Khái niệm chung về các phƣơng pháp xử lý tín hiệu

a- Truyền một xung Radar chỉ trường sóng tại khoảng thời gian từ 1-17, b Kết quả tia phản hồ

3.1.1. Khái niệm chung về các phƣơng pháp xử lý tín hiệu

Biến đổi tín hiệu hay phân tích tín hiệu là thay đổi cách biểu diễn một tín hiệu hoặc một hàm nhờ sử dụng một phép tốn nào đó. Nhờ đó chúng ta có thể phân tích một vấn đề kỹ thuật phức tạp thành các khía cạnh đơn giản hơn để dễ giải quyết. Các phép biến đổi tín hiệu có vai trị khác nhau trong các ứng dụng xử lý tín hiệu như: lọc, nhận dạng mẫu, dãn, định vị và nén tín hiệu. Hiệu suất của mỗi ứng dụng phụ thuộc vào nhiều yếu tố, và do đó mỗi ứng dụng cần một kỹ thuật biến đổi

khác nhau để có được một kết quả tốt nhất. Trong các ứng dụng xử lý tín hiệu rời rạc, các biến đổi wavelet rất phổ biến nhờ một số tính chất nổi bật. Trong chương này chúng ta sẽ xét một số biến đổi tín hiệu và ứng dụng nó trong phân tich tín hiệu ảnh SAR.

3.1.1.1. Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier dựa trên cơ sở chia một tín hiệu thành tổng các hàm sin với tần số khác nhau hay nó là kỹ thuật biến đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền tần số. Nhưng hạn chế lớn của phương pháp này là khi biến đổi sang miền tần số thì thơng tin thời gian bị mất đi, khi nhìn vào một biến đổi Fourier của tín hiệu khơng thể biết được thời gian xảy ra sự kiện. Nó chỉ thích hợp với các tín hiệu dừng, khơng thích hợp trong xử lý những tín hiệu liên tục. Dennis Gabor đã khắc phục hạn chế trên bằng cách chấp nhận biến đổi Fourier để phân tích trong một đoạn ngắn của tín hiệu theo thời gian gọi là cửa sổ tín hiệu, việc này biến tín hiệu thành các hàm hai chiều của thời gian và tần số. Tuy nhiên, nó vẫn có nhược điểm là kích thước cửa sổ thời gian thì bằng nhau đối với mọi tần số. Ta cần biến đổi kích thước cửa sổ mềm dẻo hơn để đạt độ chính xác cao cả về thời gian và tần số.

Ngoài ra, Kumar [63] kết luận rằng biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier Transform - STFT) với cửa sổ thời gian ngắn có thể quan sát được sự biến đổi của phổ theo thời gian nhưng không áp dụng được trong một thời gian tối ưu hoặc sự phân tích tần số cho tín hiệu liên tục [99]. Phép biến đổi Fourier là một công cụ tốn học hữu ích và quan trọng nhưng nó chỉ cung cấp thơng tin có tính tồn cục, thích hợp cho những tín hiệu tuần hồn, khơng chứa các đột biến hoặc các thay đổi không dự báo được.

Công thức biến đổi Fourier thời gian ngắn STFT, được mô tả như sau [99]:

 t f x  t wt e dt

STFT  2ft

.

,    (3.1)

Với f là tần số và w(t −τ ) là hàm cửa số, trong đó t đóng vai trị để dịch chuyển cửa sổ theo x.

Hình 3.2. Phép biến đổi Fourier trong thời gian ngắn (STFT) [99]

3.1.1.2. Phép biến đổi wavelet

Một lý do chính trong việc khám phá wavelet và phép biến đổi wavelet là phép biến đổi Fourier không chứa thông tin cục bộ của tín hiệu. Vì thế phép biến đổi Fourier không được sử dụng để phân tích tín hiệu trong cùng một miền thời gian và tần số. Trong khi đó, wavelet lại có ưu điểm chính là khả năng thực hiện phân tích cục bộ, thể hiện được đặc tính của dữ liệu mà các kỹ thuật phân tích khác khơng có. Wavelet là dạng sóng có thời gian duy trì tới hạn với giá trị trung bình bằng khơng. Wavelet có thời gian giới hạn, bất thường và bất đối xứng. Phân tích wavelet chia các tín hiệu thành các tham số dịch chuyển và tham số tỷ lệ của các wavelet mẹ.

Hình 3.3. Phép biến đổi wavelet [99]

Năm 1982, Jean Morlet [88], lần đầu tiên đưa ra ý tưởng về wavelet như là một hàm cấu trúc phức tạp bằng cách dịch và dãn một hàm đơn, được gọi là wavelet

mẹ (Mother wavelet), để phân tích tín hiệu khơng dừng. Tuy nhiên, khái niệm mới này có thể được quan sát như sự tổng hợp của nhiều ý tưởng ban đầu từ những lĩnh vực khác nhau bao gồm toán, lý, kỹ thuật. Phân tích wavelet là một phương pháp mới thú vị để giải quyết vấn đề khó khăn trong các vấn đền này, với áp dụng hiện đại như lan truyền sóng, so sánh dữ liệu, xử lý hình ảnh, nhận dạng mẫu, đồ họa máy tính, phát hiện máy bay và tàu ngầm, cải thiện kỹ thuật của cơng nghệ hình ảnh y tế.

Trong phân tích Morlet, tín hiệu bao gồm những thuộc tính khác nhau trong thời gian và tần số, nhưng thành phần tần số cao sẽ tồn tại trong một thời gian ngắn hơn thành phần tần số thấp. Để đạt được độ phân giải thời gian tốt cho các tần số cao và phân giải tốt cho thành phần tần số thấp, Morlet giới thiệu ý tưởng đầu tiên của wavelet như một hàm phức tạp được xây dựng từ sự dịch và dãn của một hàm đơn được gọi là “Mother wavelet” ψ (t) và được xác định như sau [40]:

               dt a b t a b a Xw , 1 * 1 a,bR,a0 (3.2) Đặt             a b t ab 1 *

là phiên bản dịch và dãn của wavelet mẹ. Dấu * ký hiệu là liên hợp phức của biểu thức đó.

Trong đó: a là tham số tỷ lệ đặc trưng cho mức độ nén và dãn, còn b là một tham số dịch chuyển xác định vị trí thời gian của wavelet. Nếu a 1, thì ψab (t) là

phiên bản nén và giãn của wavelet mẹ và chủ yếu tương ứng với tần số cao. Mặt khác, khi a > 1 thì ψab(t) có một chiều rộng thời gian lớn hơn ψ (t) và tương ứng với thành phần tần số thấp. Vì vậy, wavelet có bề rộng thời gian thích nghi với tần số của chúng. Đây là lí do chính cho thành cơng của Mother wavelet trong xử lý tín hiệu và phân tích tín hiệu thời gian tần số. Cần lưu ý rằng độ phân giải của wavelet phụ thuộc vào sự thay đổi tỷ lệ khác nhau trong miền thời gian và tần số.

Quy trình phân tích wavelet là chọn một hàm wavelet nguyên mẫu, được gọi là wavelet phân tích (analyzing wavelet) hay wavelet mẹ (mother wavelet). Phân tích thời gian được thực hiện với dạng co lại (version), tần số cao của wavelet mẹ, trong khi

phân tích tần số được thực hiện với dạng giãn ra, tần số thấp của cùng wavelet mẹ. Vì tín hiệu ngun bản hay hàm có thể được biểu diễn dưới dạng một khai triển wavelet (sử dụng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính của các hàm wavelet), các tính tốn dữ liệu có thể được thực hiện sử dụng các hệ số wavelet tương ứng. Và nếu như chọn được wavelet phù hợp với dữ liệu, hay bỏ bớt các hệ số dưới một ngưỡng nào đó, chúng ta thu được dữ liệu được biểu diễn rời rạc. Mã hoá rời rạc (sparse coding) làm cho wavelet trở thành một công cụ tuyệt vời trong lĩnh vực nén dữ liệu.

Các lĩnh vực ứng dụng khác sử dụng wavelet bao gồm thiên văn học, âm học, kỹ thuật hạt nhân, mã hố băng con, xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, bệnh học thần kinh, âm nhạc, ảnh cộng hưởng từ (magnetic resonance imaging), quang học, dự báo động đất, radar, và các ứng dụng thuần t tốn học như giải phương trình vi phân từng phần (partial differential equation).

3.1.1.3. So sánh biến đổi Wavelet và biến đổi Fourier * Sự giống nhau

Biến đổi Fourier nhanh (FFT) và biến đổi Wavelet rời rạc (DWT) đều là phép tốn tuyến tính sinh ra cấu trúc dữ liệu bao gồm các đoạn log2n độ dài thay đổi, và biến đổi chúng thành các vectơ dữ liệu với độ dài 2n.

Đặc điểm toán học của các ma trận liên quan trong các biến đổi FFT và DWT là tương tự nhau. Ma trận biến đổi ngược của cả FFT và DWT là ma trận chuyển vị của ma trận nguyên gốc. Và kết quả là, cả hai biến đổi có thể xem như là một phép quay không gian hàm tới một miền khác. Với FFT, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở đó là sin và cosin. Với biến đổi wavelet, miền mới này bao gồm các hàm cơ sở phức tạp hơn được gọi là các Wavelet, Wavelet gốc (mother wavelet) hay Wavelet phân tích (analyzing wavelet). Cả hai biến đổi cịn có những điểm tương đồng khác, các hàm cơ sở được phân bố theo tần số, các cơng cụ tốn học như phổ và biểu đồ tỷ lệ có thể được sử dụng để phân biệt các tần số và tính phân bố cơng suất.

* Sự khác nhau

Một phương pháp để xem xét sự khác biệt về độ phân giải thời gian-tần số giữa biến đổi Fourier và biến đổi Wavelet là xem sự hội tụ hàm cơ sở trên mặt

phẳng thời gian-tần số. Vì một cửa sổ duy nhất được sử dụng với mọi tần số trong FT, độ phân giải của phân tích là giống nhau ở mọi khu vực trên mặt phẳng thời gian - tần số.

Một ưu điểm của biến đổi Wavelet là các cửa sổ có thể thay đổi. Để tách các điểm gián đoạn của tín hiệu, người ta có các hàm cơ sở rất ngắn và cùng thời điểm đó để có được các phân tích tần số chi tiết người ta cần các hàm cơ sở rất dài.

Một điểm quan trọng là các biến đổi Wavelet không chỉ gồm một tập hợp đơn của các hàm cơ sở như biến đổi Fourier với hàm sin và cosin. Thay vào đó, các biến đổi Wavelet có một tập hợp vô hạn của các hàm cơ sở khả năng. Do vậy, phân tích Wavelet đưa ra một phương pháp phân tích trực tiếp, mang lại kết quả tốt hơn so với các phương pháp thời gian- tần số truyền thống như biến đổi Fourier