1.1. T ng qua nv các nghiên cu ngoà in c
1.1.6. Nghiên cu ca de Borst vđ nh ngh ac hs đi md
Trong tác ph m c a mình xu t b n n m 1987 [13], de Borst đ c p đ n vi c x lý các đi m d trong m t ch y d o đang ch chú ý đ n x lý v m t s h c, b qua tính ch t v c u t o đàn d o c a v t li u. Ơng mơ t m t quy trình x lý các đi m góc trong b m t ch y d o, d a trên s khái quát hóa đnh lu t Koiter v tính
ch y d o đ i v i b m t ch y d o quanh đi m d .
De Borst cho r ng tr ng h p các đi m d x y ra khi hai ng su t chính tr nên b ng nhau và nhân lên (h s ch y d o) l n, theo đnh lu t Koiter. Tác gi
ti p t c gi đ nh r ng v i gia s vô cùng nh , đi m tính tốn ng su t v n trong góc c a m t ch y d o và sau đ́ đ xu t hi u ch nh đ c áp d ng, sao cho tr ng thái ng su t cu i cùng phù h p v i t t c các hàm ch y d o. Khái ni m trên c ng đ c m r ng cho các bi n d ng ph n t t ng t . 1 2 1 2 p g g (1.9) Trong đ́: 1 g vàg2 là hàm th n ng d o, đ c tr ng b i tiêu chu n ch y d o; 1 và2 là h s ch y d o t ng ng v i hàm ch y d o;
Hình 1.5. Vector ch y d o t i vùng quanh đi m d c a m t ch y d o
(Ngu n: [13]: pp.825)
xác đnh xem return mapping nhi u vector nh v y có đ c dùng trong thu t tốn hay khơng, tác gi đ a ra khái ni m là ch s đi m d là h1 và h2 (tham kh o công th c (52), (53) trong nghiên c u c a de Borst công b n m 1987 [13]).
Ch ng 1. T ng quan tình hình nghiên c u 15 N u các ch s đi m d theo đ xu t c a de Borst là âm, c ch return mapping đ n vector thông th ng đ c s d ng. Khi m t trong các ch s đi m d là d ng, m t c ch gi đ nh đ c xét đ n b ng cách s d ng return mapping hai vector.
Hình 1.6. C ch return mapping vector đ n hay hai vector trên m t ch y d o c a tiêu chu n Mohr–Coulomb trên m t ph ng –plane (ch nh s a)
(Ngu n: [13]: pp.827)
Sau đ́, Pankaj và Bićanić l p lu n r ng các ch s đi m d do de Borst đ xu t có d u hi u sai sót. Trong m t bài báo sau đ́ đ c xu t b n n m 1991 [14], de Borst đính chính sai sót và cùng hai c ng s s a ch a l i.
1 3 2 3 1 2 sin sin 1 2 1 sin h f (1.10) 2 3 2 1 1 2 sin sin 1 2 1 sin h f (1.11) Trong đ́: 3 3 1 3 1 1 1 sin .cos 2 2 f c (1.12) 3
f là m t trong 6 hàm ch y d o đ c tr ng c a tiêu chu n ch y d o Mohr– Coulomb (xem cơng th c (2.49)); là góc ma sát; là góc giãn n ; clà l c dính.
Hình 1.7. C ch return mapping vector đ n hay hai vector trên m t ch y d o c a tiêu chu n Mohr–Coulomb trên m t ph ng –plane
(Ngu n: [14]:pp.220)
1.1.7. Cơng trình nghiên c u c a Simo, Kennedy và Govindjee v áp d ng đi u ki n Karush–Kuhn–Tucker tìm s b m t ch y d o tham gia h i t
Trong cơng trình c a Simo, Kennedy và Govindjee xu t b n n m 1988 [15], h đ a ra đi u ki n h i t c a hàm ch y d o trên đa b m t ch y d o không liên t c và m r ng áp d ng cho đ d o nh t. Thu t toán ánh x t ng quát áp d ng v i đa b m t ch y d o đ c các tác gi cho là h i t vô đi u ki n, ngh a là s b m t giao nhau không 'tr n' là tùy ý. So v i nghiên c u c a de Borst, cơng trình nghiên c u này áp d ng đi u ki n Karush–Kuhn–Tucker và xem đây là tr ng tâm c a ph ng pháp. i u ki n Karush–Kuhn–Tucker đ c nghiên c u trong cơng trình nghiên c u c a các tác gi này, v i hai quy trình xem xét xác đ nh s b m t ch y d o tham gia h i t :
1. Gi thuy t r ng t p h p các b m t ch y d o b ng v i s l ng gi thuy t ban đ u. Sau đ́, b ng cách ki m tra gia s các h s ch y đ o t ng ng . N u < 0 thì lo i b m t ch y d o t i đ́. L p đi l p l i liên t c đ n khi thu đ c nghi m h i t v i đi u ki n > 0.
2. Ki m tra đi u ki n (k1) > 0, v i k là s l n l p. Gi s ( )k là gia s c a h s ch y d o trong quá trình l p thì:
Ch ng 1. T ng quan tình hình nghiên c u 17 (k 1) ( )k ( )k