GIÁ TRỊ FEDORYUK ĐẶC BIỆT
3.3.2 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập hữu hạn và khác rỗng
Bây giờ ta sẽ phân loại các kiểu ổn định của cận sai s Holderă trong trng hp tập các giá trị Fedoryuk là hữu hạn và khác rỗng.
Định lý 3.3.4. Cho K¥( f ) là tập hữu hạn, khác rỗng và t
một trong các kiểu ổne
định sau:
Trường hợp A Nếu h+ = inf f và inf f > ¥ thì
(i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếu (ii) t là y-ổn định phải nếu
(iii) t là n-ổn định trái nếu
(iv) t là n-cô lập nếu và chỉ nếu
Trường hợp B Nếu h+ > inf f > ¥ và h+ hữu hạn thì
(i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếu t > h+ và t 2/ F+1;
(ii) t là y-ổn định phải nếu và chỉ nếu t = h+ và h+ 2 L+( f );
(iii) t là n-ổn định nếu và chỉ nếu inf f t < h+;
(iv) t là n-ổn định trái nếu và chỉ nếu t = h+ 2/ L+( f );
(v) t là n-cô lập nếu và chỉ nếu t > h+ và t 2 F+1.
Chứng minh. Chú ý rằng từ giả thiết tập Ke¥( f ) là một tập hữu hạn khác rỗng, ta có tập F+1 cũng là tập hữu hạn.
Xét trường hợp A: h+ = inf f > ¥. Từ Định lý 3.1.4, ta có L+( f ) = [inf f , +¥) n F+1 hoặc L+( f ) = (inf f , +¥) n F+1.
Suy ra [ f t] có cận sai s Holderă ton cc vi mi t > h+ và t 2/ F+1.
Xét trường hợp B: h+ là một giá trị hữu hạn và h+ > inf f > ¥. Từ Định lý 3.1.4, ta có
L+( f ) = [h+, +¥) n F+1 hoặc (h+, +¥) n F+1. Quan sát công thức trên của tập L+( f ), ta được:
• t là y-ổn định nếu và chỉ nếu t 2 (h+, +Ơ) n F+1, suy ra khng nh (i);
ã Nếu L+( f ) = [h+, +¥) n F+1 thì t = h+ là y-ổn định phải, từ đó ta có khẳng định (ii);
• inf f < t < h+ nếu và chỉ nếu t 2 F+2. Từ (inf f , h+) F+2 kéo theo rằng t là n- ổn định nếu và chỉ nếu inf f t < h+. Ta có khẳng định (iii);
• t = h+ nhưng h+ 2/ L+( f ) cho nên L+( f ) = (h+, +¥) n F+1, điều này kéo theo (h+ e, h+] \ L+( f ) = ˘. Do đó t = h+ là n-ổn định trái, ta có khẳng định (iv);
• Bởi tính hữu hạn của tập F+1 nên các điểm của tập này là cơ lập. Do đó t là n-cơ lập nếu và chỉ nếu t 2 F+1. Ta có khẳng định (v).
Nhận xét 3.3.5. Ở đây, nếu ta có khẳng định (ii), tức là t là y-ổn định phải thì ta
khơng thể có khẳng định (iv) (tức là t là n-ổn định trái) và ngược lại. Nói các khác là trong trường hợp này thì 2 kiểu ổn định trên loại trừ nhau.
Bây giờ, ta đưa ra ước lượng về số thành phần liên thông của tập L+( f ).
Mệnh đề 3.3.6. Cho f : Rn ! R là một đa thức bậc d. Khi đó, nếu #KC ( f ) < +¥ thì e¥
số thành phần liên thơng của L+( f ) bị chặn bởi
(d 1)n 1 + 1.
Chứng minh. Dễ thấy K¥( f ) KC ( f ). Khi đó, theo [44, Định lý 1.1], ta có
e e¥
#K¥( f ) #KC ( f ) (d 1)n 1.
e e¥
Do đó, từ Định lý 3.1.4 và Mệnh đề 3.2.3, ta có số thành phần liên thơng của L+ ( f ) bị chặn bởi (d 1)n 1 + 1.