BẤT BIẾN TÔ PÔ CỦA KỲ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG: CÁC THƯƠNG CỰC VÀ SỐ MŨ ŁOJASIEWICZ GRADIENT
2.3.3 Ước lượng hiệu quả các số mũ Łojasiewicz
Trong mục này chúng tôi sẽ đưa ra một số chặn trên cho các số mũ Łojasiewicz của các hàm đa thức hai biến. Các cận này chỉ phụ thuộc vào bậc của đa thức. Kết quả sau đây tinh hơn của D’Acunto và Kurdyka trong trường hợp 2 biến (xem [13, Định lý chính]), nói cách khác chúng tơi thu được cận trên chặt hơn của các tác giả trên.
Định lý 2.3.9. Cho f : K2 ! K là một đa thức bậc d với f (0) = 0. Khi đó
L( f ) 1
Trước khi chứng minh định lý này, ta nhắc lại khái niệm về bội giao của hai mầm đường cong phẳng (xem [25, Mục 3.2]). Cho f 2 Cfx, yg là bất khả quy. Khi đó bội giao của g 2 Cfx, yg với f được cho bởi công thức
i( f , g) := ord g(x(t), y(t)),
trong đó t 7!(x(t), y(t)) là một tham số hóa của mầm đường cong xác định bởi f . Ở đây một tham số hóa của mầm đường cong f = 0 là một mầm ánh xạ giải tích
f : (C, 0) ! (C2, 0), t 7!(x(t), y(t)),
với f f 0 và thỏa mãn tính phổ dụng sau đây: mỗi mầm ánh xạ giải tích
y : (C, 0) ! (C2, 0) với f y 0, tồn tại mầm ánh xạ giải tích y0 : (C, 0) ! (C, 0) sao cho y = f y0. Tổng quát, lấy f 2 Cfx, yg là một chuỗi lũy thừa hội tụ và
f = f1a1 frar là một phân tích bất khả quy của f trong vành Cfx, yg với fi là bất khả quy và các fi nguyên tố cùng nhau từng cặp. Khi đó bội giao của g với f
được xác định bởi tổng sau
i( f1a1 frar , g) := a1i( f1, g) + + ari( fr, g).
Chứng minh Định lý 2.3.9. Từ định nghĩa số mũ Łojasiewicz gradient, nếu f là
một đa thức thực và coi f như một đa thức phức và gọi là fC thì
L( f ) L( fC).
Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp phức. Khơng mất tính tổng quát, giả sử rằng f là chính quy theo x với cấp m d. Từ Định lý 2.3.1 ta suy ra rằng, nếu G( f ) = ˘ thì
L( f ) = 1
Bây giờ ta giả sử G( f ) 6= ˘. Lấy một nhánh cực g trong G( f ) trên đó số mũ Łojasiewicz gradient đạt được:
L( f ) = ‘(g) = 1
Lấy g là một nhân tử bất khả quy của
Newton–Puiseux. Khi đó t 7!(g(tN ), tN ) là một tham số hóa của mầm đường cong g = 0, với N là cấp của g. Chú ý là i(¶¶yf , g) hữu hạn vì f (g(y), y) 6 0. Ta có
i ¶ f , g = ord ¶ f , g = ord ¶ f (g(tN ), tN ) = N ord ¶ f (g(y), y) ord¶ f (g(y), y) y¶y¶y¶y¶ 36
và ord¶¶yf (g(y), y) = ord f (g(y), y) 1. Lấy h 2 C[x, y] là một thành phần bất khả
quy của đa thức chia hết cho g trong Cfx, yg. Chú ý rằng h khơng là ước của
¶ f
do i(¶ f , g) là hữu hạn. Từ Định lý Bezout (xem [7, Định lý 2, tr. 232]), ta có
¶ f ¶x
Do i(
¶ f
, g) i(
¶y
Ta có điều phải chứng minh.
Cho f : K2 ! K là một đa thức bậc d thỏa f (0) = 0. Nhắc lại rằng
Le( f ) := inff‘ j 9c > 0, 9e > 0, j f (x, y)j c dist((x, y), V)‘, 8k(x, y)k < eg.
Theo [4, 49], Le( f ) là một số hữu tỷ và đạt được trên một đường cong giải tích. Trong trường hợp K = C, Risler và Trotman [76, Định lý 1] đã chỉ ra rằng
Le( f ) = ord f d,
đồng thời họ đã chứng tỏ số mũ Le( f ) là một bất biến bi-Lipschitz. Trong trường hợp K = R, cơng thức tính tốn số mũ Le( f ) được đưa ra bởi Kuo trong [49]. Ngồi ra, ta có một số kết quả khác về số Łojasiewicz như trong các bài báo [13,26,45,47,52,74].
Định lý 2.3.10. Cho f : R2 ! R là một đa thức bậc d sao cho f (0) = 0. Khi đó
1 Le ( f )1 L( f ). Nói riêng, ta có Le( f ) (d 1)2 + 1. 37
Chứng minh. Bất đẳng thức đầu tiên là một hệ quả trực tiếp của chứng minh
Định lý 2.2 trong [74] (xem thêm [55]). Bất đẳng thức thứ hai có thể suy được từ Định lý 2.3.9.
Nhận xét 2.3.11. Theo [47, Ví dụ 1] (xem thêm [26, 45]), ta có thể thấy ước
Chương 3
ă