Một trong những vấn đề được quan tâm trong nghiên cứu hình học cấu trúc o-tối tiểu là khảo sát sự tồn tại của cn sai s Holderă ton cc v bt ng thức Łojasiewicz cho hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu khác nhau. Các hàm định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu là lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa thức nhưng bảo tồn nhiều tính chất hình học của lớp hàm đa thức (xem Mục 1.2).
Theo chúng tôi biết, các kết quả đầu tiờn v cn sai s Holderă ton cc cho hàm đa thức nằm trong các công trình [38, 64, 66]. Trong đó, Hoffman thiết lập kết quả cho hàm tuyến tính, Luo-Sturm [66] thit lp cn sai s Holderă toàn cục trong trường hợp đa thức bậc 2 bất kỳ, G. Li [57] đã chứng minh kết quả cho đa thức lồi. Sau đó, Hà Huy Vui [32] đã đưa ra tiêu chuẩn cho sự tồn ti ca cn sai s Holderă tồn cục cho hàm đa thức bất kỳ, khơng cần dùng điều kiện Slater hay tính lồi và Đinh Sĩ Tiệp, Hà Huy Vui và Phạm Tiến Sơn [18] đã c trng cn sai s Holderă ton cc cho lp hàm nửa đại số. Điều đó dẫn chúng tơi đến bài tốn sau: Đặc trưng sự tồn tại của cận sai s Holderă ton
cc cho lp hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu.
Trong trường hợp thực, theo chúng tơi được biết, những cơng trình đầu tiên thiết lập các bất đẳng thức Łojasiewicz cho các hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu là của Tạ Lê Lợi [59] và Kurdyka [51].
toán, chẳng hạn như các bài tốn phương trình tiến hố (xem [41]), hội tụ nghiệm và thuật toán (xem [6, 22]). Vì vậy việc đặc trưng bất đẳng thức này là một bài toán đáng lưu ý. Năm 2010, các tác giả trong [6] đã có những nghiên cứu về đặc trưng và ứng dụng của bất đẳng thức này trong trường hợp hàm dưới giải tích, khơng trơn. Tuy nhiên, những nghiên cứu trên chỉ phát biểu cho trường hợp địa phương. Với bất đẳng thức gradient (1.2), trường hợp U trong bất đẳng thức này là lân cận khơng compact thì bất đẳng thức có thể khơng cịn đúng nữa (xem Ví dụ 4.2.1). Từ đây, phát sinh bài tốn sau: Tìm điều kiện
cần và đủ để tồn tại bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cho lớp hàm định nghĩa được trong trường hợp lân cận U là khơng compact hay tồn cục.
Mục đích của chương này nhằm:
• Mở rộng một số kết qu v cn sai s Holderă ton cc ca H Huy Vui trong [32] từ lớp hàm đa thức lên lớp hàm định nghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu (các Mệnh đề 4.1.1, 4.1.3 và các Định lý 4.1.5, 4.1.8). Trong đó, có ví dụ ở nhận xét 4.1.4 chỉ ra sự khác biệt trong kết quả về cận sai số giữa trường hợp hàm đa thức và hàm định nghĩa được.
• Đưa ra tiêu chuẩn tồn tại bất đẳng thức gradient cạnh thớ cho hàm định nghĩa được, liên tục (Định lý 4.2.2).
Bài tốn thứ hai chúng tơi chỉ đạt được kết quả về bất đẳng thức gradient trong trường hợp cạnh thớ chứ chưa phải trường hợp tồn cục. Do đó kết quả ở bài tốn này cịn rất hạn chế. Chương này được chúng tơi trình bày theo bài báo đầu tiên trong danh mục cơng trình.
4.1 Cn sai s Holderă ton cc cho hm định nghĩa được
Trong các mục từ đây trở về sau, tập S luôn được giả sử là tập dưới mức tương ứng với t = 0, cụ thể là
S := fx 2 Rn j f (x) 0g,
trong đó f : Rn ! R là một hàm định nghĩa được trong một cấu trúc o-tối tiểu. Ký hiệu [a]+ := maxfa, 0g.
4.1.1 Các bất đẳng thức kiểu Łojasiewicz gần tập và xa tập
Mục đích chính của phần này là mở rộng một số kết quả, cụ thể là các Định lý 2.1 và 2.2 trong [32] cho các hàm định nghĩa được, liên tục. Trong trường hợp này, khó khăn chính của các mở rộng này là ta khơng có Bổ đề 1.2.12 trong các cấu trúc o-tối thiểu tổng quát. Bởi vậy, chúng tôi sử dụng Định lý 1.2.9 để chứng minh các kết quả này.
Mệnh đề sau đây là một mở rộng của Định lý 2.1 trong [32]:
Mệnh đề 4.1.1 (Bất đẳng thức "gần tập"). Cho f : Rn ! R là một hàm định nghĩa
được, liên tục. Giả sử rằng S 6= ˘. Khi đó hai khẳng định sau là tương đương: (i) Với dãy bất kỳ xk 2 Rn n S, xk ! ¥, thỏa mãn
f (xk) ! 0 thì dist(xk, S) ! 0;
(ii) Tồn tại d > 0 và một hàm m : [0, d] ! R định nghĩa được, liên tục và đơn điệu tăng ngặt trên [0, d) với m(0) = 0 sao cho
m([ f (x)]+) dist(x, S), 8x 2 f 1
(( ¥, d])
Chứng minh.
(ii) ) (i) : Giả sử xk 62S, xk ! ¥ và f (xk) ! 0. Ta có [ f (xk)]+ = f (xk). Từ tính liên tục
của hàm m tại 0, ta được m( f (xk)) ! 0. Chú ý rằng 0 < f (xk) < d nếu
k 1. Khi đó, bất đẳng thức (4.1) kéo theo dist(xk, S) ! 0.
(i) ) (ii) : Không mất tổng quát, giả sử rằng S 6= Rn. Khi đó tồn tại t0 > 0 sao cho f
1
(t0) 6= ˘. Vì f là hàm liên tục, nên f 1(t) 6= ˘ với mọi 0 t 1. Đặt
m(
t
Ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại d > 0 đủ bé sao cho m(t) có những tính chất cần thiết. Rõ ràng ta có m(0) = 0.
Ta chứng minh rằng tồn tại d > 0 sao cho m(t) < +¥ với mọi t 2 [0, d). Giả sử ngược lại rằng tồn tại một dãy tk > 0, tk ! 0, sao cho m(tk) = ¥ với mọi k. Khi đó, tồn tại dãy xk 2 f 1(tk) sao cho dist(xk, S) ! +¥ khi k ! ¥. Vì vậy f (xk) ! 0 và xk ! ¥. Đây là một mâu thuẫn.
Từ Mệnh đề 1.2.6 và 1.2.7 cùng Định lý 1.2.4, ta có m(t) là định nghĩa được trên khoảng [0, d]. Sử dụng Định lý 1.2.9 và giảm d nếu cần, ta có hàm m là liên tục và đơn điệu chặt trên (0, d].
Ta sẽ chứng minh rằng m liên tục tại 0. Giả sử m không liên tục tại 0. Khi
đó, tồn tại một dãy số tk ! 0 sao cho
m(tk) = sup dist(x, S) 9 0.
x2 f 1(tk)
Vì vậy, tồn tại một dãy xk 2 f 1(tk) sao cho tk = f (xk) ! 0 và dist(xk, S) 9 0. Mặt khác, xk ! ¥. Thật vậy, nếu có x 2 Rn sao cho xk ! x thì từ tính liên tục của f , ta có f (xk) ! f (x), suy ra f (x) = 0. Điều này nghĩa là dist(xk, S) ! 0, mâu thuẫn. Bởi vậy ta có xk ! ¥, f (xk) ! 0 và dist(xk, S) 9 0. Điều này mâu thuẫn với (i). Do đó hàm m là liên tục và đơn điệu trên [0, d].
Vì m(0) = 0 và m(t) > 0 với mọi t 2 (0, d] nên nếu d đủ bé thì m(t) là hàm tăng ngặt trên [0, d].
Với 0 < t d, với mọi x 2 f t
m(
Vì vậy, m([ f (x)]+) dist(x, S) với mọi x 2 f
Nhận xét 4.1.2. Điều kiện m là liên tục tại 0 và m(0) = 0 trong (ii) là cần thiết. x
Chẳng hạn, xét hàm f : R ! R, x 7!1 + x2 . Dễ thấy f là hàm nửa đại số vì đồ thị
của f là tập nửa đại số f(x, y) 2 R2j(1 + x2)y = xg, ngoài ra f là hàm khả vi. Ta có S = ( ¥, 0]. Khi đó, ta chọn
80lấy dãy x lấy dãy x