Mơ hính thời lượng cịn được biết với những cái tên như mơ hính phân tìch sự sống ( survival analysis) hoặc mơ hính phân tìch sự kiện lịch sử ( event history analysis). Dữ liệu dùng trong mơ hính thời lượng thường là biến nhị phân gồm một chuỗi các số 0 cho thời kỳ quan sát đó tồn tại và ký hiệu là 1 khi sự kiện xảy ra cho quan sát đó. Quan sát trong mơ hính thời lượng rất đa dạng, có thể áp dụng để nghiên cứu: cho một quốc gia , cá nhân, doanh nghiệp… với nhiều trạng thái của các quan sát này, vì dụ như khả năng một cá nhân vẫn khỏe mạnh khi có bệnh dịch, khả năng quốc gia đó có xung đột vũ trang, hay cụ thể trong bài nghiên cứu này là xác suất một doanh nghiệp xảy ra tính trạng bất ổn tài chình. Ở bất cứ thời điểm nào, các quan sát sẽ có một xác suất để xảy ra một sự kiện- sự kiện này thể hiện sự thay đổi hay chuyển hóa trạng thái của quan sát, vì dụ doanh nghiệp khỏe mạnh luôn chịu một xác suất phá sản tại bất kỳ một giai đoạn nào đó trong đời sống của mính. Sau khi trải qua sự kiện, quan sát đó sẽ khơng cịn được xem xét trong mẫu nữa. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, một số quan sát khơng phải trải qua sự kiện, có nghĩa là quan sát khơng chuyển đổi trạng thái của mính- doanh nghiệp khỏe mạnh thí vẫn khỏe mạnh, chúng ta gọi những trường hợp này là “đã được kiểm định” (censored) ví chúng ta không thể xem xét thêm những quan sát này khi đã quan sát đến thời điểm dữ liệu cuối cùng quan sát này có trong mẫu.
Trong phần này, chúng ta xem xét mơ hính thời lượng và thảo luận những cải tiến để mơ hính phù hợp với dữ liệu của những báo cáo tài chình được sắp xếp theo dạng bảng và những điều kiện vĩ mô tác động đến xác suất bất ổn tài chình của doanh nghiệp.
Cho thời gian tồn tại, T, là tuổi thọ của một doanh nghiệp. Thời gian T là biến ngẫu nhiên, liên tục, tuân theo hàm mật độ phân phối xác suất, f(t) và hàm phân phối xác suất tìch lũy, F(t). Hàm tồn tại, S(t) đại diện cho xác suất một doanh nghiệp sống sót qua khoảng thời gian t, có thể được định nghĩa như sau:
S(t) = Pr( T≥t ) = 1 – F(t) = ∫ ( )
(1)
Hàm nguy cơ – harzad function, h(t), được đo lường như là hàm xác suất có điều kiện của sự kiện phá sản tại thời gian t
( ) ( ) ( ) ( ) (2)
Do đó, hàm nguy cơ có thể được hiểu là xác suất xảy ra một vụ phá sản một cách tức thời. Phương trính (1) và (2) khác nhau về phương trính tốn học nhưng cùng thể hiện chung một thơng tin. Tuy nhiên, do sự thuận tiện, mơ hính thời lượng thường được biểu đạt dưới dạng phương trính (2). Mơ hính nguy cơ được sử dụng phổ biến nhất là mơ hính nguy cơ tỷ lệ bán tham số (semiparametric proportional hazard model)
( | ) * + ( | ) (3)
Với xi đại diện cho hệ vectơ những biến độc lập cấu thành nên báo cáo tài chình của doanh nghiệp i = 1,2,3… N. Phần đầu của phương trính (exp{xiβ}) đại diện cho một doanh nghiệp cụ thể, phần này thí thay đổi theo thời gian. Phần thứ hai được gọi là hàm nguy cơ cơ bản (baseline hazard function) phụ thuộc vào thời
gian – cho ( ) ( ) thí h(t) được định
là hàm nguy cơ nếu các yếu tô nguy cơ x không tồn tại ( nên được gọi là hàm nguy cơ cơ bản)
Trong bài nghiên cứu của Cox (1972), vectơ những biến độc lập xi này tác động đến tỷ lệ nguy cơ như trong phương trính (3). Trong trường hợp này, quy trính ước lượng không cần bất cứ giả định phân phối nào bởi ví phần tham số bị loại ra khỏi quy trính ước lượng. Phần tham số này được ước lượng bằng các tối ưu hóa hàm likelihood từng phần
( ) ∏ ( )
(4)
∑ ( ) ( )
Ước lượng likelihood cực đại của phương trính (4) có phân phối tiệm cận chuẩn và có ma trận hiệp phương sai phù hợp với những ước lượng được đưa ra bởi Lawless (1982)
Trong những năm gần đây, phương trính (3) được mở rộng thành một mơ hính linh động hơn để phù hợp với những biến giải thìch thay đổi theo thời gian. Dạng mở rộng của mơ hính với biến giải thìch thay đổi theo thời gian được viết như sau:
( | ) { } ( | ) (5)
Với h(t│xi, t) đại diện cho tỷ lệ (xác suất bất ổn tài chình) của doanh nghiệp i tại thời gian t và xi,t là véctơ của những biến độc lập cấu thành nên báo cáo tài chình của mỗi doanh doanh nghiệp i tại thời điểm t. Shumway (2001) chỉ ra rằng nếu chúng ta mơ hính hóa dữ liệu nhiều giai đoạn bằng một mơ hính thống kê như phương trính (3) thí chúng ta có thể bỏ qua những biến động tính hính tài chình của doanh nghiệp theo thời gian và như thế,ước lượng sẽ bị thiên lệch và khơng phù
hợp. Ví vậy, sử dụng tồn bộ dữ liệu trong một khoảng thời gian liên tục thay ví những quan sát trong một giai đoạn đơn lẻ sẽ nâng cao tình hiệu quả của các giá trị ước lượng và việc dự đốn ngồi mẫu sẽ được cải thiện.