cấu trúc o-tối tiểu, một cấu trúc tổng quát hàm chứa cấu trúc các tập nửa đại số.
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả của hình học các cấu trúc o-tối tiểu và hình học nửa đại số nói riêng. Chúng tơi tham khảo những kết quả này các tài liệu [5,21,35,60]. Trước hết, ta có định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.2.1. Một tập con của Rn được gọi là tập con nửa đại số nếu nó là
hợp của các tập có dạng
fx 2 Rnj fi(x) = 0, i = 1, . . . , p; gj(x) > 0, j = 1, . . . , qg,
trong đó fi, gj là các đa thức n biến thực.
Định nghĩa 1.2.2. Một cấu trúc trên trường số thực R là một họ O = (On)n2N trong đó mỗi tập On là một tập các tập con của Rn, thoả mãn các tiên đề sau đây:
1. Tất cả các tập con nửa đại số của Rn đều thuộc On;
2. Với mọi n thì On đóng với các phép toán Boole của tập hợp;
4. Nếu p : Rn+1 ! Rn là phép chiếu lên n toạ độ đầu và A 2 On+1 thì p(A) 2 On.
Các phần tử của On được gọi là các tập con định nghĩa được của Rn. Hơn nữa, nếu O thoả mãn thêm điều kiện sau thì O được gọi là một cấu
trúc o-tối tiểu trên R:
5. Các phần tử của O1 là hợp hữu hạn của các điểm và các khoảng.
Định nghĩa 1.2.3. Cho trước một cấu trúc o-tối tiểu O trên R. Một ánh xạ f :
A ! Rm (trong đó A Rn) được gọi là ánh xạ định nghĩa được nếu đồ thị của nó là một tập con định nghĩa được của Rn Rm.
Một số kết quả trong cấu trúc o-tối tiểu và hình học nửa đại số có thể được chứng minh một cách dễ dàng bằng cách sử dụng dạng logic của Định lý Tarski-Seidenberg. Để phát biểu định lý này, ta cần một số khái niệm sau.
Một công thức bậc nhất được xây dựng theo các quy tắc sau đây (xem [5, 11, 35,60]).
1. Nếu P 2 R[X1, . . . , Xn], thì P(X1, . . . , Xn) = 0 và P(X1, . . . , Xn) > 0 là các công thức bậc nhất.
2. Nếu A là một tập con định nghĩa được của Rn thì x 2 A là một cơng thức bậc nhất.
3. Nếu F và Y là các công thức bậc nhất thì F _ Y (phép tuyển), F ^ Y (phép hội), :F (phép phủ định) và F ) Y (phép suy ra) cũng là các công thức bậc nhất.
4. Nếu F(y, x) là một công thức bậc nhất và A là một tập con định nghĩa được của Rn, thì các cơng thức 9x 2 A F(y, x) và 8x 2 A F(y, x) cũng là các công thức bậc nhất.
Định lý 1.2.4. (Định lý Tarski-Seidenberg dạng logic [11, Định lý 1.13])
Nếu F(X1, . . . , Xn) là một cơng thức bậc nhất thì tập
f(x1, . . . , xn) 2 Rn : F(x1, . . . , xn) đúngg
là tập định nghĩa được.
Nhận xét 1.2.5. Từ quy tắc 4 và Định lý 1.2.4, các tập hợp
fx 2 Rn : 9xn+1, (x, xn+1) 2 Ag
(tức ảnh của A qua phép chiếu chính tắc lên n toạ độ đầu) và
fx 2 Rn : 8xn+1, (x, xn+1) 2 Ag
(tức phần bù của ảnh của phần bù của A qua phép chiếu chính tắc lên n toạ độ đầu) là định nghĩa được.
Từ giờ trở đi, ta cố định một cấu trúc o-tối tiểu O bất kỳ. Thuật ngữ "định nghĩa được" có nghĩa là định nghĩa được trong cấu trúc này. Dùng Định lý 1.2.4, ta có thể chứng minh các tính chất sau đây (xem [11,20,21,51,60]).
Mệnh đề 1.2.6. ( [60, Định lý 2.3]). Ta có các khẳng định sau:
(i) Bao đóng, phần trong và biên theo tô pô thông thường trên Rn của một
tập định nghĩa được cũng là tập định nghĩa được;
(ii) Hợp của các ánh xạ định nghĩa được cũng là ánh xạ định nghĩa được;
(iii) Ảnh và nghịch ảnh của các các tập định nghĩa được qua các ánh xạ định nghĩa được cũng là định nghĩa được;
Mệnh đề 1.2.7. ( [51, Bổ đề 1]). Cho f : A ! R là một hàm định nghĩa được sao cho
f (x) 0, 8x 2 A. Cho G : A ! Rm là một ánh xạ định nghĩa được và j : G(A) ! R là
một hàm xác định bởi
j(y) = inf f (x).
x2G 1
(y)
Khi đó j là một hàm định nghĩa được.
Hệ quả 1.2.8. ( [51, Hệ quả 1]). Cho A là một tập con định nghĩa được của Rn.
Định lý 1.2.9. (Định lý Đơn điệu [20, Định lý 4.1]). Cho f : (a, b) ! R là một hàm
định nghĩa được với ¥ a < b +¥. Khi đó tồn tại các giá trị a0, a1, . . . , ak+1 với
a = a0 < a1 < < ak < ak+1 = b sao cho f là liên tục trên mỗi khoảng (ai, ai+1), hơn nữa f hoặc là đơn điệu chặt hoặc là hằng số trên mỗi khoảng (ai, ai+1), i = 0, . . . , k.
Những tính chất của cấu trúc o-tối tiểu cịn phụ thuộc vào việc dáng điệu của hàm một biến f : R ! R thuộc vào cấu trúc đó. Điều này thể hiện qua định nghĩa và ví dụ sau đây.
Định nghĩa 1.2.10. ( [20, Định nghĩa-trang 510]) Một cấu trúc trên trường số
thực R được gọi là bị chặn đa thức nếu mọi hàm f : R ! R thuộc vào cấu trúc đó thoả mãn điều kiện sau: Tồn tại số N 2 N nào đó (phụ thuộc f ) sao cho f (t) =
O(tN ) khi t ! +¥.
Ví dụ 1.2.11. Họ tất cả các tập nửa đại số trong Rn (Định nghĩa 1.2.1) với mọi
n 2 N tạo thành một cấu trúc o-tối tiểu trên R. Khi đó tập định nghĩa được trong
cấu trúc nửa đại số này chính là tập nửa đại số. Chúng chính là một cấu trúc o-tối tiểu bị chặn đa thức (xem [20,21]).
Bổ đề sau đây là một tính chất rất quan trọng của hàm nửa đại số một biến cũng như là của các cấu trúc bị chặn đa thức.
Bổ đề 1.2.12. (Bổ đề phân đôi cấp tăng, [35, Bổ đề 1.7])
(i) Cho f : (0, e) ! R là một hàm nửa đại số thoả mãn f (s) 6= 0 với mọi s 2 (0, e).
Khi đó tồn tại các hằng số a 6= 0 và a 2 Q sao cho f (s) = asa + o(sa) khi s ! 0+;
(ii) Cho f : (r, +¥) ! R là một hàm nửa đại số thoả mãn f (s) 6= 0 với mọi s 2 (r,
+¥). Khi đó tồn tại các hằng số a 6= 0 và a 2 Q sao cho f (s) = asa + o(sa)
khi s ! +¥.
Chú ý rằng tất cả những tính chất trên của cấu trúc o-tối tiểu đều đúng cho cấu trúc các tập nửa đại số.
Sau đây là một tính chất của hàm thực một biến lớp Cd bất kỳ.
Bổ đề 1.2.13 (van der Corput, [24]). Cho u(t) là một hàm thực một biến khả vi lớp Cd,
d 2 N. Giả sử hàm u thoả mãn ju(d)(t)j 1 với mọi t 2 R. Khi đó, ta có ước lượng
sau đây với mọi e > 0:
1 1 1
mesft 2 R : ju(t)j eg (2e)((d + 1)!)d e d ,
trong đó mes(A) là độ đo Lebesgue của tập A.