Trường hữu hạn phần tử luôn có số phần tử , trong đó là một số nguyên dương và là một số nguyên tố gọi là đặc số nguyên tố của trường .
Trường là một mở rộng đại số đơn giản (simple algebraic extension) của trường . Giả sử là một đa thức bất khả quy bậc thì có một nghiệm trong trường và ( là trường mở rộng nhỏ nhất của trường có chứa ). Khi ấy, mỗi phần tử của trường đều có thể được biểu diễn như là một đa thức với biến trên trường có bậc nhỏ hơn .
Ví dụ, các phần tử của trường có thể được biểu diễn dưới dạng một đa thức bậc nhất đối với biến là nghiệm của một đa thức bất khả quy bậc hai trên trường , chẳng hạn 1. Các phần tử của đều được biểu diễn dưới dạng , với , . Các phần tử đó là: 0, 1 , , 1 . Với chú ý rằng 1 0
(do là nghiệm của phương trình 1 0), ta có thể thiết lập các bảng tính toán trên trường mở rộng đối với các phép toán cộng và nhân như sau (các bảng 1.3 và 1.4 ở trang kế):
Bảng 1.3. Bảng phép toán cộng trên trường mở rộng 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
Bảng 1.4. Bảng phép toán nhân trên trường mở rộng
0 1 1
0 0 0 0 0
1 0 1 1
0 1 1
CHƯƠNG 2
XÂY DỰNG CƠ SỞ DỮ LIỆU
CÁC ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY
Quá trình xây dựng cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy gồm hai giai đoạn:
• Xây dựng cơ sở dữ liệu ban đầu gồm tất cả các đa thức bất khả quy có bậc nhỏ hơn hay bằng một giá trị ngưỡng nào đó.
• Tổng hợp các đa thức bất khả quy bậc cao từ các đa thức bất khả quy có trong cơ sở dữ liệu ban đầu đã được xây dựng trong giai đoạn trước.
Các đa thức bất khả quy mà ta xét đến ở đây là các đa thức bất khả quy có hệ số đầu bằng 1 ( 1).
Trước tiên ta tóm lược một số khái niệm cơ bản được sử dụng trong các định lý toán học có liên quan đến quá trình xây dựng cơ sở dữ liệu các đa thức bất khả quy.