Khái niệm và tính chất cơ bản của độ phức tạp tuyến tính

31 Độ phức tạp tuyến tính của dãy giả ngẫu nhiên

311 Khái niệm và tính chất cơ bản của độ phức tạp tuyến tính

Giả sử F là trường hữu hạn hoặc bất kỳ Dãy s1, s2, các phần tử của F được gọi là dãy ghi dịch tuyến tính bậc k, nếu tồn tại các hệ số ak, ak-1, , a0F, ak 0 sao cho:

aksi+k + + a1si+1 + a0si = 0, i = 1, 2, (3 1)

Một cách tương đương, nếu tồn tại các hệ số c1, c2, , ckF, sao cho quan hệ sau được thỏa mãn:

sj = -

k

i1

ci sj-i, j = k+1, k+2, (3 2)

Qui ước dãy zêro 0, 0, tồn các số khơng được gọi là dãy ghi dịch bậc 0

Hiển nhiên một dãy ghi dịch được xác định hoàn toàn bởi quan hệ truy hồi (3 1) và các giá trị ban đầu s1, s2, , sk

Định nghĩa 3 1[26]: Giả sử s = s1, s2, là một dãy tùy ý các phần tử của trường

F Giả sử n-là một số nguyên dương Khi đó độ phức tạp tuyến tính Ln(s) được xác

định là số k-bé nhất sao cho dãy n-phần tử s1, s2, sn trùng với n-số hạng đầu tiên của một dãy ghi dịch tuyến tính bậc k

Độ phức tạp tuyến tính được xác định bởi tính chất sau:

Tính chất 3 1

Giả thiết F = GF(q), q là số nguyên tố bất kỳ Xét dãy s = {sn}n với các phần tử thuộc GF(q) Khi đó tương ứng với dãy S ta có dãy {Ln(s)}n có tính chất sau

Tính chất 1: Tính bị chặn: 0 Ln(s) n, n 1

Tính chất 2: Tính đơn điệu khơng giảm: Ln(s) Ln+1(s), n 1

Tính chất 3: Mối quan hệ giữa các phần tử liên tiếp của dãy {Ln(s)}n

a) Nếu thanh ghi dịch tuyến tính độ dài Ln(s) sinh ra dãy s1, s2, sn mà cũng sinh ra dãy s1, s2, sn, sn+1 thì Ln+1(s) = Ln(s)

b) Nếu thanh ghi dịch tuyến tính độ dài Ln(s) sinh ra dãy s1, s2, sn nhưng không sinh ra dãy s1, s2, , sn, sn+1 thì có hai khả năng xảy ra:

Nếu 2 Ln(s) > n, thì ta có Ln+1(s) = Ln(s);

Nếu 2 Ln(s) n, thì Ln+1(s) = n+1- Ln(s) (3 3)