31 Độ phức tạp tuyến tính của dãy giả ngẫu nhiên
313 Phân bố độ phức tạp tuyến tính của dãy ngẫu nhiên
Giả sử F = GF(q) là trường hữu hạn q-phần tử Với n là số nguyên dương bất kỳ, ta ký hiệu:
n = [GF(q)]n = {(s1, s2, , sn), si F, i= 1, 2, , n} (3 8) là không gian của các dãy hữu hạn n-phần tử trên trường F Như phần trên ta thấy gắn với mỗi dãy hữu hạn s = (s1, s2, , sn) sẽ tồn tại thanh ghi dịch độ dài tối thiểu Ln(s) sinh dãy đó
Mệnh đề 3 8
a) Nếu thanh ghi dịch tuyến tính độ dài Ln(s) sinh ra dãy s1, s2, sn mà cũng sinh ra dãy s1, s2, sn, sn+1 thì Ln+1(s) = Ln(s)
b) Nếu thanh ghi dịch tuyến tính độ dài Ln(s) sinh ra dãy s1, s2, sn nhưng không sinh ra dãy s1, s2, , sn, sn+1 thì có hai khả năng xảy ra:
Nếu 2 Ln(s) > n, thì ta có Ln+1(s) = Ln(s);
Nếu 2 Ln(s) n, thì Ln+1(s) = n+1- Ln(s) (3 9)
Từ Mệnh đề 2 8, ta thấy Ln(s) < Ln+1(s) xảy ra (tương ứng với sự thay đổi
khi quan hệ truy hồi (2 1) đúng cho dãy n-phần tử s1, s2, sn nhưng không đúng với dãy (n+1) phần tử s1, s2, sn, sn+1 và với điều kiện là:
2 Ln(s) n (3 10)
Lập luận trên sẽ được sử dụng trong bài toán ta sẽ xét sau đây Với các khái niệm đã nêu, ta ký hiệu:
D(n,) = Card{ s = (s1, s2, , sn-1, sn)n : Ln(s) =}
Ta sẽ tìm cơng thức cho hàm phân bố D(n,), với n N, và 0 n
Định lý 3 9 (F G Gustavson [26])
Hàm phân bố D(n,), n N, 0 n, được cho bởi công thức sau
q 1, q 21 q*, 2( n ) 0; 1, , n ; n 1, , n (3 11)
trong đó, q* = q - 1, vàn là phần nguyên (dưới) của (n/2)
Hệ quả 3 10
Giá trị trung bình độ phức tạp tuyến tính của dãy hữu hạn n-phần tử lấy ngẫu nhiên đều trên không gian [GF(q)]n được đánh giá bởi cơng thức:
trong đó
n/2 E(n) < (n+1)/2, n=1, 2, (3 12)
E(n) = (1/qn) n D(n; ) (3 13)
q*,