BẤT BIẾN TÔ PÔ CỦA KỲ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG: CÁC THƯƠNG CỰC VÀ SỐ MŨ ŁOJASIEWICZ GRADIENT
2.2 Tính bất biến tô pô của thương cực
Cho f : (C2, 0) ! (C, 0) là một mầm hàm giải tích chính quy cấp m theo biến x.
Đường cong được xác định bởi = 0 được gọi là một đường cực. Một nghiệm
Newton–Puiseux của = 0 được gọi là một nhánh của đường cực hoặc đơn giản
gọi là nhánh cực. Ký hiệu G( f ) là tập các nhánh cực không là nghiệm của f = 0. Theo Teissier [81], ta có định nghĩa thương cực.
Định nghĩa 2.2.1 (Tr.309, [27]). Tập hợp
Q( f ) := ford f (g(y), y) j g 2 G( f )g
được gọi là tập các thương cực của f .
Ví dụ 2.2.2. Xét hàm
3
có nghiệm Newton-Puiseux là x = y 2 , y 0. Hai nghiệm này đều không là nghiệm của f = 0. Suy ra, tập hợp các thương cực là
9
Q( f ) := 2 .
Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng tập hợp các thương cực là một bất biến tô pô, kể cả trong trường hợp không thu gọn. Trước hết, ta cho một công thức tường minh của các thương cực theo xấp xỉ của các nghiệm Newton-Puiseux của f .
Cho g(y) := åi aiyai là một chuỗi Puiseux. Với mỗi số thực dương r, chuỗi
åai<r aiyai + gyr, với g là một hằng số đủ tổng quát, được gọi là r-xấp xỉ của g(y). Với hai chuỗi Puiseux phân biệt g1(y) và g2(y), xấp xỉ của g1(y) và g2(y) được định nghĩa là chuỗi r-xấp xỉ của g1(y) (và vì vậy cũng là của g2(y)), với
r := ord (g1(y) g2(y)) là bậc tiếp xúc của g1(y) và g2(y).
Ví dụ 2.2.3. Hai chuỗi g (y) = y
có chuỗi 5 2 ¶ f ¶x ¶ f ¶x
Định lý 2.2.4. Cho f : (C2, 0) ! (C, 0) là một mầm hàm giải tích chính quy cấp m theo x
và lấy x1, . . . , xr (r 2) là các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt của f = 0. Khi đó
trong đó xi,j là xấp xỉ của xi và xj.
Chứng minh. Lấy bất kỳ g 2 G( f ). Từ định nghĩa ta có g khơng là nghiệm của f = 0 nhưng là nghiệm của = 0. Vì vậy, nếu ta viết
j f (X + g(Y), Y) = åcijXiY N , thì f (g(Y), Y) = åc0jY N j Y N ,
với c0j 6= 0 với j nào đó và c1j = 0 với mọi j. Do đó, trong đa giác Newton P( f ,
g) của f tương ứng với g, có một chấm trên đường thẳng X = 0 nhưng khơng
có chấm nào trên đường thẳng X = 1. Hơn nữa vì f chính quy cấp m theo x nên từ Định lý chuẩn bị Weierstrass, ta có thể giả sử
f (x, y) = xm + a1(y)xm 1
+ + am(y).
Vì vậy sau khi đổi biến f (X + g(Y), Y) thì ta vẫn có (m, 0) là một đỉnh của đa giác Newton P( f , g). Bây giờ ta lấy EH là cạnh cao nhất và EH là đa thức kết hợp của cạnh này. Khi đó, vì khơng có chấm Newton nào nằm trên X = 1 nên cạnh cao nhất EH nối chấm thấp nhất trên X = 0 với một chấm trên X = k với k 2, cho nên ta có
d
deg EH 2, EH (0) 6= 0, và dz EH (0) = 0.
Do đó, phương trình EH (z) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt khác khơng, đặt là c1, c2. Lấy gi,¥, i = 1, 2 là một kết quả cuối cùng của phép trượt của cung
y 7!g(y) + ciytan qH theo f , với qH là góc tương ứng với cạnh cao nhất EH. Ta có
ord(g1,¥(y) g2,¥(y)) = tan qH và
f (gi,¥(y), y) 0 với i = 1, 2.
Lấy g1,2 là xấp xỉ của g1,¥ và g2,¥. Áp dụng Bổ đề 2.1.2, ta suy ra rằng ord f (g(y), y) = ord f (g1,2(y), y), và vì vậy
Q( f ) ord f (xi,j(y), y) j 1 i < j r .
¶ f ¶x
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy cặp nghiệm phân biệt bất kỳ
x1, x2 của f và gọi x1,2 là xấp xỉ của x1 và x2. Khi đó ta có thể viết
x1,2(y) = x1(y) + gyr + các từ cấp cao hơn
với g là hằng số đủ tổng quát và r là bậc tiếp xúc của x1 và x2. Ta có
j
f (X + x1(Y), Y) = åcijXiY N .
Ký hiệu D là tập hợp chứa các chấm Newton của đa giác Newton P( f , x1) thoả mãn hàm tuyến tính (i, j) 7!ri + Nj
xác định trên P( f , x1) đạt giá trị nhỏ nhất, ta gọi là h0. Ký hiệu (i1, Nj1
) là chấm thấp nhất của D, tức là chấm thuộc D với i1 cực đại. Do x1 là một nghiệm của f = 0 nên khơng có chấm nào của P( f , x1) nằm trên đường thẳng X = 0, và bởi vậy i1 1.
Ta ký hiệu f(y) := x1(y) + gyr và
j j
F(X, Y) := f (X + f(Y), Y) = åcij(X + gYr)iY N = å aijXiY N . Chú ý rằng, vì
(X + gYr)iY
nên tất cả các chấm Newton của đa giác Newton P( f , f) của f tương ứng với f phải có dạng (k, r(i k) + Nj
) với cij 6= 0 và k = 0, 1, . . . , i, và (i1, Nj1
) là một chấm Newton của P( f , f) vì ai1 j1 = ci1 j1 6= 0. Vì g là hằng số đủ tổng quát nên
điểm (0, h0) với h0 như trên cũng là một chấm Newton của P( f , f) (thật ra, ta lấy g thỏa å(i, Nj )2D cij gi 6= 0). Ngoài ra, tất cả các chấm Newton của P( f , f) thuộc hoặc nằm bên trên đường thẳng chứa hai chấm là (0, h0) và (i1, Nj1
). Điều này chứng tỏ rằng cạnh EH nối (0, h0) và (i1, Nj1
) là cạnh Newton cao nhất của P( f ,
f). Lấy qH và EH (z) lần lượt là góc và đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhất EH. Ta có (xem Hình 2.2)
Từ định nghĩa của f, ta có thể viết
x1(y) = f(y) + a1yr + các từ cấp cao hơn, x2(y) = f(y) + a2yr + các từ cấp cao hơn
với a1 6= a2. Từ Bổ đề 2.1.2 thì a1 và a2 là các nghiệm của đa thức EH (z). Đặc biệt, ta có deg EH (z) 2.
Xét lược đồ Newton của f tương ứng với f, vì
dịch chuyển mọi chấm Newton (i, Nj
) của P( f , f) tới (i 1, Nj ), nếu i 1, và xóa tất cả các chấm Newton (0, Nj ). Từ đó ta có thể nhìn thấy lược đồ của ¶¶xf tương ứng với f từ P( f , f).
Chú ý f(y) = x1 + gyr và do g đủ tổng quát nên ta có dzd
EH (g) 6= 0. Vì vậy, trên lược đồ Newton f tương ứng f, tồn tại một chấm Newton trên đường
thẳng X = 1. Vì vậy cạnh Newton cao nhất của đa giác Newton P(¶¶xf , f) có các đỉnh có tọa độ (0, h0 tan qH ) và (i1 1, Nj1 ), bởi vì với chấm Newton (0, h0) của
P( f , f) thì cạnh cao nhất của đa giác này cắt X = 1 tại (1, h0 tan qH ) và với chấm Newton còn lại (i1, Nj1
(i1 1, Nj1
). Phương trình cạnh cao nhất của đa giác đó là dzd
EH (z) = 0. Do EH (z) có hai nghiệm phân biệt a1, a2, từ đó dễ thấy rằng tồn tại một số c 2 C n f0g sao cho
d
EH (c) 6= 0 và dz EH (c) = 0.
Lấy g¥ là một kết quả của phép trượt cung f theo ¶¶xf . Từ Bổ đề 2.1.2 ta có
ord f (g¥(y), y) = ord f (f(y), y).
Hơn nữa, từ ord (x1,2(y) f(y)) > r = tan qH, áp dụng tiếp Bổ đề 2.1.2 ta được
ord f (x1,2(y), y) = ord f (f(y), y).
Do đó, bao hàm thức ngược lại thỏa mãn. Định lý được chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ liên hệ kết quả trên với sự tương đương giữa hai mầm hàm. Hai mầm hàm liên tục f , g : (K2, 0) ! (K, 0) được gọi là tương đương tô pô
phải, nếu tồn tại một mầm đồng phôi F: (K2, 0) ! (K2, 0) sao cho f = g F.
Ta cần đến kết quả sau của Parusinski´ (xem [73, Định lý 0.1 và Chú ý 0.4]).
Định lý 2.2.5 (Parusinski´ [73]). Cho f , g : (C2, 0) ! (C, 0) là các mầm hàm giải
tích (khơng nhất thiết là thu gọn). Khi đó các điều sau đây là tương đương
(i) f và g là tương đương tô pô phải.
(ii) Tồn tại một tương ứng một–một giữa các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt
x = ai(y) của f 1(0) và x = bk(y) của g 1(0) sao cho chúng bảo toàn bội
của các nghiệm Newton–Puiseux này và các bậc liên kết, tức là các
ord(ai aj) và ord(bk bl ), của các cặp nghiệm phân biệt bất kỳ.
Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý sau đây về tính bất biến tơ pô của tập các thương cực.
Định lý 2.2.6. Tập các thương cực của kỳ dị đường cong phẳng (không nhất
thiết là thu gọn) là một bất biến tô pô.
Chứng minh. Cho f : (C2, 0) ! (C, 0) là một mầm hàm giải tích thỏa mãn điều kiện chính quy theo x và gọi x1, . . . , xr là các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt với bội tương ứng là m1, . . . , mr, khi đó:
r
f (x, y) = u(x, y) Õ(x xk(y))mk ,
k=1
trong đó u là một phần tử khả nghịch trong vành Cfx, yg. Nếu r = 1 thì tập các thương cực của f là rỗng và hiển nhiên định lý đúng. Bởi vậy giả sử rằng r 2. Ký hiệu xi,j là xấp xỉ của hai nghiệm phân biệt xi và xj. Ta có
ord f (xi,j(y), y) = å mkord(xi,j