W 1,1= ψ (x/2-k ) k ϵ Z Tất cả các node đều tuân theo quy luật:
Như vậy là các cơ sở gói Wavelet bao hàm các hàm cơ sở Wavelet
1.5.4 Lựa chọn phân giải tối ưu
Số lượng các phân giải rất lớn, một trong các số đó chính là phân giải Wavelet thường. Vấn đề chọn phân giải tối ưu gắn liền với một tiêu chuẩn nào đó ví dụ như tính tốn algorithm nhanh, hiệu quả...Ở đây ta xét một tiêu chuẩn dựa trên khái niệm Entropy và quá trình tối thiểu Entropy.
Xét tín hiệu s và si là các hệ số s của một cơ sở trực giao. Entropy E là một hàm chi phí cộng thỏa mãn: E(0)= 0, E(s) = (si).
Có 4 chuẩn entropy khác nhau:
- Entropy Shannon: E(si) = - log( )
- Entropy tập trung với modul , l (si) = p - Entropy log năng lượng: E3 ( ) = log ( )
41 - Entropy ngưỡng: E4 ( )=
Đối với mỗi node chưa kết thúc, thực hiện thủ tục sau để tìm ra cây con tối ưu với một chuẩn Entropy đã chọn. (ký hiêu Eopt là giá trị Entropy tối ưu) (Bảng 1.1)
Bảng 1.1 Thủ tục tìm cây con tối ưu cho node chưa kết thúc
Điều kiện của Entropy Thao tác trên cây và nhãn của Entropy
E(node) (node , trộn và lập Eopt(node) = E(node)
E(node) Chia và lập Eopt (node)=
1.6 Các họ Wavelet
Có nhiều họ Wavelet và khả năng ứng dụng của chúng cũng được thay đổi tùy theo các họ Wavelet đó. Chuẩn để đánh giá một Wavelet là tốt hay xấu cũng thay đổi. ví dụ như:
1. Miền xác định của t , w , φ(t), φ(w): tốc độ hội tụ về 0 của các hàm
t
, w khi thời gian hoặc tần số w lớn vơ hạn, nó đánh giá khả năng định vị trong cả miền thời gian và tần số của hệ thống Wavelet.
2. Tính đối xứng, nó rất có ích để tránh việc phải giải pha trong xử lý ảnh. 3. Số các moment bằng 0 của φ, nếu tồn tại, sử dụng khi nén, giải nhiễu tín hiệu.
4. Tính đều, nó có ích để nhận được các đặc trưng tốt như là tính trơn của tín hiệu và ảnh khơi phục, hàm ước lượng trong phân tích hồi quy khơng tuyến tính.
1.6.1 Wavelet Haar
Cơ sở Haar được xây dựng bởi hàm tỉ lệ φ=1[0,1]. Các hệ số lọc h(0) = h(1) = 1/
42
=
Wavelet Haar có miền xác định bé nhưng chỉ có một moment bằng 0 nên nó thích hợp với việc định vị nhưng xấp xỉ lại kém.
1.6.2 Wavelet Shannon
Wavelet Shannon được xây dựng từ các hàm sinc trong định lý lấy mẫu Shannon (Tham khảo trong [4, 6]). Các hàm dịch bởi sinc hình thành từ một tập hàm cơ sở trực giao (trong trường hợp tần số lấy mẫu lớn hơn tần số Nyquist thì hình thành một khung chặt). Hệ thống Wavelet sinc thỏa mãn điều kiện đa phân giải.
Để là hàm tỉ lệ thì hàm sinc phải thỏa mãn:
Sinc(Kt)= với các hệ số h(n) và K thích hợp. Nếu xây dựng sinc(Kt) theo định lý lấy mẫu thì:
Sinc(Kt)= t - n)
Để hai đẳng thức này đúng, chu kỳ lấy mẫu phải là T=1/2 và tham số K=Π/R nó dẫn tới hệ số tỉ lệ là:
h(n) = sinc( n)
hàm φ(t)= sinc(Kt) là một hàm tỉ lệ với miền xác định hữu hạn và các hệ số tỉ lệ tương ứng của nó là các mẫu hàm sinc. Nếu R=1, thì K= Π và các hàm tỉ lệ sinh ra
43
một hệ thống Wavelet trực giao. Với R>1, hệ thống Wavelet là một khung chặt, R là hệ số dư thừa trong hệ thống.
Đối với trường hợp hàm tỉ lệ sin trực giao, các Wavelet có biểu thức: t = 2φ(2t) - φ(t)
Φ = và H = . với
=0 trong lân cận của =0 nên có vơ hạn các moment bằng 0. suy giảm chậm cùng bậc với
1.6.3 Wavelet Meyer
Wavelet Meyer là một hàm có băng tần giới hạn, chuyển đổi Fourier là trơn không như chuyển đổi Fourier của Wavelet Shannon. Tính trơn này làm cho nó suy giảm tiệm cận theo thời gian nhanh hơn. Wavelet Meyer được xây dựng với bộ lọc gương cầu phương H có biểu thức:
Như vậy bậc tự do của dịch trong băng đồng
thời phải thỏa mãn điều kiện:
+ =2 vì nên n đạo hàm đầu tiên phải bằng 0 tại các điểm . Người ta có thể xây dựng các hàm như thế thuộc . Ví dụ:
44
= cos
Trong đó + 70 -20 )
Kết quả là H có n=3 đạo hàm bằng 0 tại .
Hàm tỉ lệ Φ có miền xác định liên tục và hữu hạn, xác
định qua biểu thức: =
Wavelet thu được:
=
Các hàm Φ và thuộc vì biến đổi Fourier của chúng có miền xác định liên tục và hữu hạn. Vì = 0 trong lân cận giá trị =0 nên tất cả các đạo hàm
của nó bằng 0 tại =0, điều đó có ý nghĩa là có vơ số các moment bằng 0
Nếu H , thì Φ và cũng thuộc . Sự không liên tục của đạo hàm bậc (n+1) của H tại các điểm dẫn đến sao cho:
và
Mặc dầu sự suy giảm của là nhanh khi n lớn nhưng thực tế khơng như vậy vì A là q lớn.
45
Meyer Wavelet có miền xác định khơng liên tục hữu hạn, có một xấp xỉ dẫn đến bộ lọc FIR, cho phép tính tốn DWT. Họ Wavelet này là “dmey”.
1.6.4 Wavelet Battle- Lemaries
Xuất phát từ khái niệm “box splines”. Một “box splines” bậc m được tính bằng tích chập của cửa sổ 1[0,1] với bản thân nó m+1 lần, chuyển đổi Fourier của nó là:
=
Nếu m chẳn thì =1, có miền xác định đối xứng quanh t=1/2, m lẻ thì =0, có miền xác định đối xứng quanh t=0. Xấp xỉ đa phân spline cho phép tính được: Φ
Với () =
Suy ra H =
Đối với spline bậc m, H và m đạo hàm đầu tiên của nó bằng 0 tại = . Như vậy có (m+1) moment bằng 0. Biểu thức của nó:
Wavelet này có tính chất là suy giảm theo thời gian rất nhanh. Với m lẻ đối xứng quanh 1/2. Với m chẳn thì tính chất này khơng cịn đúng nữa.
1.6.5 Wavelet Daubechies
46
có điểm 0 bậc p tại = : H R(
Vấn đề là thiết kế đa thức R( bậc tối thiểu sao cho H thỏa mãn:
+ =2 (2.72)
R( = = )
Vì h(n) là thực nên là một hàm chẳn vì vậy nó được biểu diễn bằng một đa thức của cos do đó cũng là một đa thức của cos
Ta có: = 2 P( ( )))
Điều kiện (2.72) trở thành:
P(y) + P(1-y) =1 ( ) [0,1] (2.73)
Lý thuyết Bezout đã chứng minh rằng:
P(y) = là đa thức nghiệm của (2.73) có bậc nhỏ nhất. Vì R( có hệ số thực nên:
= ( ) R( = R( R( = P( ) = Q(
Đặt z= ta có:
R(z)R( ) = z)( ) = P( ) = Q(z)
Vì Q(z) có các hệ số thực và cũng là hàm của z+ nên nếu là nghiệm thì , cũng là nghiệm.Vậy để thiết kế R(z), chúng ta chọn các cặp nghiệm và của R(z) sao cho ( , ) và 1. Bộ lọc h(n) thu được là nhân quả có năng
47
lượng tập trung ở nhưng giá trị n 0 nhỏ. Đây là trường hợp bộ lọc Daubechies Wavelet bậc p
Daubechies Wavelet
Trường hợp bộ lọc h(n) Daubechies bậc p ở trên cho phép xây dựng họ Wavelet tương ứng. Kết quả Wavelet có p moment bằng 0. Miền xác định tương ứng của và là [-p+1,p] và [0,2p-1]. Khi p=0 ta nhận được hệ thống Wavelet Haar. Bảng 1.2 chỉ ra các liên tục, rời rạc của các hàm Wavelet và tỉ lệ với chiều dài N=6
Bảng 1.2 Các moment liên tục, rời rạc của các hàm Wavelet và tỉ lệ với chiều dài N=6 Daubechies N=6 n 0 0.33267055295008 -0.03522629188571 1.414213 0 0 1 0.806891150931109 -0.08544127388203 1.155979 0 1 2 0.45987750211849 -0.13501102001025 0.944899 0 2 3 -0.13501102001025 0.45987750211849 -0.224341 3.354101 3 4 -0.08544127388203 -0.80689150931109 -2.627495 40.679682 4 5 0.03522629188571 0.33267055295008 5.305591 329.32371 5 Daubechies N=6 n 0 1.414213 0 1.000000 0 1 1.155979 0 0.8174012 0 2 0.944899 0 0.6681447 0 3 -0.224341 3.354101 0.4454669 0.2964653 4 -2.627495 40.679682 0.1172263 2.2824642 5 5.305591 329.323717 -0.0466511 11.4461157
48
Từ các kết quả xấp xỉ ta thấy việc kết hợp moment hàm tỉ lệ và Wavelet bằng 0 sử dụng với các mẫu tín hiệu cho ta nhận xét việc có các moment các hàm tỉ lệ bằng 0 không chỉ đưa ra một xấp xỉ tốt mà còn làm cho các hàm tỉ lệ đối xứng hơn. Đặc trưng này có thể là quan trọng hơn xấp xỉ trong một vài ứng dụng.
Symmlets – SymN
Daubecchies Wavelets là khơng đối xứng vì chúng được xây dựng bằng cách chọn nghiệm bình phương pha tối thiểu của ). Với một số ứng dụng nó khơng thuận lợi. Người ta chứng minh được rằng các bộ lọc ứng với cách chọn này có năng lượng tập trung gần điểm bắt đầu của miền xác định. rất khơng đối xứng vì vậy các Wavelet cũng không đối xứng.
Để các Wavelet tiến tới đối xứng, các bộ lọc phải tiến tới đối xứng qua điểm giữa miền xác định, điều đó có nghĩa là có pha phức tuyến tính. Daubechies đã chứng minh rằng bộ lọc Harr là bộ lọc gương cầu phương, thực, có miền xác định liên tục hữu hạn duy nhất có pha tuyến tính.
Các bộ lọc Symmlet của Daubechies được xây dựng bằng cách tối ưu hóa việc lựa chọn nghiệm bậc hai ) của ) để đạt được pha gần tối thiểu. Các Wavelet kết quả có miền xác định tối thiểu [-p+1,p] với p moment bằng 0 nhưng đối xứng hơn so với Daubecchies Wavelet.
Wavelet Coiflets – CoifN
Coifman đã yêu cầu Daubechies xây dựng một họ Wavelet có p moment bằng 0, miền xác định tối thiểu nhưng đồng thời các hàm tỉ lệ cũng thỏa mãn:
, ,
Các hàm tỉ lệ như vậy rất có ích khi đánh giá xấp xỉ. Nếu trơn và đủ lớn, ta có xấp xỉ:
49
Tại những tỉ lệ tinh, các hệ số tỉ lệ có thể được xấp xỉ bởi các mẫu tín hiệu. Bậc của xấp xỉ tăng theo p. Các Wavelet và hàm tỉ lệ coifN đối xứng hơn so với dbN. Nếu xét về chiều dài coifN so với db3N hoặc sym3N, nếu xét về hệ số moment bằng 0 của , coifN so với bd2N hay sym3N
1.6.6 Lựa chọn biến đổi
Có nhiều dạng wavelet khác nhau, mỗi dạng Wavelet này đều có những ưu điểm cũng như hạn chế riêng. Do vậy vấn đề chọn sử dụng Wavelet nào trong biến đổi là phụ thuộc vào ứng dụng. Lựa chọn sử dụng Wavelet nào dựa trên hình dạng của chúng và khả năng phân tích tính hiệu trong từng ứng dụng cụ thể. Hình vẽ sau là hình dạng một số họ Wavelet.
Hình 1.25 Các họ Wavelet (a) Haar (b) Daubechies4 (c) Coiflet1 (d) Symlet2 (e) Meyer (f) Morlet (g) Mexican Hat
Việc lựa chọn phép phân tích rời rạc hoặc liên tục cũng tùy thuộc vào ứng dụng cũng như các ưu điểm riêng của mỗi phép phân tích: Phân tích liên tục dễ thể hiện hơn, sự dư thừa của phân tích dẫn tới sự tăng cường các đặc điểm tiêu biểu và làm toàn bộ thơng tin rõ ràng hơn. Phân tích liên tục đặc biệt phù hợp với trường hợp
50
thông tin không rõ ràng (subtle information). Phân tích rời rạc bảo đảm tiết kiệm không gian mã và đủ để cho tổng hợp. Bảng 1.3 là tổng kết một số các tính chất của một số Wavelet.
Bảng 1.3 Tổng kết tính chất của một số Wavelet
Property Haar dbN symN coifN
Compactly supported orthgonal
Symmetry Asymmetry Near symmetry Orthogonal analysis Biorthogonal analysis Exact reconstruction FIR filter Continous transform Discrete transform Fast algorithm
1.7 Ứng dụng của phép biển đổi Wavelet:
Ngày nay biến đổi Wavelet có phạm vi ứng dụng rộng rãi. Biến đổi Wavelet được áp dụng trong những lĩnh vực khác nhau từ xử lý tín hiệu tới sinh trắc học, và phạm vi ứng dụng của biến đổi Wavelet ngày càng được mở rộng. Một trong các ứng dụng nổi bật của Wavelet là trong chuẩn nén dấu vân tay của FBI. Biến đổi Wavelet được sử dụng để nén ảnh dấu vân tay để lưu giữ trong ngân hàng dữ liệu của FBI. Ban đầu FBI chọn biến đổi Cosine rời rạc (DCT) nhưng biến đổi này không được thực hiện tốt ở tỷ số nén cao. Biến đổi này đưa ra một vài hiệu ứng
51
chặn làm cho không thể theo các đường vân tay sau khơi phục. Điều này hồn tồn không xảy ra với biến đổi Wavelet vì các tính chất của nó cho phép lưu giữ lại chi tiết có trong dữ liệu.
Với biến đổi Wavelet rời rạc, hầu hết thông tin quan trọng xuất hiện trong các biên độ lớn và các thông tin kém quan trọng hơn xuất hiện ở những biên độ rất nhỏ. Việc nén dữ liệu có thể thu được nhờ loại bỏ các biên độ thấp. Biến đổi Wavelet cho phép tỷ số nén cao với chất lượng khôi phục tốt. Hiện nay, ứng dụng Wavelet cho nén ảnh là một trong những lĩnh vực nghiên cứu được quan tâm nhất. Gần đây, biến đổi Wavelet đã được chọn cho chuẩn nén JPEG 2000.