c. x2 +y 2− 4x +8 y− =
2.2.2. Biện pháp 2: Gợi ñộng cơ và hướng đích cho các hoạt động học tập
Việc học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo địi hỏi HS phải có ý thức về những mục tiêu ñặt ra và tạo ñược ñộng lực bên trong thúc ñẩy bản thân họ HĐ ñể ñạt ñược các mục tiêu đó. Điều này được thực hiện trong việc DH khơng chỉ đơn giản bằng cách nêu rõ mục tiêu mà quan trọng hơn là do việc gợi ñộng cơ.
Gợi động cơ là làm cho HS có ý thức về ý nghĩa của những HĐ và của ñối
tượng HĐ. Gợi ñộng cơ làm cho những mục tiêu sư phạm biến thành những mục tiêu cá nhân. Gợi động cơ khơng chỉ đơn giản là sự vào bài, đặt vấn đề một cách hình thức.
Những HS có ý thức và ham học hỏi, việc gợi động cơ của GV sẽ thơi thúc, kích thích tính tị mị, khám phá tri thức và các em sẽ tham gia nhiệt tình phát hiện và giải quyết vấn ñề.
Việc gợi ñộng cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi lúc bắt ñầu dạy một tri thức nào đó, mà phải xun suốt q trình DH. Vì vậy cần phân biệt các khâu gợi ñộng cơ mở ñầu, gợi ñộng cơ trung gian và gợi ñộng cơ kết thúc.
ạGợi động cơ và hướng đích mở đầu cho hoạt động
GV có thể gợi động cơ mở đầu xuất phát từ thực tế hay từ nội bộ Tốn học. Trong DH việc gợi động cơ mở đầu xuất phát từ u cầu thực tế ln chiếm ñược sự quan tâm của HS. Việc xuất phát từ thực tế khơng những có tác dụng gợi động cơ mà cịn góp phần hình thành thế giới quan duy vật biện chứng. Nhờ đó HS thấy được việc nhận thức và cải tạo thế giới địi hỏi phải giải quyết những vấn đề Tốn học, tức là nhận thức rõ Tốn học bắt nguồn từ đời sống thực tế.
Những GV có khả năng sư phạm tốt, biết cách gợi động cơ sẽ ln khích lệ ñược tinh thần học hỏi, khả năng khám phá của HS. Đặc biệt, GV biết liên hệ những bài toán mới với các bài tốn quen thuộc, giải quyết các vấn đề thực tế ln thu hút được sự hưởng ứng của ña số HS kể cả các HS yếụ
GV cũng phải chú ý nhấn mạnh yêu cầu của bài tốn, tức là phải hướng đích cho HS, tập trung khai thác vào trọng tâm vấn ñề ñể ñạt ñược yêu cầu ñặt rạ
Tuy nhiên, việc gợi động cơ khơng phải chỉ là cách phát biểu làm cho bài toán trở nên hấp dẫn hơn mà nhờ GV biết cách khai thác, tạo ra nhiều vấn đề mới có liên quan đến bài tốn ban đầu cũng là cách gợi động cơ tốt để kích thích HS hứng thú trong học tập.
Ví dụ 2.1: Chẳng hạn, cho bài tốn 1: “Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng
phía so với d. Tìm điểm M trên d sao cho MA+MB nhỏ nhất ”
GV có thể phát biểu bài tốn này để thu hút và làm cho HS hứng thú hơn nhờ nó mang màu sắc thực tiễn: “Xuất phát từ ñịa ñiểm A ñến B người chơi phải nhúng mình vào nước với đường thẳng d là bờ sơng. Người thơng minh nên chọn vị trí nào để đường ñi là ngắn nhất ? ”
HD: Gọi A’ là ñiểm ñối xứng với A qua d. Với mọi điểm
M thuộc d, ta có:
' '
MA MB+ =MA MB+ ≥A B→(MA MB+ )min=A B' ⇔ = ∩M d A B' .
Nếu GV chỉ dừng lại ở đây thì chưa phát huy được tính tích cực, chủ ñộng và khả năng khám phá, chưa gợi ñược nhiều ñộng cơ học tập. GV nên cho HS giải quyết thêm các bài tốn sau:
Bài 1: Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phía so với đường thẳng d.
Tìm điểm M trên d sao cho MA MB− lớn nhất.
Bài 2: Cho ∆ABC nhọn, điểm I nằm trong ∆ABC. Tìm M thuộc AB, N thuộc AC sao cho tam giác IMN có chu vi nhỏ nhất.
Bài 3: Cho Ă1; 1) và B(3; 4). Tìm điểm M trên Ox sao cho MA+MB nhỏ nhất.
d A B M d M A Á B C
Bài 4: Cho Ă1; −2) và B(0; 4) và ñường thẳng d: 2x − y + 3 = 0. Tìm điểm M trên d sao cho
MA MB− lớn nhất.
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 2
2 5 4 5
x − x+ + x − x+
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 2
2x −6x+17− 2x −10x+13
Với cách ñưa ra các tình huống như trên, sẽ có tác dụng tốt trong việc gợi động cơ, kích thích được tinh thần học tập, phát triển được tư duy của HS.
Ví dụ 2.2: Cho hai ñường thẳng d//d’ và hai ñiểm A, B. Viết ñường thẳng d’’ vng góc với d, d’ lần lượt tại M, N sao cho AM + MN + NB nhỏ nhất.
GV có thể phát biểu tạo ra bài toán mà HS quan tâm như sau: “Hai làng A và B cách
nhau bởi 1 con sơng (có hai bờ song song). Hãy bắc 1 chiếc cầu (vng góc với hai bờ sông) sao cho ñường ñi lại giữa hai làng là ngắn nhất”
HD: Lấy hai ñiểm C, D lần lượt trên d, d’ sao cho CD⊥d. Tìm điểm E sao chouuurAE=CDuuur
Ta có AM +MN+NB=EN+MN+NB =MN+EN+NB≥MN+EB ( khơng đổi)
(AM MN NB)min EB MN
→ + + = + .
Dấu “=” ñạt ñược khi N là giao ñiểm của EB và d’, dựng MN⊥ →d M
GV có thể tọa độ hóa bài tốn này cho HS luyện tập: Cho hai ñường thẳng d: x− 2y+1 = 0 và d’: 2x− 4y− 8 = 0 và hai ñiểm Ă–1; 3), B(5; 0). Tìm các điểm
, '
M∈d N∈d sao cho MN vng góc với hai đường thẳng d, d’ và AM+ MN+ NB nhỏ nhất. Ví dụ 2.3: Cho elíp(E): 1 8 18 2 2 = + y x
. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật nội tiếp trong elíp(E) có các cạnh song song với các trục tọa độ sao cho diện tích của hình chữ nhật đó lớn nhất. d d' A E B M N
− GV có thể tạo hứng thú cho HS bằng cách phát biểu bài tốn một cách rất thực tế
:“Có một cái bánh hình elíp. Hãy tìm cách cắt cái bánh thành hình chữ nhật sao cho cái bánh này có diện tích lớn nhất”. Với cách phát biểu như trên chắc chắn sẽ
kích thích được hứng thú học tập và tinh thần muốn khám phá của các em. Cách phát biểu như trên làm cho Toán học trở nên gần gủi với cuộc sống thực tế, làm cho HS thêm u thích mơn tốn .
− Hãy ñọc kĩ giả thiết bài tốn, nhận xét gì về các đỉnh của hình chữ nhật? (Các ñỉnh ñối xứng với nhau qua các trục tọa ñộ)
− Hãy gọi tọa ñộ các ñiểm? Gọi Ăm; n) với m > 0, n > 0. Tìm tọa độ các điểm B, C, D ? Khi đó B(m; –n), C(–m;–n), D(–m; n).
− Hãy tính diện tích của hình chữ nhất ABCD? (Ta có AB = 2n, CD = 2m 4
ABCD
S mn
→ = )
− Ta cần tìm giá trị lớn nhất của SABCD = 4mn. Điều kiện ràng buộc của m, n là gì ? Vì các ñiểm A, B, C, D thuộc (E) nên ta có 2 2 1
18 8
m +n =
– Ta có biểu thức liên quan đến tổng, ta cần tìm giá trị lớn nhất của tích. Vậy ta nên sử dụng bất ñẳng thức nàỏ (Bất đẳng thức Cơsi) Theo bất đẳng thức Cơsi, ta có: 2 2 2 2 1 2 . 6 4 24 18 8 18 8 6 m n m n mn mn mn = + ≥ = → ≤ → ≤ Từ đó ta cóSABCD ≤24 Vậy 2 2 2 2 max 2 2 2 2 1 1 9 3 0 18 8 18 2 24 2 0 1 4 18 8 8 2 ABCD m n m m m S n m n n n + = = = = > = ⇔ ⇔ ⇔ → = > = = = Vậy Ă3; 2), B(3; –2), C(–3; –2), D(–3; 2) Từ đây HS có thể giải quyết được bài tốn tổng quát với elíp
2 2 2 2 1 x y a +b = O D A B C
Tuy nhiên, Toán học phản ánh thực tế một cách toàn bộ và nhiều tầng, do đó khơng phải bất cứ nội dung DH nào cũng có thể gợi động cơ xuất phát từ thực tế. Vì vậy, ta cần tận dụng những khả năng gợi ñộng cơ xuất phát từ nội bộ Tốn học, mà những cách thơng thường là:
•Đáp ứng nhu cầu xóa bỏ mọi sự hạn chế
Ví dụ 2.4: Đường trịn là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng cách ñiểm cho
trước một khoảng khơng đổị Tập hợp tất cả các ñiểm cách ñều một ñiểm và một ñường thẳng cho trước?(Parabol). Tập hợp các ñiểm cách một ñiểm cho trước và một ñường thẳng cho trước theo một tỉ số khơng đổi ?
•Hướng tới sự tiện lợi, hợp lí hóa cơng việc
Ví dụ 2.5: Để thuận tiện cho việc tìm điểm M nằm trên ñường thẳng AB và
thỏa mãn một tỉ số cho trước → Ta thiết lập cơng thức: Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1 ( MA k MBuuur= .uuur)
Ta có 1 1 A B M A B M x kx x k y ky y k − = − − = −
•Hướng tới sự hồn chỉnh và hệ thống
Ví dụ 2.6: Xét khoảng cách giữa hai tâm và bán kính đi đến các trường hợp về vị trí
tương đối của hai đường trịn:
− Nếu IK = R−R' thì hai đường trịn (C) và (C’) tiếp xúc trong. − Nếu IK = R+R’ thì hai hai đường trịn (C) và (C’) tiếp xúc ngồị − Nếu IK > R+R’ thì hai hai đường trịn (C) và (C’) rời nhaụ
− Nếu R−R' <IK < +R R' thì hai hai đường trịn (C) và (C’) cắt nhau tại hai ñiểm phân biệt.
− Nếu IK < R−R' thì hai hai đường trịn (C) và (C’) lồng nhaụ • Lật ngược vấn đề:
Ví dụ 2.7: G là trọng tâm ∆ABC thì GA GB GCuuur+uuur+uuur=0r. Ngược lại cho ∆ABC có
0
GA GB GCuuur+uuur+uuur=r thì điểm G có phải là trọng tâm của ∆ABC hay khơng ? Đây là một câu hỏi “khêu gợi” được tính tị mị, muốn giải đáp của HS. •Xét tương tự
Ví dụ 2.8: Từ các hệ thức trong tam giác vuông
2 2 2 2 2
2 2 2
1 1 1
,BC AB AC,cos A sin B 1,...
h =AB +AC = + + =
Tương tự ta có các hệ thức trong tam diện vuông 2 2 2 2 1 1 1 1 OC OB OA
OH = + + ;S∆2ABC = S∆2OBC +S∆2OAC +S∆2OAB;
2 2 2
cos α+cos β+cos δ =1 (Vớiα β δ, , là các góc tạo bởi các mặt phẳng (OAB), (OAC), (OBC) với mp(ABC))
•Khái qt hóa
Ví dụ 2.9: Từ trọng tâm của tam giác khái quát hóa cho trọng tâm của hệ n ñiểm: G
là trọng tâm của hệ n ñiểm A A1, ,...,2 An ⇔GAuuur1+GAuuuur2+ +... GAuuuurn=0r
Ví dụ 2.10: Cho ur=(x x1; ;...;2 xn),rv=(y y1; ;...;2 yn). Từ tích vơ hướng u vr r. ≤ u vr.r ,
ta có 2 2 2 2 2 2