Sự trùng nhau của các topo τ0, τb, τω trên không gian các hàm chỉnh

gian các hàm chỉnh hình

Chúng ta biết rằng τ0 ¤τω trên không gian các hàm chỉnh hình HpUqtrong đó

giả (xem [17] và [8]) đã quan tâm đến sự bằng nhau của τ0 τω, tức là đi tìm các điều kiện để các topo này trùng nhau.

Trong [10] Galindo, Garcia và Maestre đã chứng minh được τ0 τω trên HpUq

nếu U là tập con mở của không gian Fréchet-Montel E. Trong lớp không gian này, đẳng thức ở trên không phải luôn đúng. Ansemil và Taskinen (xem [17]) đã chỉ ra khẳng định này bằng cách sử dụng ví dụ của Taskinen. Sau này, các điều kiện để

τ0 τω trong trường hợp giá trị vô hướng đã được nghiên cứu bởi A. Difant và M. Maestre [7] và bởi S. Dineen (xem [17]). Trong trường hợp tổng quát, K. D. Bierstedt, J. Bonet và A. Peris (xem [17]) đã chỉ ra rằng τ0 τω đối với không gian các mầm chỉnh hình giá trị Banach trên không gian Fréchet-Schwartz và đưa ra các điều kiện tổng quát để các đẳng thức này xảy ra.

Trong [9] Dineen đã giới thiệu về topo τb để mô tả xạ ảnh của topo τω trên không gian HpUq với U là tập con mở bị chặn của không gian Fréchet. Boyd và Peris [5] đã mở rộng định nghĩa của τb trên không gian mầm chỉnh hình giá trị Banach. Họ đã chỉ ra rằng nếu E là không gian Fréchet với điều kiện trù mật thì topo τb và τω trùng nhau trên HpU, X1q, trong đó U là tập con mở cân của E và mọi không gian Banach X nếu và chỉ nếu E là pF Baq-không gian. Điều này dẫn đến nếu E là không gian Fréchet-Montel thì các topo τ0 và τω trùng nhau trên

HpU, X1q với mọi tập con mở cân U của E và mọi không gian Banach X nếu và chỉ nếu E là pF Baq-không gian. Với không gian Fréchet Schwartz E thì tính chất

pQN oq đặc trưng cho sự bằng nhau τ0 τω với mọi ánh xạ chỉnh hình xác định trên tập con mở cân của E giá trị Banach.

Trong mục này, chúng tôi xét bài toán về sự trùng nhau τ0 τω và τb τω trên

HpU, Fqtrong đó F là không gian lồi địa phương hạch. Các kết quả thu được bằng cách tổ hợp Định lý 2.2.1 và Định lý 2.2.4 với mỗi trường hợp tương ứng đối với trường hợp giá trị vô hướng.

Trước khi đi giải quyết bài toán trên, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cần thiết sau đây.

• Theo Dineen [8], một không gian lồi địa phươngE có dãy cơ sở tăng dần các tập lồi cân bị chặn tBnu là (gDF)-không gian nếu và chỉ nếu với mọi dãy lân cận tUnu

của 0P E, tồn tại lân cận U của 0P E sao cho U €Un Bn với mọi n.

• Tính chất này rất gần với tính chất địa phương hoá mạnh [8]. Một không gian lồi địa phương E được gọi là có tính chất địa phương hoá mạnh nếu có chứa một

dãy cơ sở tăng dần các tập bị chặn tBnu sao cho với mọi dãy lân cận lồi cân tUnu

của 0 P E luôn tồn tại lân cận U của 0P E và dãy các ánh xạ tuyến tính liên tục

tLnu €LpEq sao cho

LnpUq € Bn và pI LnqpUq €Un,

với mọi n P N. Vì U €LnpUq pILnqpUq €Un Bn với mọi n nên tính chất địa phương hoá mạnh luôn kéo theo (gDF)-không gian.

• Một không gian lồi địa phương khả metric với dãy cơ sở các lân cận lồi cân đóng

tUnu8n1 của F được gọi là thoả điều kiện trù mật nếu cho dãy số dương tλku và

n P N thì tồn tại mP N và tập bị chặn B sao cho

m £ k1

λkUk €Un B.

Không gian Fréchet tựa chuẩn và không gian Fréchet-Montel là các ví dụ về không gian thoả điều kiện trù mật.

• Theo Boyd và Peris [5], một không gian lồi địa phương F được gọi là thoả tính chất (DFop) nếu nó có dãy cơ sở tăng dần các tập lồi cân bị chặn tBku8k1 sao cho với mọi dãy số dương tεku8k1 và mọi dãy các lân cận lồi cân đóng tUku8k1 của

0P F, luôn tồn tại lân cậnU của0P F và dãy toán tử liên tụctpPknqn

k1u8n1 €LpFq

thoả mãn:

(i) PknpUq €εkBk với mọi k 1, . . . , n;

(ii) pI °n

k1PknqpUq € Un với mọi nP N.

• Một dãy các không gian con tEnucủa E được gọi là mộtphân tích Schauder của

E nếu thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(i) Với mỗi x P E, tồn tại duy nhất dãy các vector txnun81, xn P En với mọi n

sao cho x 8 ¸ n1 xn lim mÑ8 m ¸ n1 xn;

(ii) Các phép chiếu tunu8n1 xác định bởi

um ¸8 n1 xn : m ¸ n1 xn liên tục.

• Một phân tích Schauder tEnu của E được gọi là phân tích không điều kiện nếu mỗi x°8n1xn trong E, xn PEn với mọi n, ta có

x

8

¸ n1

xσpnq

với mọi hoán vị σ của tập số tự nhiên N.

• Giả sử tEnu là phân tích Schauder không điều kiện của không gian Fréchet E. Với mỗi n, ký hiệu Pn là phép chiếu chính tắc từ E lên En được xác định bởi phép phân tích và với mỗi tập con J € N ta đặt PJ °jPJPj. Khi đó, dãy tEnu được gọi là phân tích T-Schauder nếu tồn tại hệ cơ sở các nửa chuẩn t} }kukPN trên E

sao cho:

(i) }PJpxq}k ¤ }x}k với mọi J €N, k P N và mọi xP E;

(ii) Với mọi dãy α pαkq,0 αk ¤1, tồn tại phân hoạch Jk pJα,kqk của N sao cho nếu Pα,k :PJα,k thì

}Pα,kpxq}k1 ¤αk}Pα,kpxq}k

với mọi xP E và mọi k ¥2;

(iii) } }k xác định topo cảm sinh bởi E trên Pα,kpEq với mọi α và mọi k.

Một tập K €E được gọi là T-bất biến nếuPJpKq €K với mọi J €N.

• Một không gian Fréchet E có dãy cơ sở tăng dần các nửa chuẩn t} }kukPN được gọi là T-không gian khai triển được nếu với mọi dãy tαkukPN trong đó 0   αk ¤ 1

với mọi k, tồn tại dãy tPkukPN €LpEq sao cho:

(i) PiPj δijPi với mọi i, j PN;

(ii) x °8k1Pkx với mọi x PE;

(iii) }Pkx}k ¤ }x}k với mọi xP E và mọi k P N;

(iv) }Pkx}k1 ¤αk}Pkx}k với mọi xP E, mọi k ¥2;

Một không gian Fréchet được gọi là T-không gian nếu nó đẳng cấu với không gian con đầy đủ của T-không gian Fréchet khai triển được.

Định lý 3.2.1. ([17]) Cho E là không gian Fréchet thoả điều kiện trù mật. Khi đó, các điều kiện sau tương đương:

(i) Eb1 là (DFop)-không gian;

(ii) E có tính chất pBBq8 và Eb1 có tính chất địa phương hoá mạnh;

(iii) τb τω trên PpnE, Fq với mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;

(iv) τb τω trên HpK, Fq với mọi K cân compact trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;

(v) τb τω trên HpU, Fq với mọi U cân mở trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch F.

Chứng minh. Giả sử (i) hoặc (ii) đúng thì (iii) đúng. Thật vậy, ta có τb τω trên

HpUq theo Định lý 7 trong [5] đối với (i); theo Hệ quả 4.39 trong [8] đối với (ii). Khi đó, áp dụng Định lý 2.1 trong [17], ta có τb τω trên HpU, Fq.

Tiếp theo ta chứng minh (iii)ô(iv)ô(v).

Tính tương đương của (iv) và (v) được suy từ các đẳng thức

rHpK, Fq, τs limind K”U rHpU, Fq, τs; rHpU, Fq, τs limproj U”K rHpK, Fq, τs với τ τb hoặc τ τω.

Vì tPpnE, Fqu8n0 là phân tích S-tuyệt đối của không gian rHpK, Fq, τs với các topo τ P tτ0, τb, τωu (xem [8], Mệnh đề 4.29) ta có (iii) tương đương với (iv).

Bây giờ, ta chứng minh (iii)ñ(i). Với mỗi Gn là một không gian Banach hữu hạn chiều, dễ thấy rằng À8

n1

Gn là không gian hạch đầy đủ. Từ đó C2 À8

n1

Gn

`2

là không gian hạch đầy đủ. Vậy từ (iii) suy ra τb τω trên Pp1E, C2q. Do đó, theo Định lý 7 trong [5], ta suy ra pE, C2q có (BB)-tính chất. Vì vậy, theo Định lý 7 trong [5], Eb1 là (DFop) không gian.

Cuối cùng, ta chứng minh (iii)ñ(ii). Theo chứng minh (iii)ñ(i) ta có Eb1 là (DFop) không gian. Do định nghĩa (DFop) không gian và không gian có tính địa phương hoá mạnh ta suy ra Eb1 có tính địa phương hoá mạnh. Vì vậy, theo Hệ quả 4.39 trong [8], ta suy ra E có pBBq8 tính chất.

Từ Định lý 3.2.1, ta có ngay hệ quả sau.

Hệ quả 3.2.2. ([17]) Cho E là không gian Fréchet thoả điều kiện trù mật. Khi đó, nếu E có phân tích T-Schauder và K, U €E lồi T-bất biến thì các khẳng định trong Định lý 3.2.1 đúng.

Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lý 3.2.1 và Định lý 13 trong [9].

Định lý 3.2.3. ([17]) Cho E là không gian Fréchet Montel. Khi đó, các khẳng định sau tương đương:

(i) Eb1 là (DFop)-không gian;

(ii) E có tính chất pBBq8;

(iii) τ0 τω trên PpnE, Fq với mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;

(iv) τ0 τω trên HpK, Fq với mọi K cân compact trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;

(v) τ0 τω trên HpU, Fq với mọi U mở cân trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F.

Chứng minh. Tính tương đương của (i), (iii), (iv) và (v) được suy trực tiếp từ Định lý 3.2.1. Theo Mệnh đề 3.48 trong [8], ta có τ0 τω trên HpUq khi và chỉ khi E

có tính chất pBBq8. Vì vậy, áp dụng Định lý 2.1 trong [17], ta có (ii) tương đương

đương với (iii).

Từ Định lý 3.2.3, ta có ngay hệ quả sau.

Hệ quả 3.2.4. ([17]) Giả sử E là không gian Fréchet - Montel. Khi đó, nếu E là T-không gian hoặc E là không gian Hilbert thì các khẳng định trong Định lý 3.2.3 đúng.

Chứng minh. Suy trực tiếp từ Định lý 3.2.3 và các Hệ quả 5 và Hệ quả 6 trong [10].

Ví dụ 2.1. (Phản ví dụ cho Hệ quả 3.2.4). Giả sử A pai,jq là ma trận K¨othe sao cho với mỗi tập vô hạn I €N và mỗi n PN, tồn tại k P N thoả mãn

inftaj,naj,k1 : j P Iu 0.

Khi đó, theo Định lý 27.9 trong [13], không gian các dãy K¨otheΛppAqlà không gian Montel. Vậy hiển nhiên ΛppAq là không gian Fréchet - Montel. Theo Hệ quả 27.6 trong [13], không gian ΛppAq có pBBq8 tính chất (cũng có thể xem [8, tr. 332]). Vậy ΛppAq thoả Định lý 3.2.3. Tuy nhiên, không gian này không thể là không gian Hilbert. Thật vậy, nếu ΛppAq là không gian Hilbert thì nó phải là không gian hữu hạn chiều nhưng điều này là không thể.

Định lý 3.2.5. ([17]) Cho E là không gian Fréchet Schwartz. Khi đó một trong các điều kiện tương đương sau đúng:

(i) τ0 τω trên PpnE, Fq với mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;

(ii) τ0 τω trên HpK, Fq với mọi tập K cân compact trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F;

(iii) τ0 τω trên HpU, Fq với mọi tập U cân mở trong E và mọi không gian lồi địa phương hạch đầy đủ F.

Chứng minh. Chứng minh được thực hiện như trong chứng minh của Định lý 3.2.1. Ở đây, để nhận được τ0 τω trên HpKq ta sử dụng Mệnh đề 5.9 trong [8].