Cho g(x, y) là một đa thức 2 biến thực monic theo y. Để mơ tả quỹ tích thực của đường cong g(x, y) = 0, ta sử dụng nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x, y) = 0 (Định nghĩa 1.1.12).
m
Xét y(x) = å
k= ¥
Do đó các quỹ tích thực của g(x, y) = 0, với x > r 1 được mô tả bởi các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0. Để mô tả quỹ tích thực của đường cong g(x, y) = 0 trong nửa đường thẳng ( ¥, r), r 1. Ta sử dụng các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong g(x, y) = g( x, y) với x > r và r 1. Với đa thức g, ký hiệu
• RP+(g) là tập tất cả các nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x, y);
• RP (g) là tập tất cả các nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x,
y). Đặt RP(g) = RP+(g) [ RP (g). Từ định nghĩa của RP+(g) và RP (g) ta có
V+(g) = [
f(x, y) 2 R2 : x > r, y = y(x)g,
y(x)2RP+(g)
Đặt
V(g) := V+(g) [ V (g).
Để tính tập RP(g), ta có thể sử dụng thuật tốn Newton cổ điển để tính các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong affine (xem mục 3.4.1 b ở dưới đây), ngồi ra ta có thể sử dụng cơng cụ hỗ trợ, đó là phần mềm MAPLE. Dùng lệnh "puiseux" của gói lệnh "algcurves", ta có thể tìm được các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong g(x, y) = 0.
Giả sử j là chuỗi Newton–Puiseux tại vơ hạn, có dạng:
m
k m
j(x) = å ck x p = cmx p + các số hạng có bậc thấp hơn.
k= ¥
Cấp tăng tại vơ hạn của chuỗi j, ký hiệu v(j), được xác định như sau:
8 >m nếu j 6 0 > < v(j) := p > ¥ nếu 0 > : j
Để kiểm tra một giá trị cho trước có thuộc vào tập L+( f ) hay khơng thì ta cần ước lượng khoảng cách từ một điểm đến tập dưới mức. Nói chung đây là một bài tốn khó trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, với trường hợp hàm hai biến, tức n = 2, ta có thể sử dụng Hệ quả 3.1.9 với cơng thức của tập L+( f ) và bổ đề sau đây để vượt qua khó khăn này.
Bổ đề 3.4.1. ( [31, Mệnh đề 2.3]). Cho f và g là các đa thức hai biến thực monic
theo y và j 2 RP+(g) [ RP (g). Khi đó, tồn tại c > 0 và r 1 sao cho với mọi x > r thì:
Hoặc
với v(j, V+( f )) =
hoặc
với v (j