Tổng quan về các phương pháp hồi quy

CHƯƠNG 3 : NGUỒN DỮ LIỆU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

3.3. Tổng quan về các phương pháp hồi quy

Trong bài nghiên cứu này, tác giả sử dụng các phương pháp mơ hình VAR, SVAR và TVP VAR để phân tích tác động truyền dẫn của CSTT đến nền kinh tế. VAR và SVARlà hai phương pháp rất hay được các nhà nghiên cứu sử dụng trong phân tích sự truyền dẫn CSTT ở Việt Nam. Tuy nhiên hai phương pháp này có một nhược điểm là các hệ số không đổi theo thời gian, trong khi mối quan hệ giữa các biến số kinh tế luôn biến động trong từng thời điểm. Do đó, tác giả đã sử dụng mơ hình TVP VAR với các hệ số thay đổi theo thời gian để khắc phục được nhược điểm này nhằm phản ánh sát hơn những biến động truyền dẫn CSTT trong từng thời điểm.

3.3.1. Mơ hình Vecto tự hồi quy (VAR)

Theo Sim (1980), mơ hình VAR là hệ phương trình của các biến nội sinh, trong đó giá trị của mỗi biến ở thời điểm hiện tại sẽ phụ thuộc vào độ trễ của chính các biến số đó và độ trễ của các biến nội sinh khác trong mơ hình. Khi đó, vai trị của các biến nội sinh là như nhau. Mơ hình VAR dạng rút gọn được mơ tả như sau:

𝐴𝑦𝑡 = 𝐶 + ∏(𝐿)𝑦𝑡−1+ 𝐵𝑒𝑡 (3.1)

Với 𝑒𝑡 = 𝛽−1𝜀𝑡, trong đó 𝜀𝑡 là nhiễu trắng, 𝑒𝑡 có phân phối (0, 𝜎2)

Các cú sốc trong mơ hình VAR rút gọn sẽ bao gồm 2 thành phần: Biến động phương sai của các cú sốc và mối quan hệ hiệp phương sai giữa các cú sốc. Xét một mơ hình VAR 2 biến đơn thuần, số các tham số cần ước tính của mơ hình VAR cần ước tính là 6 hệ số ước tính + 2 phương sai ước tính + 1 Covar ước tính.

Sims (1980) đã đưa ra một hệ thống đệ quy của mơ hình VAR nhằm cần phải hạn chế bớt số các tham số trong mơ hình VAR. Khi đó, nếu tại thời điểm hiện tại, biến y bị ảnh hưởng bởi z nhưng z ở thời điểm hiện tại khơng bị ảnh hưởng bởi y thì hệ số tác động của y tới z sẽ được áp đặt bằng 0. Đây chính là các áp đặt ma trận tam giác 1 phía theo phân rã Cholesky.

3.3.2. Mơ hình VAR cấu trúc (SVAR)

Mơ hình SVAR là hệ phương trình của các biến nội sinh, trong đó, giá trị của mỗi biến ở một thời điểm sẽ phụ thuộc vào 2 thành phần: (1) giá trị độ trễ của chính các biến số đó, (2) giá trị tức thời và giá trị độ trễ của các biến nội sinh trong mơ hình. Mối quan hệ đồng thời giữa các biến được áp đặt bởi các lý thuyết kinh tế để tạo ra một giả định ràng buộc áp đặt mơ hình. SVAR được xem là mơ hình tổng qt nhất phản ánh mối quan hệ giữa các biến số kinh tế bởi vì việc áp đặt các hệ số trong ma trận hệ số tức thời (bằng 0 hoặc khác 0) sẽ phụ thuộc nhiều vào các mối quan hệ ràng buộc cũng như ý nghĩa kinh tế của các mối quan hệ này. Tính động của các mối quan hệ tương tác giữa các chuỗi biến số kinh tế được mô tả như sau:

𝐴𝑦𝑡 = 𝐶 + ∏(𝐿)𝑦𝑡+ 𝐵𝜀𝑡 (3.1)

Với mơ hình SVAR ở bên vế phải được trình bày như sau:

Trong đó: 𝑦𝑡 là ma trận (𝑛 × 1) của 𝑛 biến nội sinh ;

𝐴 là ma trận vng (𝑛 × 𝑛) thể hiện mối quan hệ đồng thời giữa các biến số kinh tế đang được xem xét ;

𝐶 là ma trận (𝑛 × 1) các biến ngoại sinh (hệ số chặn trong mơ hình) ;

∏(𝐿) là ma trận đa thức của các độ trễ, ∏(𝐿) = ∏1𝐿 + ∏2𝐿2+ ∏3𝐿3+ ⋯ + ∏𝑝𝐿𝑝 ;

𝜀𝑡 là vecto các cú sốc cấu trúc với 𝐸(𝜀𝑡) = 0, 𝐸(𝜀𝑡𝜀𝑠′) = ∑𝜀 = 𝐼𝑛 khi 𝑠 = 𝑡 và 𝐸(𝜀𝑡𝜀𝑠′) = 0 khi 𝑠 ≠ 𝑡 ;

𝐵 là ma trận vng (𝑛 × 𝑛) thể hiện mối quan hệ đồng thời giữa các cú sốc cấu trúc của các biến kinh tế vĩ mô.

Giản ước phương trình (3.1), ta có

𝐴−1𝐴𝑦𝑡 = 𝐴−1𝐶 + 𝐴−1∏(𝐿)𝑦𝑡 + 𝐴−1𝐵𝜀𝑡

Hay: 𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜑(𝐿)𝑦𝑡 + 𝑢𝑡 (3.2)

Trong đó: 𝑢𝑡 là sai số ước lượng thỏa 𝐸(𝑢𝑡) = 0, 𝐸(𝑢𝑡𝑢𝑠′) = ∑𝑢 khi 𝑠 = 𝑡 và 𝐸(𝑢𝑡𝑢𝑠′) = 0 khi 𝑠 ≠ 𝑡. Từ (3.1) và (3.2), ta có:

𝐴−1𝐵𝜀𝑡 = 𝑢𝑡

Và ∑𝑢 = 𝐴−1𝐵𝐵′𝐴−1′ (3.3)

Để ước lượng mơ hình SVAR địi hỏi mơ hình phải được định dạng theo các ràng buộc. Điều kiện cần thiết để định dạng mơ hình một cách chính xác là các ma trận A, B phải có cùng số hệ số giống như số hệ số trong ma trận phương sai – hiệp phương sai của mơ hình VAR rút gọn ∑𝑢. Nói cách khác, điều kiện này nhằm đảm bảo có thể khơi phục được các hệ số cấu trúc ban đầu từ mơ hình dạng rút gọn.

Theo phương trình (3.3), mối quan hệ giữa mơ hình rút gọn và mơ hình cấu trúc ban đầu sẽ được biểu diễn thơng qua phương trình: ∑𝑢 = 𝐴−1𝐵𝐵′𝐴−1′

Để việc định dạng trở nên chính xác thì ma trận A, B phải có tổng cộng 2𝑛2− 𝑛 hệ số. Do ma trận phương sai – hiệp phương sai ∑𝑒 sẽ có 𝑛(𝑛 + 1)/2 hệ số nên số hệ số cần áp đặt thêm sẽ là 2𝑛2− 𝑛 − 𝑛(𝑛 + 1)/2 các ràng buộc giữa A và B. Trong mơ hình SVAR tiêu chuẩn, ma trận B là một ma trận đường chéo có 𝑛(𝑛 − 1) hệ số chưa xác định và phương sai sai số của ma trận A (var 𝜀𝑡) gồm n hệ số chưa xác định nên tổng cộng ma trận B có 𝑛(𝑛 − 1) + 𝑛 = 𝑛2 hệ số chưa xác định. Do đó, ma trận B cần áp đặt 𝑛2− 𝑛(𝑛 + 1)/2 = 𝑛(𝑛 − 1)/2 ràng buộc để thể hiện mối quan hệ tức thời giữa các biến số. Trong khi đó, ma trận A có các giá trị trên đường chéo chính bằng 1 (tương ứng với việc áp đặt n ràng buộc) nên cần phải áp đặt thêm 𝑛(𝑛 − 1) ràng buộc đối với ma trận A

Có nhiều cách áp đặt các hệ số cho ma trận 𝐴, Sims (1980) đưa ra cách áp đặt đệ quy (được gọi là SVAR đệ quy), áp đặt 𝐴 theo dạng ma trận tam giác dưới (tất cả các tham số của ma trận trong tam giác trên bằng 0). Tuy nhiên, cách áp đặt này đôi khi phản ánh khơng đúng hoặc bỏ sót những mối quan hệ tức thời giữa các biến trong mơ hình, do vậy các nhà nghiên cứu sau này đã đưa ra hai dạng ràng buộc để thực hiện SVAR là ràng buộc ngắn hạn (short – run) và dài hạn (long – run).

- Ràng buộc ngắn hạn hạn chế các cú sốc cấu trúc tác động tức thời đến các biến nội sinh bằng cách thiết lập các số bằng 0 trên ma trận A.

- Ràng buộc dài hạn hạn chế các cú sốc cấu trúc ảnh hưởng đến các biến nội sinh theo cách tích lũy.

3.3.3. Mơ hình vecto tự hồi quy biến động theo thời gian (TVP-VAR)

Mơ hình TVP VAR được thiết lập như sau: Từ mơ hình VAR rút gọn (3.2) ở trên: 𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜑(𝐿)𝑦𝑡+ 𝑒𝑡, lấy các hệ số trên từng hàng của ma trận ∏(𝐿) theo dạng 𝛽 và định nghĩa 𝑋𝑡 = 𝐼𝑘 ⊗ (𝑦𝑡−1′ , … , 𝑦𝑡−𝑠′ ) (với ⊗ là ký hiệu của phép nhân Kronecker), ta có:

𝑦𝑡 = 𝑋𝑡𝛽 + 𝐴−1∑𝑒𝑡

Đây là mơ hình VAR rút gọn với các tham số cố định. Mơ hình này được mở rộng sang mơ hình TVP VAR bằng việc cho phép các tham số thay đổi theo thời gian. Khi đó, mơ hình TVP VAR với các biến động ngẫu nhiên sẽ được biểu diễn như sau:

𝑦𝑡 = 𝑋𝑡𝛽𝑡+ 𝐴𝑡−1∑𝑡𝑒𝑡, t = s + 1,…,n. (3.4)

Trong đó các hệ số 𝛽𝑡, các tham số 𝐴𝑡 và ∑𝑡 đều biến đổi theo thời gian. Theo Primiceri (2005), đặt 𝑎𝑡 = (𝑎21, 𝑎31, 𝑎32, … , 𝑎𝑘,𝑘−1)𝑡 là vecto các hàng của ma trận tam giác dưới trong 𝐴𝑡 và ℎ𝑡 = (ℎ1𝑡, … , ℎ𝑘𝑡)𝑡 với ℎ𝑗𝑡 = log (𝜎𝑗𝑡2), 𝑗 = 1, … , 𝑘; 𝑡 = 𝑠 + 1, … , 𝑛. Giả định các tham số trong phương trình (3.4) tuân theo bước ngẫu nhiên (random walk), các hệ số trong phương trình (3.4) được viết lại như sau:

( 𝑒𝑡 𝑢𝛽𝑡 𝑢𝑎𝑡 𝑢ℎ𝑡) ~𝑁 ( 0, ( 𝐼 0 0 0 0 ∑𝛽 0 0 0 0 ∑𝑎 0 0 0 0 ∑ℎ ) ) Với 𝑡 = 𝑠 + 1, … , 𝑛; 𝛽𝑠+1 ~ 𝑁(𝜇𝛽0, ∑𝛽0); 𝑎𝑠+1 ~ 𝑁(𝜇𝑎0, ∑𝑎0); ℎ𝑠+1 ~ 𝑁(𝜇ℎ0, ∑ℎ0) Mơ hình TVP VAR có một số giả thiết như sau.

- Thứ nhất, các thành phần trong ma trận tam giác dưới của At phải được định dạng đệ quy trong mơ hình VAR. Giả thiết này khá đơn giản và được sử dụng rộng rãi, mặc dù mơ hình cấu trúc có thể yêu cầu các định dạng phức tạp hơn để hàm ý cho cấu trúc các mối quan hệ kinh tế (theo Christiano, Eichenbaum và Evans (1999)).

- Thứ hai, giả định các tham số không được dừng mà phải là bước ngẫu nhiên. - Thứ ba, cấu trúc ma trận phương sai – hiệp phương sai của các cú sốc tham số biến đổi theo thời gian phải được thể hiện thông qua áp đặt các tham số ∑𝛽, ∑𝑎, ∑ℎ. Hầu hết các nghiên cứu đều giả định ∑𝑎 là ma trận đường chéo. D. Mohanty và J. John (2014) đã đưa ra thêm giả định rằng ∑ℎ cũng phải là ma trận đường chéo.

- Thứ tư, cần thận trọng trong việc lựa chọn mơ hình TVP VAR bởi vì mơ hình này có nhiều biến trạng thái và các biến này đều tuân theo tiến trình bước ngẫu nhiên khơng dừng. Đối với mơ hình TVP VAR, các biến trạng thái đều có thể thay đổi từ từ cũng như thay đổi đột ngột theo cấu trúc kinh tế. Điều này có thể dẫn đến việc định dạng vượt quá định dạng (over-identification problem). Theo Primiceri (2005), các giả thiết chặt chẽ đối với ma trận hiệp phương sai của sai số trong tiến trình bước ngẫu nhiên sẽ giúp tránh được hiện tượng hồi quy giả mạo của các tham số biến đổi theo thời gian. Hệ số biến đổi theo thời gian (𝛽 = (𝛽𝑠+1, … , 𝛽𝑛)) yêu cầu một giả thiết chặt chẽ hơn so mới mối quan hệ đồng thời (𝑎 = (𝑎𝑠+1, … , 𝑎𝑛)) và sự biến động (ℎ = (ℎ𝑠+1, … , ℎ𝑛)) của các cú sốc cấu trúc phương sai hạng nhiễu trong quá trình biến đổi theo thời gian của chúng. Các cú sốc cấu trúc trong mơ hình tác động sẽ khơng kỳ vọng vào ý nghĩa kinh tế; đồng thời quy mô của các cú sốc sẽ biến động

- Thứ năm, việc thiết lập trạng thái ban đầu của các tham số biến đổi theo thời gian rất quan trọng. Khi mơ hình chuỗi thời gian có tính dừng, các biến số thường được giả định có trạng thái ban đầu cũng là một chuỗi dừng. Trong mơ hình hồi quy TVP VAR, do các tham số biến đổi ngẫu nhiên theo thời gian nên cần định rõ một giả thiết chắc chắn cho 𝛽𝑠+1, 𝑎𝑠+1, ℎ𝑠+1. Có hai cách để thiết lập giả thiết này: (1) theo Primiceri (2005), chúng ta thiết lập giả thiết phân phối chuẩn với giá trị trung bình và phương sai các tham số đều dựa trên ước lượng từ mơ hình VAR cố định trong giai đoạn mẫu nghiên cứu (pre-sample period); hoặc (2) thiết lập trạng thái “phẳng” cho thời điểm ban đầu vì chúng ta khơng có thơng tin về trạng thái ban đầu.

 Phương pháp ước lượng cho mơ hình TVP VAR

Đặt 𝑦 = {𝑦𝑡}𝑡=1𝑛 , và 𝜔 = (∑𝛽, ∑𝑎, ∑ℎ). Chúng ta thiết lập mật độ xác suất tiên nghiệm của 𝜔 là 𝜋(𝜔). Từ dữ liệu 𝑦 cho trước, tạo các mẫu từ hàm phân phối hậu nghiệm 𝜋(𝛽, 𝑎, ℎ, 𝜔|𝑦) bằng thuật toán MCMC :

(1) Thiết lập trạng thái ban đầu của 𝛽, 𝑎, ℎ và 𝜔 (2) Tạo mẫu 𝛽|𝑎, ℎ, ∑𝛽, 𝑦 (3) Tạo mẫu ∑𝛽|𝛽 (4) Tạo mẫu 𝑎|𝛽, ℎ, ∑𝑎, 𝑦 (5) Tạo mẫu ∑𝑎|𝑎 (6) Tạo mẫu ℎ|𝛽, 𝑎, ℎ, ∑ℎ, 𝑦 (7) Tạo mẫu ∑ℎ|ℎ (8) Lặp lại bước (2)

- Tạo mẫu 𝜷: Mẫu 𝜷 từ phân phối hậu nghiệm có điều kiện được tạo ra dựa

trên mơ hình trạng thái khoảng trống (state space model) như sau: 𝑦𝑡 = 𝑋𝑡𝛽𝑡+ 𝐴𝑡−1∑𝑡𝜀𝑡, 𝑡 = 𝑠 + 1, … , 𝑛,

𝛽𝑡+1 = 𝛽𝑡 + 𝑢𝛽𝑡, 𝑡 = 𝑠, … , 𝑛 − 1,

𝑋𝑡𝛽 = 0𝑘, 𝑍𝑡 = 𝑋𝑡, 𝐺𝑡 = (𝐴𝑡−1∑𝑡, 𝑂𝑘𝛽), 𝑇𝑡 = 𝐼𝑘𝛽, 𝐻𝑡 = (𝑂𝑡, ∑1/2𝛽 ), 𝐻0 = (𝑂𝑘, ∑𝛽

0 1/2),

- Tạo mẫu 𝒂 : Mẫu 𝒂 từ phân phối hậu nghiệm có điều kiện cũng được tạo ra

dựa trên mơ hình trạng thái khoảng trống như sau:

𝑦̂𝑡 = 𝑋̂𝑡𝑎𝑡+ ∑𝑡𝜀𝑡, 𝑡 = 𝑠 + 1, … , 𝑛, 𝑎𝑡+1 = 𝑎𝑡 + 𝑢𝑎𝑡, 𝑡 = 𝑠, … , 𝑛 − 1,

Trong đó: 𝑎𝑠 = 𝑢𝑎0, và 𝑢𝑎𝑠~𝑁(0, ∑𝑎0), 𝑦̂𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑋𝑡𝛽𝑡, và

Với 𝑡 = 𝑠 + 1, … , 𝑛. Khi đó, ước lượng trong mẫu 𝑎 được thiết lập như sau: 𝑋𝑡𝛽 = 0𝑘, 𝑍𝑡 = 𝑋̂𝑡, 𝐺𝑡 = (∑𝑡, 𝑂𝑘𝑎),

𝑇𝑡 = 𝐼𝑘𝑎, 𝐻𝑡 = (𝑂𝑡, ∑1/2𝑎 ), 𝐻0 = (𝑂𝑘, ∑1/2𝑎0 ),

- Tạo mẫu 𝒉: Những biến động ngẫu nhiên 𝐡 sẽ được thực hiện theo phương pháp suy luận {𝐡𝐣𝐭}

𝐭−𝐬+𝟏 𝐧

riêng phần với từng giá trị 𝐣 = 𝟏, … , 𝐤, với giả định ∑𝒉 và ∑𝒉𝟎 là các ma trận đường chéo. Kí hiệu 𝒚𝒊𝒕∗ là thành phần thứ 𝒊 của 𝑨𝒕𝒚̂𝒕 như sau:

𝑦𝑖𝑡∗ = exp (ℎ𝑖𝑡 2) 𝜀𝑖𝑡, 𝑡 = 𝑠 + 1, … , 𝑛, ℎ𝑖,𝑡+1 = ℎ𝑖𝑡+ 𝜂𝑖𝑡, 𝑡 = 𝑠, … , 𝑛 − 1, (𝜀𝑖𝑡 𝜂𝑖𝑡) ~𝑁 (0, (10 𝑣0 𝑖2)),

Trong đó 𝜂𝑖𝑠~𝑁(0, 𝑣𝑖02), và 𝑣𝑖2 và 𝑣𝑖02 lần lượt là thành phần đường chéo thứ 𝑖 của ∑ và ∑ ; 𝜂 là thành phần thứ 𝑖 của 𝑢 .

- Tạo mẫu 𝜔: Mẫu ∑𝛽 từ phân phối hậu nghiệm có điều kiện được thực hiện giống như cách tạo mẫu ∑ trong mơ hình hồi quy TVP. Tạo mẫu các thành phần đường chéo của ∑𝑎 và ∑ℎ cũng tương tự như cách tạo mẫu 𝜎𝜂 trong hồi quy TVP. Khi các giá trị tiền nghiệm tuân theo phân phối Gamma đảo ngược thì nó cũng tn theo phân phối hậu nghiệm có điều kiện.

3.3.4. Hàm phản ứng đẩy – Impulse response function (IRF)

Hàm phản ứng đẩy IRF xem xét riêng rẽ tác động của một cú sốc đến các biến nội sinh khác nhau trong mơ hình. Từ đó, chúng ta có thể hiểu rõ hơn mức độ và cường độ tác động của từng cú sốc (khi nó xảy ra) đến các biến số kinh tế khác.

Hàm phản ứng đẩy IRF được viết lại theo phương trình cấu trúc dưới dạng trung bình di động trượt (MA) như sau:

Từ phương trình (3.1): 𝐴𝑦𝑡 = 𝐶 + ∏(𝐿)𝑦𝑡 + 𝐵𝜀𝑡 Ta có: 𝑦𝑡 = 𝜇 + ∑∞𝑖=0𝐴𝑖1𝐴−1𝜀𝑡−𝑖 = 𝜇 + ∑∞𝑖=0Φ(i)𝜀𝑡−𝑖 (3.4) Φ(𝑖) = 𝐴1𝑖𝐴−1 = [ 𝜃11(𝑖) ⋯ 𝜃1𝑘(𝑖) ⋮ ⋱ ⋮ 𝜃𝑘1(𝑖) ⋯ 𝜃𝑘𝑘(𝑖) ]

Giả sử mơ hình SVAR 2 biến: 𝑚𝑡 và 𝑦𝑡, tại thời điểm 𝑡 + 𝑖 bất kỳ, ta có: [𝑚𝑦𝑡+𝑖 𝑡+𝑖] = [𝜇𝜇1 2] + [𝜃11 (0) 𝜃12(0) 𝜃21(0) 𝜃22(0)] [ 𝜀𝑡𝑚 𝜀𝑡𝑦] + ⋯ + [𝜃11 (𝑖) 𝜃12(𝑖) 𝜃21(𝑖) 𝜃22(𝑖)] [ 𝜀𝑡+𝑖𝑚 𝜀𝑡+𝑖𝑦 ] Hệ số phản ứng cấu trúc của các biến như sau:

𝜃11(𝑖) =𝜕𝑚𝑡+𝑖 𝜕𝜀𝑡𝑚 𝜃12(𝑖) =𝜕𝑚𝑡+𝑖 𝜕𝜀𝑡𝑦 𝜃21(𝑖) =𝜕𝑦𝑡+𝑖 𝜕𝜀𝑡𝑚 𝜃22(𝑖) =𝜕𝑦𝑡+𝑖 𝜕𝜀𝑡𝑦

Với mỗi 𝑖 ↦ 𝜃𝑗𝑘(𝑖) được gọi là một hàm phản ứng đẩy, thể hiện phản ứng của biến số thứ 𝑗 đối với cú sốc của biến 𝑘 vào thời điểm 𝑖 kì tiếp theo (sau khi cú sốc này xảy ra).

Hàm phản ứng đẩy tích lũy có dạng như sau: ∑ Φ(i) ∞ 𝑖=0 = ∑ 𝜃12(𝑖) ∞ 𝑖=0

Tại mỗi thời điểm, ta thu được một giá trị phản ứng theo thời gian khi một cú sốc xảy ra. Chuỗi tích lũy các phản ứng theo thời gian chính là hàm phản ứng đẩy đối với các cú sốc.

Theo hình vẽ dưới đây, sau một khoảng thời gian, các biến sẽ trở về vị trí cân bằng. Điều này cho thấy tác động của cú sốc tại thời điểm t sẽ khơng cịn ảnh hưởng tới các biến ở thời điểm t + k nữa. Khi các hệ số Φ(𝑖) giảm dần theo thời gian và tiến về 0 thì điều này cho thấy mơ hình hồi quy có sự ổn định.

3.3.5. Phân rã phương sai (Forecast Error Variance Decomposition)

Phân rã phương sai có thể là một phân tích thay thế phản ứng đẩy nhằm đưa ra một cái nhìn tổng quan về cấu trúc động của mơ hình SVAR. Ngồi ra, phân tích phân rã phương sai sẽ mang nhiều ý tưởng về khả năng dự báo. Do các sai số hồi quy là sự không chắc chắn nên sự tương tác giữa các phương trình trong hệ phương trình sẽ mang đến sự khơng chắc chắn cho tất cả các phương trình (sự khơng chắc chắn có tính hệ thống). Vì vậy, phân tích phân rã phương sai sẽ làm giảm sự không chắc chắn trong một phương trình tới phương sai của sai số trong tất cả các phương trình.

Ví dụ: Với các giá trị 𝐴0, 𝐴1, 𝑌𝑡 để dự báo cho 𝑌𝑡+𝑖

- Tại thời điểm 𝑖 = 1, giá trị dự báo là 𝑌̂𝑡+1 = 𝐴0+ 𝐴1𝑌𝑡, sai số dự báo là 𝑢𝑡+1 - Tại thời điểm 𝑖 = 2, giá trị dự báo: 𝑌̂𝑡+2 = (1 + 𝐴1) 𝐴0+ 𝐴12𝑌𝑡, sai số dự báo là 𝑢𝑡+2+ 𝐴1𝑢𝑡+1

- Tổng quát với thời điểm 𝑖 = 𝑛, giá trị dự báo là 𝑌̂𝑡+𝑛 = (1 + 𝐴1+ ⋯ + 𝐴1𝑛+1) 𝐴0+ 𝐴1𝑛𝑌𝑡; sai số dự báo là 𝑢𝑡+𝑛+ 𝐴1𝑢𝑡+𝑛−1+ 𝐴12𝑢𝑡+𝑛−2+ 𝐴1𝑛−1𝑢𝑡+1