Trong tiểu mục này, ta sẽ nhắc lại cách tính tốn khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của một đường cong đại số.
Cho g(x, y) là đa thức monic theo y có bậc d. Xét đường cong phức VC(g). Đặt gˆ(x, y, z) := zd g x
z , y
z . Khi đó VC(g) là compact hoá của đường cong VC(g) trong mặt phẳng xạ ảnh CP2, được cho bởi:
VC(g) = f[x : y : z] 2 CP2 : gˆ(x, y, z) = 0g.
Tập VC(g) \ fz = 0g là giao của đường cong VC(g) với đường thẳng tại vô hạn của CP2, được xác định như sau:
VC(g) \ fz = 0g = f[x : y : 0] 2 CP2 : gd(x, y) = 0g,
trong đó gd(x, y) là thành phần thuần nhất bậc d của đa thức g.
Vì g có dạng monic nên tất cả các điểm thuộc VC(g) \ fz = 0g đều chứa trong bản đồ fx = 1g của đa tạp CP2. Vì vậy,
VC(g) \ fz = 0g = f[1 : ci : 0] 2 CP2, i = 1, . . . , mg,
với fci, i = 1, . . . , mg là các nghiệm của đa thức gd(1, y) = 0.
Gọi fyi1(z), . . . , yik(i)(z)g, i = 1, . . . , m là tập tất cả các khai triển Newton-
Puiseux của mầm gˆ(1, y, z) tại điểm (0, ci). Chú ý rằng, các chuỗi yi1, ...,y
i = 1, . . . , m có thể được tính tường minh bởi thuật toán Newton (xem, chẳng
m
hạn, [7, Mục 8.3] hoặc [85, Chương 4]). Ta có å k(i) = d (tính cả bội) và khi đó
i=1
1
y(x) = xyij x , i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , k(i), là các khai triển Newton-Puiseux tại vơ hạn của đường cong VC(g).
Ví dụ 3.4.2. Xét g(x, y) = 2y3 + x2y 2y x. Khi đó, thuần nhất hố, ta được:
gb(x, y, z) = 2y3 + x2y 2yz2 xz2.
VC(g) \ fz = 0g = f[x : y : 0] 2 CP2 : 2y3 + x2y = 0g 63
= f[1 : y : 0] 2 CP2 : 2y3 + y = 0g
= fA1 = [1 : 0 : 0]; A2 = [1 :
Ta sẽ tính các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0, tương ứng với điểm A1, các điểm khác tương tự. Xét ge(z, y) = gb(1, y, z) = 2y3 + y 2yz2 z2. Ta tính các khai triển Newton-Puiseux của đường cong ge(z, y) = 0 trong lân cận của (0, 0). Theo thuật toán Newton (xem, chẳng hạn, [7, Mục 8.3, trang 377]), từ đầu tiên của y¯(z) là z2. Để tính từ tiếp theo của y¯(z), đặt y¯(z) = z2(1 + j). Ta có
0 = g(z, y¯(z)) = g(z, z2(1 + j)) hay 2z6(1 + j)3 + z2(1 + j) 2z4(1 + j) z2 = 0.
Lặp e e
lại thuật tốn Newton, ta có j = 2
z
Vì vậy, y = z2 + . . . Điều này kéo theo y(z) = z2 + 2z4 + 2z6 + . . . . Do đó,
1 1 2 2
y(x) = xy( x ) = x + x3 + x5 + . . . là một khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0.
Chú ý rằng ¶
[z2[1 + 2z2(1 + y)]3 + y 2z2 2z2y](0, 0) = 1 nên từ Định lý ¶y
hàm ẩn, y là một hàm giải tích thực. Vì vậy, y(x) là một nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x, y) = 0.
c. Quy trình tính tốn tập L+( f )
Giả sử đa thức f có dạng monic theo y và có bậc d. Ta sẽ sử dụng cơng thức thứ hai của L+( f ) để tính tốn tập này. Lưu ý rằng trường hợp 2 biến thì L+( f ) 6= ˘ theo Hệ quả 3.2.8.
Với c là một điểm bất kỳ thuộc R, từ định nghĩa của các tập F+1 và F+2 và Bổ đề 3.4.1 ta có:
(ic) c 2 F+1 nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
Hoặc
64hoặc ( hoặc ( 9 y e min y2RP ( f
(iic) c 2 F+2 nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:
Hoặc ( 9 y e hoặc ( với 9 ye x min Từ điều kiện (ic), ta có: F+1 = c 2 R : 9y(x) 2 RP e e
Vì vậy, từ cơng thức thứ hai của L+( f ) (Hệ quả 3.1.9), để tính L+( f ) thì ta chuyển về tính h+. Đặt
P
Giả sử P f
+
h+ 2 P( f ) [ f¥g.
Nhận xét 3.4.3. Các tính tốn đối với hai phía trục Oy đều thực hiện riêng theo
hai phía, phía bên phải đối với f (x, y) và phía bên trái đối với f ( x, y). Điều này