5 Sau buổi học lý thuyết số, về nhà em thường 10
2.2.3.2. Tình huống dạy học phương trình Diophante bậc nhất hai ẩn
Nhận xét:
Ở chƣơng 1: Lý thuyết chia hết trong tập hợp số nguyên cĩ bài §5: Phương trình Diophante ax + by = c gồm 4 tiết học. Trong đĩ điều kiện cĩ
nghiệm nguyên và tập hợp nghiệm nguyên đƣợc dạy ở ngay tiết đầu tiên của bài. Ở phổ thơng SV đã đƣợc làm quen với một vài phƣơng trình nghiệm nguyên nhƣng chƣa đƣợc nghiên cứu một cách đầy đủ và hệ thống. Do đĩ, ta cĩ thể gợi mở, hƣớng dẫn SV kiến tạo xây dựng nên tri thức về điều kiện cĩ nghiệm nguyên và tập hợp nghiệm nguyên của phƣơng trình từ các kiến thức đã cĩ.
Phƣơng trình Diophante: ax + by = c cĩ nghiệm nguyên khi và chỉ khi UCLN của các hệ số của ẩn là ƣớc của số hạng tự do tức d UCLN a b c , . Vấn đề tiếp theo đặt ra là phƣơng trình ax + by = c cĩ một nghiệm nguyên x y0, 0 thì hỏi cĩ cịn nghiệm nguyên nào khác nữa khơng và nếu cĩ thì các nghiệm nguyên cĩ liên hệ nhƣ thế nào với x y0, 0? Khi đĩ GV tổ chức hoạt động hƣớng dẫn SV từ kiến thức về phép chia cĩ dƣ để “tìm” ra định lý về tập hợp nghiệm nhƣ sau:
Nếu phương trình ax + by cĩ nghiệm nguyên x y0, 0thì nĩ cĩ vơ số nghiệm nguyên và tập hợp các nghiệm nguyên của nĩ gồm các cặp số nguyên (x, y) xác định bởi: 0 0 d = UCLN(a, b) và t Zà b x x t d với a y y t d
Qua phân tích trên, chúng tơi thấy cĩ thể thiết kế một tình huống dạy học bài phƣơng trình Diophante đảm bảo đƣợc các nguyên tắc thiết kế tình huống trong dạy học tốn.
Quy trình dạy học Phương trình Diophante bằng PPDH tình huống:
Giai đoạn 1: Chuẩn bị tình huống
Bước 1: Xác định mục đích, nội dung của tình huống.
- Tình huống đƣợc xây dựng nhằm bồi dƣỡng cho SV năng lực tƣ duy độc lập, sáng tạo; SV biết vận dụng tri thức mình đã cĩ vào giải quyết bài tốn thực tế, xây dựng tri thức mới; khuyến khích SV nghiên cứu khoa học, mở rộng và đi sâu tìm tịi kiến thức.
- Kiến thức nhắm đến trong tình huống là xây dựng điều kiện cần và đủ để phƣơng trình Diophante cĩ nghiệm, tìm tập hợp nghiệm của phƣơng trình khi biết một nghiệm riêng của phƣơng trình và ý nghĩa thực tiễn của việc giải phƣơng trình Diophante.
Bước 2: Xây dựng tình huống
- Chuẩn bị trƣớc ở nhà: SV chuẩn bị dụng cụ là thƣớc kẻ thẳng, GV chuẩn bị cho mỗi nhĩm một tờ giấy kẻ ơ ly cĩ vẽ sẵn 4 hệ trục tọa độ Oxy.
- Mơ tả tình huống: GV đƣa ra 4 phƣơng trình đƣờng thẳng: (d1) 2x + 2y = 3; (d2) x + y = 2; (d3) 6x + 6y = 15; (d4) 6x + 12y = 18. GV yêu cầu SV vẽ 4 đƣờng thẳng đĩ trên 4 hệ trục tọa độ và tìm các điểm nguyên mà đƣờng thẳng đi qua.
Trong tình huống này, GV cĩ thể lựa chọn giá trị của các hệ số a, b, c sao cho thỏa mãn dụng ý đƣờng thẳng khơng đi qua điểm nguyên nào tƣơng đƣơng với trƣờng hợp phƣơng trình Diophante vơ nghiệm và dụng ý đƣờng thẳng đi qua vơ số điểm nguyên tức phƣơng trình Diophante cĩ vơ số nghiệm nguyên và các nghiệm này cĩ dạng xác định. Ở đây, tác giả lựa chọn hệ số a, b, c sao cho cĩ
đƣờng (d1) và (d3) khơng đi qua điểm nguyên nào, (d2) và (d4) đi qua vơ số các điểm nguyên. Nhƣ vậy, các hệ số a, b, c là các biến dạy học.
Bước 3: Dự kiến kế hoạch diễn ra tình huống
- Dự kiến đƣa tình huống trên vào bài giảng dạy học Phƣơng trình Diophante ax + by = c với thời lƣợng 2 tiết. Tình huống này đƣợc đƣa ngay đầu tiết học và sau đĩ dẫn dắt tới bài tốn: Phƣơng trình ax + by = c cĩ nghiệm nguyên khi nào? Và khi đĩ tập hợp nghiệm biểu diễn ra sao?
- Hoạt động theo nhĩm: Mỗi nhĩm từ 3 – 5 SV, tùy theo sĩ số mỗi lớp sao cho số nhĩm khơng vƣợt quá 10 nhĩm. Trong mỗi nhĩm đều cĩ SV khá hoặc giỏi, cĩ SV trung bình hoặc dƣới trung bình.
- Phƣơng tiện dạy học: nhƣ đã nêu ở phần chuẩn bị ở nhà, các phƣơng tiện dạy học thơng thƣờng (bảng đen, phấn trắng, giáo trình…)
- Dự kiến thời gian sử dụng tình huống: 1 tiết học (45 phút) đƣợc dàn dựng dƣới dạng kịch bản gồm 7 màn (cụ thể nêu ở phần sau), trong đĩ: màn 1: 6 phút; màn 2: 10 phút; màn 3: 10 phút; màn 4: 5 phút; màn 5: 2 phút; màn 6: 10 phút; màn 7: 2 phút. Trong bài giảng này, tình huống dạy học chủ yếu đƣợc sử dụng ở màn 2, màn 3, màn 6.
- Dự kiến các hoạt động của SV:
SV vẽ 4 đƣờng thẳng trên 4 hệ trục tọa độ Oxy. Với 4 đƣờng thẳng SV cĩ thể chỉ ra một số điểm nguyên mà các đƣờng thẳng đi qua bằng một số phƣơng án giải nhƣ sau:
Phương án 1: Ban đầu cĩ thể cĩ những SV dùng thƣớc thẳng để kẻ vuơng gĩc từ
cĩ sai số do khi vẽ vuơng gĩc khơng chuẩn xác và khơng thể tìm đƣợc hết các điểm nguyên mà đƣờng thẳng đi qua.
Phương án 2: Cĩ những SV nghĩ tới việc thay trực tiếp x bởi các giá trị nguyên
vào phƣơng trình đƣờng thẳng để tìm y tƣơng ứng. Nếu y cĩ giá trị khơng nguyên thì cặp (x, y) đĩ khơng thỏa mãn, lại thực hiện thử với giá trị x nguyên khác. Nếu y nguyên thì cặp (x, y) đĩ thỏa mãn và ghi lại điểm đĩ. Với cách làm này SV sẽ vẫn nhận ra khĩ khăn trong việc tìm tồn bộ các điểm nguyên thuộc đƣờng thẳng. Đối với đƣờng thẳng (d1) và (d3), SV cũng cĩ dự đốn là khơng cĩ điểm nguyên nào thuộc 2 đƣờng này, nhƣng khi chứng minh điều đĩ thì gặp khĩ khăn.
Phương án 3: SV sử dụng lý thuyết chia hết để biến đổi và lập luận. Đối với
nhĩm các đƣờng thẳng khơng đi qua điểm nguyên nào nhƣ (d1) SV cĩ thể thấy VT = 2x + 2y = 2(x + y) chia hết cho 2 là ƣớc chung và cũng là UCLN (a, b)cịn VP = 3 khơng chia hết cho 2 nên khơng tồn tại x, y là số nguyên để VT = VP, tƣơng tự (d3) cĩ VT = 6x + 6y chia hết cho 3 là một ƣớc chung của (a,b) và VP = 15 cũng chia hết cho 3 nhƣng VT chia hết cho 6 là UCLN (a, b) cịn VP lại khơng chia hết cho 6 nên cũng khơng tồn tại x, y là số nguyên để VT = VP.
Phương án 4:
SV sử dụng phép chia cĩ dƣ để tách lấy phần nguyên, sau đĩ lập luận với phần dƣ để tìm ra nghiệm nguyên. 1 ( 1) : 2x + 2y = 3 1 2 y Z d x y x Z x = t ( 2) : x + y = 2 x = 2 - y y = 2 - t d t Z
1 ( 3) : 6x + 6y = 15 2x + 2y = 5 x = - y + 2 + 2 y Z d x Z ( 4) : 6x + 12y = 18 2 3 3 2 y t d x y t Z x t
Giai đoạn 2: Giai đoạn triển khai tình huống
Tình huống đƣợc triển khai theo kịch bản gồm
Màn 1: GV ủy thác tình huống cho SV, SV tiếp nhận tình huống.
Pha 1: GV phân nhĩm và phân phối giấy kẻ ơ ly trên đĩ vẽ 4 hệ trục tọa độ nhƣ mơ tả trong tình huống.
Pha 2: GV nêu các yêu cầu: - Yêu cầu 1: Vẽ 4 đƣờng thẳng:
(d1) 2x + 2y = 3; (d2) x + y = 2; (d3) 6x + 6y = 15; (d4) 6x + 12y = 18
trên 4 hệ trục tọa độ Oxy.
- Yêu cầu 2: Tìm điểm nguyên mà mỗi đƣờng thẳng đi qua. Ghi lại các cách làm của nhĩm. Sv phân chia các đƣờng thẳng thành 2 nhĩm: nhĩm đƣờng thẳng khơng đi qua điểm nguyên nào và nhĩm đƣờng thẳng cĩ đi qua điểm nguyên. Ghi lại nhận xét về mỗi nhĩm đƣờng thẳng ra giấy.
- Yêu cầu 3: Tìm tồn bộ các điểm nguyên thuộc vào mỗi đƣờng thẳng. SV trong nhĩm thảo luận cách làm rồi chọn ra phƣơng án tốt nhất của nhĩm mình để đại diện nhĩm mình trình bày trƣớc nhĩm khác. Nhĩm nào cĩ nhiều cách làm đúng
hoặc cĩ cách làm hay sẽ đƣợc biểu dƣơng, khen ngợi. Nhĩm SV nào đƣa ra phƣơng án 3 và phƣơng án 4 sẽ đƣợc GV sử dụng cho khâu tiếp theo của bài giảng.
Màn 2: Sv tiếp nhận tình huống và hoạt động theo nhĩm.
Pha 1: SV hoạt động nhĩm nhƣ đã yêu cầu, GV khơng can thiệp ngoại trừ việc nhắc lại yêu cầu của tình huống nếu cĩ SV cịn chƣa rõ.
Pha 2: SV ghi lại các nhận xét của nhĩm.
Pha 3: Giao lƣu trao đổi giữa các nhĩm nhằm kiểm tra một số kết quả nhƣ: hình vẽ, tọa độ điểm nguyên, biểu diễn tập hợp điểm nguyên…
Pha 4: Đại diện mỗi nhĩm trình bày các kết quả của nhĩm mình. GV đĩng vai trị thƣ ký, ghi lại tĩm tắt những cách làm của các nhĩm SV trên một gĩc bảng. Sau đĩ cùng SV bình chọn cách làm đƣợc cho là tốt nhất trong việc tìm điều kiện cĩ nghiệm của phƣơng trình và cách tốt nhất cho việc tìm nghiệm tổng quát.
Màn 3: GV dẫn dắt SV khám phá và chứng minh điều kiện cần và đủ để phƣơng
trình ax +by = c cĩ nghiệm nguyên. Ở màn này phối kết hợp PP đặt và giải quyết vấn đề và PP gợi mở vấn đáp.
Màn 4: GV dẫn dắt SV khám phá và chứng minh định lý xác định tập hợp
nghiệm nguyên của phƣơng trình ax + by = c. Ở màn này PPDH chủ yếu là PP gợi mở vấn đáp.
Màn 5: GV thể chế hĩa tri thức thu đƣợc: điều kiện cần và đủ để phƣơng trình
ax + by = c cĩ nghiệm, nội dung và phƣơng pháp chứng minh tập hợp nghiệm của phƣơng trình, PP giải phƣơng trình Diophante bậc nhất hai ẩn.
Giai đoạn 3: Luyện tập vận dụng, củng cố, khắc sâu tri thức thu đƣợc ở giai đoạn 2
Màn 6: Dạy học việc áp dụng các tri thức thu đƣợc vào các bài tốn giải phƣơng
trình nghiệm nguyên và bài tốn thực tế. Pha 1: SV giải hai ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình: 107x + 21y = 5 Ví dụ 2: “Trăm trâu, trăm cỏ
Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già, Ba con một bĩ.”
Hỏi cĩ bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm và bao nhiêu trâu già? Pha 2: GV nhấn mạnh về ý nghĩa và cách vận dụng vào thực tế.
Màn 7: GV tổng kết tri thức và giao nhiệm vụ về nhà cho SV.
- Khi tổng kết tri thức, GV một lần nữa thực hiện vai trị thể chế hĩa nhằm khắc sâu tri thức thu đƣợc trong bài giảng cho SV.
- Khuyến khích SV nghiên cứu:
Chứng minh điều kiện cần và đủ để phƣơng trình nghiệm nguyên bậc nhất 3 ẩn, 4 ẩn, …n ẩn cĩ nghiệm.
Sƣu tầm và hệ thống các bài tập trong sách giáo khoa THCS mà cĩ thể giải bằng phƣơng trình Diophante bậc nhất hai ẩn.
Sƣu tầm và giải các bài tốn dân gian về phƣơng trình Diophante.