b. Phương trình tham số của đường thẳng
2.2.1.Biện pháp 1: Tạo ñiều kiện ñể học sinh thực hiện và tập luyện hoạt ñộng
ạCho học sinh tập luyện những hoạt động tương thích với nội dung và mục
tiêu dạy học
Một HĐ của người học ñược gọi là tương thích với một nội dung DH nếu nó có tác dụng góp phần kiến tạo hoặc cũng cố, ứng dụng những tri thức ñược bao hàm trong nội dung đó hoặc rèn luyện những kĩ năng, hình thành những thái độ có liên quan.
Với mỗi nội dung DH, GV cần phát hiện ñể cho HS thực hiện và tập những HĐ tương thích với nội dung nàỵ
Chẳng hạn, các bài tốn về các đường trong tam giác (ñường cao, trung tuyến,
phân giác,…) là một nội dung rất quan trọng trong chương “Phương pháp tọa ñộ trong mặt phẳng”. GV nên tăng cường HĐ cho HS bằng cách đưa ra nhiều tình huống để HS tham gia giải quyết. HS có điều kiện tập luyện và thực hiện các HĐ nhằm rèn luyện và cũng cố tri thức.
Với dạng tốn này, GV nên u cầu HS vẽ hình minh họa và phân tích các yếu tố đã biết để lần lượt tìm ra các yếu tố chưa biết.
Ví dụ 1.1 (Hai đường cao): Trong mp(Oxy), viết phương trình các cạnh của ∆ABC biết Ă1; −2) và hai đường cao lần lượt có phương trình x + 3y – 4 = 0 ; 2x − y + 1= 0 •Bước 1: Tìm hiểu bài tốn
+ GV: Bài tốn cho điểm A và hai đường caọ Cho đường cao ta sử dụng được yếu tố gì? − HS: Yếu tố vng góc.
+ GV: Hãy vẽ hình thể hiện các yếu tố đã biết, yếu tố chưa biết và nêu cách tìm yếu tố chưa biết ?
•Bước 2: Tìm cách giải
+ GV: Việc thứ nhất ta phải làm gì?
− HS: Kiểm tra điểm A có thuộc vào các đường cao nói trên hay khơng ?
+ GV: Dựa vào hình đã vẽ, kí hiệu rõ các yếu tố đã biết và hãy nêu cách tìm các yếu tố chưa biết ?
− HS: Vì A khơng thuộc hai đường cao nói trên nên giả sử hai đường cao trên là BH: x+3y–4= 0 ;
CK: 2x–y+1= 0
AC đi qua A và vng góc với BH→ AC; AB đi qua
A và vng góc với CK→AB; từ đó tìm được hai điểm B, C và viết được phương trình BC.
•Bước 3: Trình bày lời giải
Ta thấy hai đường cao nói trên khơng đi qua điểm A nên ta giả sử BH: x+3y– 4= 0 ; CK: 2x–y+1= 0
Ta có AC⊥BH → AC: 3x− +y m=0. Điểm A∈AC⇔3.1 2+ + = ⇔ = −m 0 m 5. Vậy AC: 3x–y–5= 0
Ta có AB⊥CK → AB x: +2y+ =n 0. Điểm A∈AB⇔ − + = ⇔ =1 4 n 0 n 3. Vậy AB: x+2y+3= 0
Tọa ñộ ñiểm B là nghiệm của hệ 2 3 0 17 ( 17;7)
3 4 0 7 x y x B x y y + + = = − ⇔ → − + − = =
Tọa ñộ ñiểm C là nghiệm của hệ 3 5 0 6 (6;13)
2 1 0 13 x y x C x y y − − = = ⇔ → − + = =
Suy ra ñường thẳng BC: 6x–23y+263= 0 •Bước 4 : Tìm hiểu lời giải
− Bài toán giúp HS vận dụng thành thạo các yếu tố vng góc.
− Với các bài tốn dạng trên GV nên u cầu HS vẽ hình và phân tích các yếu tố đã biết để từng bước tìm ra các yếu tố chưa biết. Quá trình cứ lặp lại nhiều lần như thế HS sẽ ñúc kết ñươc cách phân tích và giải được lớp các bài tốn dạng trên.
Nếu GV chỉ dừng lại ở một số ít bài tập thì HS sẽ gặp khó khăn khi gặp các bài toán phức tạp hơn, GV nên tạo ñiều kiện cho HS ñược tập luyện và thực hiện các HĐ phân tích để có kĩ năng tốt khi giải các bài tốn về các đường trong tam giác. GV tiếp tục cho HS phân tích tìm lời giải các bài tốn sau:
Ví dụ 1.2 (Hai trung tuyến): Cho ∆ABC có Ă–1; 0), hai trung tuyến BM: 5x+y–9= (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
B C
A
HK K
+ GV: Hãy phân tích bài tốn ? cái gì đã cho ? cái gì phải tìm ? từ cái đã cho ta tìm được thêm yếu tố nào ?
− HS : Ta sẽ tìm được trọng tâm G của ∆ABC, từ đó tìm được trung điểm I của BC. + GV: Bài toán này khơng có yếu tố vng góc, ta phải dùng tính chất nào ?
− HS: Tính chất trung điểm của ñoạn thẳng, tính chất trọng tâm của tam giác.
+ GV: Nêu cách tìm mối liên hệ giữa tọa ñộ các ñiểm ñã biết và các ñiểm chưa biết ?
− HS:…
+ GV: Gọi tọa ñộ của B, C và hãy lập hệ phương trình liên quan đến các tọa độ đó ? − HS : Gọi B x( B;yB) (,C xC;yC).Ta có B∈BM C, ∈CN và sử dụng tính chất trọng tâm, ta có hệ phương trình 5 9 0 4 5 10 0 , 3 3 B B C C A B C G A B C G x y x y B C x x x x y y y y + − = + − = → + + = + + = HS cũng có thể tìm ra điểm I nhờ đẳng thức 3 2 AI = AG uur uuur , sau đó sử dụng I là trung điểm của BC để tìm ra tọa độ các điểm B, C.
Ví dụ 1.3 (Hai đường phân giác): Cho ∆ABC có Ă2 ; –1), hai ñường phân giác trong BM: x–2y+1= 0 và CN: x+y+3= 0. Viết phương trình các cạnh của ∆ABC. + GV: Nhắc lại các tính chất của đường phân giác ?
− HS: Đường phân giác chia đơi góc, các điểm nằm trên ñường phân giác cách ñều 2 ñường thẳng, các ñường thẳng ñối xứng nhau qua ñường phân giác.
+ GV lưu ý cho HS tính chất của đường phân giác:
Cho đường thẳng d là phân giác của góc tạo bởi hai ñường thẳng d d1, 2. Lấy ñiểm tùy ý M∈d1, gọi M’ là ñiểm ñối xứng của M qua d. Khi đó M’∈d2.
d1 d2 d M M' G B C A I M N
Tính chất này giúp HS giải được nhiều bài toán liên quan ñến ñường phân giác.
+ GV: Có điểm A và hai ñường phân giác BM và CN. Làm thế nào để viết phương trình các cạnh của
?
ABC
∆
− HS: Tìm được các điểm A’ và A’’ lần lượt là ñiểm ñối xứng của A qua hai ñường phân giác BM và CN. Đường thẳng BC ñi qua hai điểm A’ và A’’. Từ đó viết được phương trình các cạnh của ∆ABC.
Ví dụ 1.4 (1 ñường cao, 1 phân giác xuất phát từ 2 đỉnh): Viết phương trình các cạnh của∆ABC biết B(2 ; –1), ñường cao AH: 3x– 4y+27= 0 và phân giác CK: x+2y–5= 0.
+ GV: Hãy phân tích và nêu các bước giải bài tốn trên ? − HS: Vẽ hình và phân tích để tìm cách giải : Có điểm B và ñường cao AH, ta viết ñược phương trình đường thẳng BC. Có BC và CK ta sẽ tìm được tọa độ điểm C. Tìm B’ là điểm ñối xứng với B qua phân giác CK. Đường thẳng AC đi qua B’, C.
Ví dụ 1.5 (1 ñường cao, 1 phân giác xuất phát từ 1 đỉnh): Viết phương trình các cạnh của∆ABC biết B(2 ; –1), ñường cao AH: 3x– 4y+27= 0 và phân giác AM: x+2y–5= 0.
GV u cầu HS phân tích tìm cách giải :
− Ta tìm được điểm A là giao điểm của AH và AM. − Có B và AH ta viết được phương trình của BC.
− Tìm B’ là điểm đối xứng của B qua phân giác AM. Đường thẳng AC ñi qua A, B’.
Ví dụ 1.6 (1 đường cao, 1 trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh): Viết phương trình các
cạnh của∆ABC biết B(1; 2) ñường cao và trung tuyến xuất phát từ một đỉnh lần lượt có phương trình AH: x+2y–1 = 0 và AM: 2x– 3y+5= 0.
K H B C A M N Á Á' I B C A H K B' B C A H M
− Tìm được A là giao điểm của AH và AM. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
− Có điểm B và AH ta sẽ viết được phương trình BC. − Tìm được giao điểm M của AM và BC
− Có B và M ta sẽ tìm được C.
Ví dụ 1.7 (1 đường cao, 1 trung tuyến xuất phát từ 2 ñỉnh): Viết phương trình các
cạnh của ∆ABC biết C(1; 2) ñường cao và trung tuyến xuất phát từ hai đỉnh lần lượt có phương trình AH: x + 2y –1 = 0 và BM: 2x–3y+5= 0.
GV yêu cầu HS phân tích tìm cách giải : − Có C và AH ta viết được BC.
− Tìm được tọa độ ñiểm B là giao ñiểm của BC và BM. − Gọi A x y( ;0 0)∈AH → A(1 2 ;− y y0 0)
− Có A, C ta tìm được trung ñiểm M của AC. Cho M thuộc ñường thẳng BM ta tìm được y0→A
Ví dụ 1.8 (1 trung tuyến, 1 phân giác xuất phát từ 1 ñỉnh): Cho ∆ABC có C(4; 3)
đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình lần lượt là AD: x+2y– 5= 0 và AM: 4x+13y– 10= 0.
GV u cầu HS phân tích tìm cách giải : − Tìm được A là giao điểm của AD và AM.
− Tìm được C’ là điểm đối xứng của C qua phân giác AD, ta có C’ thuộc AB. Viết được phương trình AB đi qua A và C’.
− Gọi B x y( 0; 0)∈AB chuyển về còn 1 biến x0→B x( 0;f x( )0 )
− Có B, C ta tìm được tọa độ trung điểm của M của BC. Cho M∈AM → →x0 B
Ví dụ 1.9 (1 trung tuyến, 1 phân giác xuất phát từ 2 đỉnh): Cho ∆ABC có C(4; 3) đường phân giác trong
và trung tuyến kẻ từ hai đỉnh có phương trình lần lượt là AD: x+2y–5= 0 và BM: 4x+13y–10= 0
B C A H M B C A D M B C A D M B C A H M
GV u cầu HS phân tích tìm cách giải : − Gọi A x y( 0; 0)∈AD→A(5 2 ;− y0 y0)
− Có A và C, ta tìm được trung điểm M của AC. Cho M∈BM →y0→A
− Tìm được C’ là điểm đối xứng của C qua AD →C'∈AB
− Viết ñược AB đi qua A và C’. Tìm được B là giao điểm của AB và BM.
Với việc được phân tích và tập luyện nhiều tình huống mà GV đưa ra, HS sẽ có năng lực tốt khi giải các bài tốn về các đường trong tam giác.