Các giải thuật Berlekamp và Cantor-Zassenhaus mà ta đã đề cập đến ở các mục 2.2.2
và 2.2.3 bên trên đều đòi hỏi đa thức cần phân tích không có chứa các thừa số dạng , 2. Các đa thức thỏa mãn điều kiện này được gọi là đa thức square-
free.
Trong trường hợp tổng quát đa thức cần phân tích có thể không phải là đa thức
square-free. Chúng ta cần thực hiện bước tiền xử lý để phân tích đa thức ra thành các nhân tử là các đa thức square-free (cùng với số mũ tương ứng của chúng). Tức là phân tích: ∏ , trong đó:
• Các đều là các đa thức square-free và đôi một nguyên tố cùng nhau. • Các là các số nguyên dương.
Giải thuật thực hiện phép phân tích trên có tên gọi là square-free decomposition (SFD) và được đặt trên cơ sở của định lý 2.2.5.1 dưới đây (theo [34], Theorem 20.4, trang 527).
Định lý 2.2.5.1
Giả sử là đa thức bậc 0 có hệ số đầu bằng 1. Giả sử được phân tích thành các nhân tử bất khả quy: . … , khi ấy:
, ∏
2.2.5.1 , trong đó là đạo hàm của .
Căn cứ vào kết quả của định lý 2.2.5.1 ở trên, giải thuật SFD với độ phức tạp
1 / , trong đó là số phần tử của trường hữu hạn được thực hiện như sau (theo [34], trang 528).
Giải thuật SFD (Square-Free Decomposition)
Input: Đa thức
Output: Danh sách chứa các cặp , , trong đó các đều ở dạng square-free và
0 là số mũ tương ứng của , 1 do { 1, /gcd , while ( 1) do / gcd , / if ( 1) , 1 end if end while if ( 1) // is a th power / end if } while ( 1) return
Tóm lại, để phân tích đa thức bất kỳ thành các nhân tử bất khả quy ta thực hiện bước tiền xử lý hay giải thuật SFD để trước hết phân tích ra thành các đa thức dạng square-free, sau đó ta có thể sử dụng giải thuật Berlekamp hoặc Cantor-
Zassenhaus để tiếp tục phân tích các đa thức thành phần ở dạng square-free ra các
nhân tử bất khả quy. Các quá trình này sẽ được thực hiện từng bước ở mục 3.6 trong chương 3 (cài đặt thử nghiệm).