Sơ đồ khối bộ quan sát Luenberger

Sự hội tụ của sai lệch quan sát phụ thuộc vào việc lựa chọn ma trận hệ số khuếch đại quan sát L. Sai lệch ước lượng trạng thái được tính như sau:

  ˆ       ˆ       e t x t x t  ALC x t x t  ALC e t

   

 

  (1.72)

Như vậy, đáp ứng động học của bộ quan sát có thể được điều chỉnh bằng việc điều chỉnh ma trận hệ số khuếch đại bộ quan sát. Đặc biệt, Trạng thái quan sát ban đầu không cần bằng với trạng thái ban đầu của hệ thống, có nghĩa là sai lệch ban đầu giữa trạng thái ban đầu của hệ thống và của bộ qua sát có thể khác khơng e 0 0. Hệ số bộ khuếch đại bộ quan sát L được lựa chọn sao

cho tất cả các giá trị riêng của véc tơ LAC đều nằm bên trái của mặt phẳng phức. Mặt khác, sai lệch quan sát e t  càng tiến nhanh về 0 thì thời gian cần thiết cho việc quan sát tín hiệu càng nhỏ. Nếu các giá trị riêng của ma trận LAC càng nằm xa bên trái trục ảo của mặt phẳng phức thì tốc độ hội tụ của sai lệch ước lượng về 0 càng nhanh. Do đó, ta có thể chủ động lựa chọn ma trận L để tốc độ hội tụ phù hợp với mong muốn khi thiết kế. Đối với bộ quan sát Luenberger có ưu điểm là cấu trúc đơn giản, mức độ tính tốn ít nhưng trạng thái quan sát được chỉ đúng sau một khoảng thời gian nhất định. Tức là phải sau một khoảng thời gian đó mới phát hiện được sự thay đổi trạng thái x t . Trong trường hợp mà có các tín hiệu nhiễu tác động liên tục trong khoảng thời gian đó thì bộ quan sát khơng xử lý được. Để khắc phục nhược điểm này, Kalman đã đưa ra mơ hình quan sát có tính đến sự tác động của nhiễu quá trình wk và nhiễu đo lường vk.

1.3.2. Quan sát bằng bộ lọc Kalman

Bộ lọc Kalman là một tập hợp các phương trình tốn học nhằm cung cấp một phương pháp tính tốn đệ quy hiệu quả để ước lượng trạng thái của một q trình theo cách tối thiểu hóa giá trị trung bình của bình phương sai lệch hay được gọi phương sai của sai lệch. Bộ lọc Kalman rất hiệu quả trong việc ước lượng trạng thái quá khứ, hiện tại và thậm chí cả tương lai. Hơn thế nữa, bộ lọc có thể làm việc ngay cả khi mơ hình của hệ thống không được biết trước. Cơ sở lý thuyết và các phân tích của bộ lọ Kalman được thể hiện trong nghiên cứu [42]. Nội dung tiếp theo sẽ phân tích chi tiết cấu trúc và các dạng của bộ lọc Kalman.

1.3.2.1. Ước lượng trạng thái bằng bộ lọc Kalman

Bộ lọc Kalman đưa ra vấn đề tổng quan để ước lượng trạng thái n

xR của một quá trình điều khiển rời rạc mà dược mô tả bằng phương trình sau

k k 1 k 1 k 1

x Ax  Bu  w  (1.73)

Với giá trị đo lường m

zR được xác định như sau:

k k k

z Hx v (1.74)

Trong đó, các biến ngẫu nhiên wk và vk thể hiện nhiễu quá trình và nhiễu đo lường. Các nhiễu này được giả định là độc lập với nhau và là nhiễu trắng có phân bố chuẩn         p w N 0,Q p v N 0, R      (1.75)

Trong thực tế, các ma trận hiệp phương sai của nhiễu quá trình Q và nhiễu đo lường R có thể thay đổi theo thời gian hoặc thay đổi theo các bước đo nhưng ta xem xét là không đổi. Ma trận n n

AR  thể hiện mối quan hệ giữa trạng thái tại thời điểm bước trước k1 với trạng thái tại thời điểm bước hiện tại  k trong trường hợp khơng có tín hiệu điều khiển và nhiễu q trình. Thực tế thì ma trận A cũng có thể thay đổi trong từng bước quá trình khác nhau nhưng ta giả thiết rằng A không đổi. Ma trận n l

BR  là ma trận hệ số đầu vào điều khiển, ma trận m n

HR  là hệ số trạng thái đo và ta cũng giả định rằng không thay đổi. Nếu ta gọi n

k

ˆxR là giá trị ước lượng trạng thái tiền nghiệm tại bước  k được xác định từ sự hiểu biết của quá trình tại thời điểm tiền định của bước  k , n

k

ˆx R là ước lượng trạng thái hậu nghiệm tại bước  k được xác định từ sự đo lường tại bước  k là zk. Như vậy tại bước thực hiện là  k , ta có thể xác định được hai giá trị sai lệch tại thời điểm tiền định và hiện tại là ekxk xˆk và tại thời điểm hiện tại là ek xk xˆk. Như vậy, hiệp phương sai của sai lệch ước lượng tiền nghiệm là  T

k k k

PE e e  và hiệp phương sai của sai lệch ước lượng hậu nghiệm là  T

k k k

P E e e . Để tìm ra phương trình tốn học của bộ lọc Kalman, ta bắt đầu từ việc tìm ra một

phương trình tính tốn trạng thái hậu nghiệm ˆxk bằng tổng của ước lượng tiền nghiệm ˆxk với tích trọng số của sai lệch giữa giá trị đo thực hiện tại thời điểm hiện tại và giá trị đo dự đoán tại thời điểm trước đó Hxˆk

 

k k k k

ˆ ˆ ˆ

x xK z Hx (1.76)

Trong đó, ma trận n m

KR  được gọi là ma trận hệ số khuếch đại của bộ lọc Kalman và được lựa chọn sao cho giá trị hiệp phương sai của sai lệch hậu nghiệm Pk là nhỏ nhất. Để tìm được ma trận K, ta thay phương trình (1.76) vào cơng thức tính Pk và lấy đạo hàm. Giải phương trình đạo hàm theo K, ta tìm được giá trị K như sau:

  1 T T T k k k k T k P H K P H HP H R HP H R          (1.77)

Ta thấy, nếu hiệp phương sai của sai lệch đo lường R tiến tới 0 thì hệ số của độ lợi (hệ số khuếch đại của bộ lọc Kalman) càng lớn  k 

1 k

R 0

lim K H

  . Mặt

khác, nếu hiệp phương sai của sai lệch ước lượng tiền nghiệm Pk tiến đến 0 thì kệ số K càng nhỏ lim KPk 0 k 0

  . Như vậy, nếu hiệp phương sai của sai lệch đo lường R tiến đến 0 thì giá trị đo hực tế zk ngày càng đúng hơn trong khi đó, giá trị đo lường dự đốn Hxˆk càng sai hơn. Mặt khác, hiệp phương sai của sai lệch ước lượng tiền nghiệm Pk tiến đến 0 thì giá trị đo lường thực zk càng ngày càng sai hơn trong khi giá trị đo lường dự đoán Hxˆk ngày càng đúng.

1.3.2.2. Bộ lọc Kalman tuyến tính

Bộ lọc Kalman ước lượng một q trình bằng cách sử dụng một dạng của điều khiển phản hồi. Bộ lọc ước lượng trạng thái quá trình tại một vài thời điểm và sau đó thực hiện các phản hồi từ các đo lường bao gồm cả nhiễu đo lường. Như vậy phương trình của bộ lọc Kalman chia làm hai nhóm, bao gồm các phương trình cập nhập theo thờ gian của trạng thái và các phương trình

cập nhật theo giá trị đo lường. Các phương trình cập nhật theo thời gian để dự đoán trạng thái hiện tại và các ước lượng hiệp phương sai của sai lệch để thực hiện một ước lượng tiền nghiệm cho bước tiếp theo. Các phương trình cập nhật đo lường đáp ứng cho sự phản hồi, cụ thể là đưa một giá trị đo lường mới vào một ước lượng tiền nghiệm để nhận được một ước lượng hậu nghiệm tốt hơn. Như vậy, các phương trình cập nhật theo thời gian có thể coi như các phương trình dự đốn và các phương trình cập nhật đo lường có thể coi như các phương trình làm đúng (sửa sai). Thực vậy, thuật toán ước lượng cuối cùng giống như một thuật toán dự đoán và sửa sai để giải quyết các vấn đề số học và được mơ tả trong hình 1.11.