Khử nhiễu Wavelet cố gắng loại bỏ nhiễu xuất hiện trong tín hiệu trong khi vẫn giữ lại các đặc điểm của tín hiệu. Thủ tục khử nhiễu bao gồm ba bước: biến đổi Wavelet tuyến tính, khử nhiễu shrinkage phi tuyến và biến đổi Wavelet ngược
tuyến tính. Wavelet Shirnkage là phương pháp khử nhiễu phi tuyến, phụ thuộc vào
việc chọn tham số ngưỡng và chọn nguyên tắc xác định ngưỡng, tới phạm vi khử nhiễu hiệu quả.
2.2 Nhiễu và khử nhiễu
Trong nhiều hệ thống, sử dụng khái niệm về nhiễu trắng Gaussian cộng- AWGN (Additive White Gaussian Noise), với hàm mật độ xác suất Gaussian và hàm mật độ phổ cơng suất (nhiễu được phân bố trên tồn phổ tần số) và được cộng tuyến tính vào tín hiệu được phân tích.
57
Đối với mơ hình một chiều tín hiệu nhiễu có dạng cơ bản sau:
s (n) = f (n) + σ e (n) (2.1) với khoảng thời gian n là cách đều nhau.
Trong mơ hình hai chiều, tín hiệu nhiễu có dạng như sau:
σ
Trong mơ hình một chiều giả thiết rằng e (n) là nhiễu trắng Gaussian (0,1) và mức nhiễu σ được giả thiết bằng 1 và ) là nhiễu trắng Gaussian trong mơ hình 2 chiều. Mục tiêu khử nhiễu là triệt nhiễu của phần tín hiệu s và để khôi phục f. Phương pháp hiệu quả cho họ các hàm f có duy nhất một số ít hệ số wavelet khác khơng. Các hàm này có biểu diễn Wavelet rải rác (sparse wavelet). Trên quan điểm thống kê, mơ hình này là mơ hình hồi quy (regression model) theo thời gian và phương pháp này có thể được xem như sự ước lượng không tham số (nonparametric estimation) của hàm f sử dụng cơ sở trực giao.
2.3 Quy trình khử nhiễu
Quy trình khử nhiễu trung bao gồm ba bước (tham khảo trong [8]). Các thủ tục cơ bản của quy trình này được mơ tả theo các bước dưới đây:
1. Phân tích - Lựa chọn Wavelet, chọn mức N. Tính tốn phân tích Wavelet của tín hiệu s ở mức N.
2. Lấy ngưỡng các hệ số chi tiết - Với mọi mức từ 1 tới N, chọn ngưỡng và áp dụng lấy ngưỡng mềm hay cứng vào các hệ số chi tiết.
3. Khơi phục - Tính tốn khơi phục Wavelet sử dụng các hệ số xấp xỉ nguyên gốc ở mức N và các hệ số chi tiết đã được hiệu chỉnh ở các mức từ 1 tới N.
2.3.1 Lựa chọn biến đổi
Cho tín hiệu để khử nhiễu, chúng ta cần lựa chọn Wavelet phù hợp và mức phân tích. Dựa trên cơ sở các dạng khác nhau của Wavelet và sự tương quan của chúng tới các dạng tín hiệu khác nhau, đặc điểm của các họ Wavelet đã trình bày ở chương trước để chọn Wavelet cho thích hợp.
58
Khác với các kỹ thuật trước đây, phân tích Wavelet đưa ra một họ các phân tích được tổ chức phân cấp. Lựa chọn mức hệ thống phù hợp sẽ tuỳ thuộc vào tín hiệu được phân tích và kinh nghiệm của người phân tích. Thơng thường mức (level) được chọn dựa trên cơ sở tần số cắt thông thấp mong muốn.
Ở mỗi mức j, xây dựng xấp xỉ mức j: cAj và độ lệch của tín hiệu (deviation
signal) gọi là chi tiết mức j: cDj. Chúng ta có thể xem như tín hiệu ngun bản là xấp xỉ ở mức 1, được ký hiệu là cA1.
Một cách để hiểu phân tích này là sự so sánh thị giác. Các hình ảnh liên tiếp cA1, cA2, cA3 của đối tượng đã cho được xây dựng. Các hình ảnh được xấp xỉ liên tiếp, một chi tiết là khác nhau giữa hai hình ảnh liên tiếp. Hình ảnh cA2, và do vậy là tổng của hình ảnh cA4 và các chi tiết trung gian cD4, cD3:
cA 2 = cA 3 + cD 3 = cA 4 +c D 4 + cD 3 Hình 2.2 Cấu trúc phân tích
Số mức phân tích lại được lựa chọn dựa trên đặc điểm của tín hiệu và các chuẩn Entropy như trình bày ở các chương trước.
59
2.3.2 Lấy ngưỡng
2.3.2.1 Lấy ngưỡng Wavelet
Đặc trưng của tín hiệu trong phép phân tích Wavelet đo là các hệ số nhỏ bị át bởi nhiễu, trong khi các hệ số với giá trị tuyệt đối lớn chứa đựng nhiều thơng tin tín hiệu hơn nhiễu. Thay thế các hệ số nhiễu (các hệ số nhỏ dưới một giá trị ngưỡng nào đó) bởi giá trị khơng và biến đổi ngược có thể đưa đến sự khơi phục tín hiệu thu được với ít nhiễu hơn. Phát biểu một cách chính xác hơn, ý tưởng lấy ngưỡng Wavelet dựa trên cơ sở các thừa nhận sau:
+ Tính chất tương quan của biến đổi Wavelet tạo nên một tín hiệu (sparse
signal): các hệ số bị bỏ qua là các hệ số bằng không hoặc gần không.
+ Nhiễu trải ra như nhau ở mọi hệ số.
+ Mức nhiễu là không quá lớn tới mức không thể phân biệt các hệ số Wavelet so với các hệ số nhiễu.
Phương pháp này thực sự hiệu quả để giảm nhiễu và việc lấy ngưỡng đơn giản. Hơn thế nữa, việc chèn khơng làm tăng tính rải rác trong miền Wavelet và do vậy chúng ta thấy mối liên hệ giữa khử nhiễu tín hiệu bằng Wavelet và kỹ thuật nén tín hiệu. Việc loại trừ nhiễu dựa trên một số luật lấy ngưỡng như sau:
Donoho và Johnstone đưa ra các hàm lấy ngưỡng cứng và mềm được xác định như sau:
Lấy ngưỡng cứng (Hard Threshold):
x x H 0 x x (2.3)
Lấy ngưỡng mềm (Soft Threshold):
x x x S 0 x x x (2.4) với [0,1] là ngưỡng.
60
Lấy ngưỡng cứng và lấy ngưỡng mềm đều có những ưu và nhược điểm riêng. Lấy ngưỡng cứng là phương pháp đơn giản nhất. Lấy ngưỡng cứng có thể được mô tả như một thủ tục thông thường để gán giá trị 0 các thành phần có giá trị tuyệt đối thấp hơn ngưỡng. Lấy ngưỡng mềm là sự mở rộng của lấy ngưỡng cứng, đầu tiên đặt các thành phần có giá trị thấp hơn ngưỡng bằng 0, sau đó rút ngắn các hệ số khác khơng gần về 0. Hàm lấy ngưỡng cứng gián đoạn ở x, trong khi đó hàm lấy ngưỡng mềm khơng có sự gián đoạn này. Lấy ngưỡng mềm có các đặc điểm toán học tốt và thoả mãn các kết quả lý thuyết tương ứng. Lấy ngưỡng mềm có độ dốc lớn (bigger bias) vì sự co ngắn của các hệ số lớn. Trong khi đó lấy ngưỡng cứng hướng tới những dao động lớn và có thể khơng ổn định vì sự khơng liên tục của hàm lấy ngưỡng, do đó lấy ngưỡng mềm nhạy cảm với những thay đổi nhỏ trong dữ liệu.
Garrote threshold
Để khắc phục những hạn chế của phương pháp lấy ngưỡng cứng và mềm, phương pháp lấy ngưỡng Garrote được đưa ra. Hàm lấy ngưỡng Garrote không âm lần đầu tiên bởi Breiman (1995) và được xác định như sau:
x x x G / 0 2 x x (2.5)
Hàm lấy ngưỡng Garrote G
là hàm liên tục (giống lấy ngưỡng mềm) do vậy là ổn định hơn lấy ngưỡng cứng và hàm lấy ngưỡng Garrote không âm đưa ra sự dung hồ giữa những đặc tính tốt của hai phương pháp lấy ngưỡng cứng và lấy ngưỡng mềm.
Firm Threshold
Gao và Bruce (1997) đưa ra hàm lấy ngưỡng Firm x
2 1,
61 x x x x 1 2 1 2 , sgn 0 2 1 , , 2 2 1 1 x x x (2.6) với sgn là hàm signum: 1 0 1 sgn x , 0 , 0 01 x x x (2.7)
với x là số phức khác không, sgn(x)= x/abs(x)
Bằng cách chọn các ngưỡng xấp xỉ 1,2, Firm Shrinkage tập trung những ưu điểm tốt nhất của hai phương pháp lấy ngưỡng cứng và lấy ngưỡng mềm, đồng thời khắc phục những hạn chế của hai dạng lấy ngưỡng này. Một nhược điểm duy nhất của Firm Shrinkage là yêu cầu hai hai mức ngưỡng, do đó vấn đề lựa chọn
ngưỡng là khó khăn và phức tạp hơn nhiều.
Hình 2.3 Biểu diễn các hàm lấy ngưỡng (shrinkage function)
Đường nét đứt thẳng đứng chỉ ra các ngưỡng. Tất cả các hàm lấy ngưỡng trừ hàm lấy ngưỡng cứng đều liên tục.
Như vậy các phương pháp lấy ngưỡng đều có những ưu và nhược điểm riêng trong từng trường hợp ứng dụng cụ thể, tuy nhiên trong đa số trường hợp lấy ngưỡng mềm cho kết quả khử nhiễu tốt hơn.
62
2.3.2.2 Xác định ngưỡng
Như chúng ta thấy, xác định ngưỡng là một vấn đề quan trọng khi khử nhiễu. Một ngưỡng nhỏ có thể đưa đến kết quả là gần giống đầu vào, nhưng tín hiệu vẫn bị nhiễu. Ngược lại, một ngưỡng lớn hơn sẽ cho tín hiệu với một số lượng lớn hệ số bằng khơng, làm trơn tín hiệu, tuy nhiên lại loại bỏ các chi tiết và trong xử lý ảnh có thể gây ra những vết mờ và artifact.
Nguyên tắc lựa chọn ngưỡng
Có 4 ngun tắc chọn ngưỡng chính:
Rigrsure - ngưỡng được chọn sử dụng nguyên tắc Stein’s Unbiased Risk
Estimate (SURE): hàm tổn hao bình phương (quadrature loss function). Chúng ta có một xấp xỉ risk cho một ngưỡng riêng giá trị t. Tối thiểu hoá risk trong t
đưa đến một giá trị ngưỡng lựa chọn.
Sqtwolog - ngưỡng dạng cố định làm mềm hoá minimax (Fixed form
threshold yielding minimax) thực hiện bởi nhân một hệ số nhỏ tỷ lệ với
log(length(s)), ngưỡng Sqtwolog thường bằng (2* log (length (s))).
Heursure - ngưỡng được chọn sử dụng kết hợp hai phưong pháp. Vì khi tỷ
số tín hiệu trên tạp âm rất nhỏ, kết quả ước lượng SURE chịu ảnh hưởng lớn bởi nhiễu. Do vậy với những trường hợp này, ngưỡng dạng cố định được sử dụng.
Minimaxi - ngưỡng được lựa chọn sử dụng nguyên tắc minimax. Lợi dụng
ngưỡng cố định được chọn để làm mềm hoá minimax thực hiện cho sai số bình phương trung bình. Nguyên tắc minimax được sử dụng trong thống kê
để định ra các ước lượng. Vì tín hiệu được khử nhiễu có thể được so sánh với sự ước lượng của hàm hồi quy chưa biết, ước lượng minimax là sự lựa chọn thu được mức tối thiếu, trên toàn bộ tập hợp hàm đã cho, của sai số bình phương trung bình tối đa.
Với ngưỡng SURE và ngưỡng Minimax, khoảng 3% các hệ số được giữ lại. Chúng ta biết rằng vectơ các hệ số chi tiết là sự chồng của các hệ số của f và các hệ số của e, và sự phân tích của e dẫn đến các hệ số chi tiết, đó là các nhiễu trắng
63
Gaussian tiêu chuẩn. Do vậy các luật quy tắc lựa chọn ngưỡng Minimax và SURE là thận trọng hơn và thích hợp hơn khi các chi tiết nhỏ của hàm f nằm gần phạm vi nhiễu.
Các ngưỡng mức độc lập T (j), có thể được xác định bằng cách a * max (|d (j)|), với a là tham số rời rạc (sparsity parameter) 0,2a1, thường mặc định a = 0,6 và d(j) là các hệ số chi tiết mức thứ j của phân tích.
2.3.2 Khôi phục
Cuối cùng, chúng ta phải thực hiện khôi phục Wavelet một chiều đa mức sử dụng một Wavelet riêng hay các bộ lọc khôi phục riêng Lo_R và Hi_R. Khơi phục là hàm ngược của phân tích.
Hình 2.4 Phân tích và khơi phục
Vì các chi tiết và xấp xỉ được lấy ngưỡng được đưa tới tầng khôi phục như là các đầu vào, chúng ta thu được tín hiệu với nhiễu được khử.
Như vậy, việc khử nhiễu tín hiệu được thực hiện sử dụng các hệ số Wavelet.
Kết luận: chương hai đã trình bày về khái niệm khử nhiễu tín hiệu, đi sâu
vào phân tích khử nhiễu tín hiệu bằng Wavelet trên cơ sở lấy ngưỡng. Các phương pháp lấy ngưỡng cứng và lấy ngưỡng mềm, những ưu và nhược điểm riêng trong từng trường hợp ứng dụng cụ thể. Các luật lựa chọn ngưỡng phổ biến cũng được đề cập đến tương ứng với từng ứng dụng cụ thể.
64
Chương 3 MÔ PHỎNG VÀ KẾT LUẬN
Chương trình mơ phỏng khử nhiễu tín hiệu được viết bằng ngôn ngữ Matlab.Trên cơ sở lý thuyết đã được trình bày ở các chương trước
3.1 Mục đích, bài tốn và lưu đồ thuật tốn đặt ra trong thực hiện mơ phỏng.
3.1.1 Mục đích mơ phỏng
Việc mơ phỏng được thực hiện nhằm mục đích tìm ra các kết quả thực nghiệm trong việc loại trừ nhiễu đối với một số loại tín hiệu của việc sử dụng biến đổi Wavelet. Từ đó có những cơ sở thực tiễn để khẳng định ưu điểm của phương pháp loại trừ nhiễu ứng dụng biến đổi Wavelet.
3.1.2 Bài toán đặt ra.
Các dạng tín hiệu được đưa vào sau đó được cơng thêm nhiễm tạp âm. Tiếp đó, sử dụng biến đổi Wavelet nhằm khử nhiễu vào đưa ra kết quả so sánh. Kết quả đưa ra sẽ bao gồm tín hiệu ban đầu, tín hiệu sau khi được cộng thêm nhiễu và tín hiệu sau khi được khử nhiễu.
Các trường hợp của bài toán được thiết lập như sau:
Tín hiệu: tín hiệu ban đầu sẽ thuộc hai loại là tín hiệu một chiều ( 1D ) và tín hiệu hai chiều cụ thể là ảnh ( 2D ).
Nhiễu được sử dụng là nhiễu Gauss.
Số mức sẽ được thay đổi theo từng trường hợp cụ thể ( ví dụ: số mức N = 3, 5, 7, 8)
Tỉ số SNR đưa vào phân tích cũng có thể được thay đổi.
Họ Wavelet, loại ngưỡng, luật chọn ngưỡng sẽ được tùy chọn theo từng trường
65
3.1.3 Lưu đồ thuật tốn
Hình 3.1 Lưu đồ thuật tốn của chương trình
66
3.2 Chương trình mơ phỏng
3.2.1 Giao diện chính của chương trình
Hình 3.2 Form giao diện chính
67
3.2.1 Một số kết qủa khử nhiễu
3.2.1.1 Khử nhiễu tín hiệu 1 chiều (tín hiệu 1D).
Dạng tín hiệu: bumps Wavelet: haar
Số mức: N=7 Lấy ngưỡng cứng
Luật chọn ngưỡng: sqtwolog
Tỉ số S/N của tín hiệu đưa vào phân tích: 8
Hình 3.4 Loại trừ nhiễu tín hiệu bumps
Tín hiệu: bumps Wavelet: sym4 Số mức: N=3
68 Lấy ngưỡng mềm
Luật chọn ngưỡng: rigsure
Tỉ số S/N của tín hiệu đưa vào phân tích: 4
Hình 3.5 Loại trừ nhiễu tín hiệu bumps
Tín hiệu: heavy sin Wavelet: coif 2 Số mức: N=5 Lấy ngưỡng cứng
Luật chọn ngưỡng: sqtwolog
69
Hình 3.6 Loại trừ nhiễu tín hiệu heavy sin
Tín hiệu: doppler Wavelet: sym8 Số mức: N=8 Lấy ngưỡng mềm
Luật chọn ngưỡng: sqtwolog
70
Hình 3.7 Loại trừ nhiễu tín hiệu Doppler
3.2.1.1 Khử nhiễu tín hiệu hai chiều, cụ thể là hình ảnh (2D)
Tín hiệu: noiswom Wavelet: db4 Số mức: N=4 Lấy ngưỡng mềm Giá trị ngưỡng: 10; 35
71
72 Tín hiệu: nbarb1 Wavelet: sym4 Số mức: N=5 Lấy ngưỡng cứng Giá trị ngưỡng: 10;40
Hình 3.9 Loại trừ nhiễu tín hiệu nbarb với mức ngưỡng = 10; 40 Tín hiệu: noissi2d Tín hiệu: noissi2d
73 Số mức: N=3
Lấy ngưỡng mềm Giá trị ngưỡng: 4;30
74
3.3 Đánh giá kết quả
Quy trình khử nhiễu được thực hiện đối với tín hiệu bất kì trong đó nguồn nhiễu có phân bố chuẩn Gaussian. Thuật tốn khử nhiễu bằng biến đổi Wavelet có hiệu quả cao khi mà tín hiệu gốc có một vài các hệ số khác khơng. Với tín hiệu có chiều dài ngắn, khả năng khử nhiễu là tương đối tốt.
Thông qua kết quả mô phỏng của phép khử nhiễu áp dụng lý thuyết Wavelet. Lấy ngưỡng mềm và luật khử nhiễu Heuristic Sure sử dụng họ Wavelet Symlet cho thấy sai số của tín hiệu sau khi khử nhiễu so với tín hiệu gốc là thấp nhất.
Khi so sánh ngưỡng cứng và ngưỡng mềm, kết quả khử nhiễu phụ thuộc vào luật chọn ngưỡng, dạng nhiễu thêm vào. Sai số lớn nhất cho mọi dạng nhiễu với lấy ngưỡng mềm được đưa ra bởi các phương pháp Sqtwolog và Minimax còn với lấy ngưỡng cứng là Rigsure và Heuristic Sure. Nói chung phương pháp lấy ngưỡng mềm cho hiệu quả tốt hơn.
Kết luận: chương 3 đã thực hiện việc mơ phỏng khử nhiễu tín hiệu sử dụng
phân tích Wavelet và kỹ thuật lấy ngưỡng. Kết quả và hiệu quả khử nhiễu được thể