23 Xây dựng dãy phi tuyến lồng ghép
233 Phân tích khoảng tương đương tuyến tính của các dãy phi tuyến lồng
ghép
Để đánh giá mức độ phức tạp của các chuỗi phi tuyến, ta sẽ sử dụng khái niệm khoảng tương đương tuyến tính (Equivalent Linear Span - ELS [49]) ELS của một dãy được định nghĩa là bậc nhỏ nhất của đa thức sinh ra tồn bộ dãy đó Ta biết rằng ELS có thể được tính bằng cách biểu diễn hàm vết cũng như biến đổi d [40] [49] Trong luận án này, ta sẽ áp dụng biến đổi d để tính giá trị ELS
Gọi biến đổi d của một dãy phi tuyến là: �(�) = � � ( � )
�� (�) (2 32)
Bằng cách áp dụng giải thuật Euclid cho đa thức, ta có thể trực tiếp tìm được bậc của c(d)
Gọi K(d) = gcd(gc(d), Sc(d))
khi đó �(�) = � ( � ) � �′ ( � )
�(�) ��′ (�) = � � ′ ( � )
��′(�) , (2 33)
trong đó gcd(��′ (�), ��′ (�)) = 1
Giá trị ELS of c(d) cũng bằng bậc của ��′ (�), chính là đa thức có bậc nhỏ nhất có thể sinh ra c(d)
ELS = deg(��′ (�)) = deg(gc(d)) - deg(K(d)) (2 34)
Ta sẽ trình bày quy trình theo từng bước để xác định ELS của dãy phi tuyến lồng ghép:
Bước 1:
Từ thứ tự lồng ghép ��� và giá trị của dãy mới tạo ra {en}, ta rút ra biến đổi d của dãy phi tuyến lồng ghép:
−1 (2 35)
Trong đó Zi(dS) biểu diễn một dãy con với bước dịch cụ thể từ dãy {en}, theo mơ tả trong ��� Ta có thể thấy rằng:
�� (� � ) = ��� (��)
��� (��) (2 36)
trong đó ��� (� � ) và ��� (� � ) là bước dịch pha và đa thức sinh tương ứng của {en} Vì thế ta có:
−1 ����� (��)
��� (��) (2 37)
Bước 2:
Áp dụng thuật toán Euclid vào cơng thức (2 37) ta sẽ có được đa thức sinh bậc nhỏ nhất sinh ra c(d) và từ đó nhận được giá trị ELS là :
ELS = deg g1(dS) - deg(K(d))
trong đó K(d) = gcd(G(d),g1(dS))
(2 38) �(�) = ∑��=0 �� �� ( � � )
Ví dụ 5: Xét m - dãy {bn} sinh bởi đa thức g(d) = 1 + d3 + 2d4 với các tham số:
L = 34 - l = 80, N = 32 - l = 8, T = 10
Thứ tự lồng ghép ��� tương ứng với {bn} được xác định theo phương pháp
trình bày trong phần 2 3 là:
��� = {5, "", 2, 0, 5, 6, 5, 7, 7, 3}
Ta sẽ thay thế dãy con của dãy lồng ghép bằng dãy sinh bởi đa thức :
g1(d) = 1 + 2d + 2d2
Bằng cách áp dụng phương pháp mở rộng dãy theo biến đổi d, ta có
G(D) = (2+D) + 0 d + (D)d2 + (2+2D)d3+ (2+D)d4 + 2D d5+ (2+D)d6+
2 d7+2 d8
Thay thế D bằng d10 ta được:
G(d) = 2 + 2d3 + 2d4 + 2d6 + 2d7 + 2d8 + d9 + d10 + d12 + 2d13+ d14 + 2d15 + d16
�(�) = 1+2�10+2�20�(�)
Áp dụng thuật toán Euclid, ta có:
K(d) = gcd(G(d),g1(dS)) ,
K(d) = 2d8 + d7 + 2d6 + d5 + d3 + 2d + 2
Từ đó ta tính được giá trị ELS là:
ELS = deg g1(dT) - deg(K(d)) = 20 - 8 = 12
Vì giá trị ELS bằng 12, lớn hơn ELS của dãy ban đầu {bn}, ta có thể kết luận
rằng dãy mới sinh ra {en} có tính chất phi tuyến cao hơn so với dãy ban đầu