Nghiên cu ca Crisfiel dv á pd ng ph ng pháp backward–Euler,

1.1. T ng qua nv các nghiên cu ngoà in c

1.1.5. Nghiên cu ca Crisfiel dv á pd ng ph ng pháp backward–Euler,

đ a ra gi i pháp s d ng ánh x các đi m liên t c b ng vector

Trong m t trong tác ph m xu t b n n m 1987 c a mình [10] v m t ch y d o Mohr–Coulomb, Crisfield đ a ra ý ki n s d ng ph ng pháp backward–Euler (ph ng pháp theo h ng implicit, khác v i ph ng pháp forward–Euler theo h ng explicit) đ t́ch phân các ph ng trình trong bài tốn d o. Ơng chia ra b n tr ng h p khác nhau, tùy thu c tr ng thái ng su t gi đ nh trial, g i là ph ng pháp return mapping và đ c hoàn ch nh b i các nhà nghiên c u sau này:

1. Return mapping đ n vector, ch s d ng tr v trên m t m t ch y d o. 2. Khi giá tr góc Lode  v t quá gi i h n nào đ́, áp d ng vector tr ng su t v v trí g n nh t mà góc Lode  ch a v t quá gi i h n. Tuy nhiên, tác gi Crisfield đã lo i b tr ng h p này vì lo ng i nó d n đ n vi c ng su t v t quá gi i h n c a m t d o, cho ra k t qu khơng chính xác.

3. Return mapping hai vector đ c áp d ng hi u qu h n, n u tr v m t m t ch y d o là không đ xác đ nh tensor bi n d ng d o.

4. Tr ng h p cu i cùng là return mapping v đ nh, đ c đ xu t n u không th tr v m t ch y d o b ng hai vector ánh x .

Ph ng pháp này là c s cho các nhà nghiên c u sau này hoàn ch nh ph ng pháp return mapping (đ c s d ng trong lu n v n). Crisfield dùng đ i l ng góc  đ xét tr ng h p x y ra thu c tr ng h p nào trong ba tr ng h p trên. Góc  đ c đ nh ngh a là ǵc gi a hai vector d o  hay n c a hai m t d o A, B:

arccos T A B A B       (1.7)

Khi góc  nh h n 1o, dùng return mapping đ n vector. Tuy nhiên, khi góc  l n h n 90o, tensor ng su t đ c ánh x v m t đi m bên chóp kim t tháp và do đ́, dùng return mapping tr v đ nh. Tr ng h p góc  có giá tr l n đáng k nh ng nh h n 90 đ , s d ng return mapping hai vector. Bên c nh đ́, tác gi gi i h n giá tr góc Lode  nh sau:

Ch ng 1. T ng quan tình hình nghiên c u 13

N u giá tr góc Lode  v t giá tr 29.99o thì áp d ng l i các vector chu n dòng Drucker–Prager.

Tuy nhiên, Ortiz và Popov trong nghiên c u v tính chính xác và n đnh c a các thu t tốn tích h p đ c xu t b n n m 1985 [11], đã ch ra r ng n u làm 'tr n' m t ch y d o quá m c s làm gi m đ chính xác trong tính tốn và tính n đnh. Vì v y, h đ t v n đ x lý c c b trong ph m vi xung quanh đi m d , s d ng ph ng pháp x p x đ ng cong t ng đ ng.

Hình 1.3. Return mapping m t vector (Ngu n: [12], pp.283)