Trong phương pháp tổng hợp Primitive-Based và Kyuregyan chúng ta cần một đa thức nguyên thủy. Trong mục này chúng ta sẽ trình bày giải thuật kiểm tra một đa thức bất khả quy có phải là một đa thức nguyên thủy hay không (theo [8], trang 11-12).
Giả sử là đa thức bất khả quy bậc trên trường . Đa thức là nguyên thủy khi và chỉ khi cấp (order) của nó 1. Tức là | 1 và không tồn tại số nguyên dương 1 nào sao cho | 1 .
Giải thuật kiểm tra tính nguyên thủy như sau. Trước hết ta phân tích 1 ra thành tích của các thừa số nguyên tố.
1 …
Khi ấy là nguyên thủy khi và chỉ khi / 1 , 1, … . Thật vậy, trong các ước số của 1 thì bộ 1 / , 1 là các ước số lớn nhất, với ý nghĩa là ngoài 1 ra, không có ước nào khác của 1 mà lại là bội của . Các ước số khác còn lại của 1 đều là ước của một trong các số này. Chẳng hạn như 1 / hiển nhiên là ước của 1 / , 1, … , . Do đó chỉ cần kiểm tra / 1 , 1, … , là đủ để kết luận là nguyên thủy.
Lý luận trên giả định rằng nếu | thì 1 | 1 . Thật ra giả định này là hệ quả của định lý tổng quát 2.3.3.6.1 dưới đây (theo [8], Corollary 3.7, trang 76).
Định lý 2.3.3.6.1
Giả sử và là các số nguyên dương. Khi ấy ước chung lớn nhất của 1 và
1 là 1, trong đó gcd , .
Trường hợp trên là trường hợp đặc biệt của định lý vì khi đó gcd , và
gcd 1, 1 1, chứng tỏ 1 | 1 .
Giải thuật kiểm tra tính nguyên thủy được thực hiện như sau.
Giải thuật kiểm tra tính nguyên thủy
Input: Đa thức bất khả quy bậc trên trường
1. Phân tích 1 ra thừa số nguyên tố: 1 ∏ 2. Với mỗi 1, … , tính /
Nếu 1 return false 3. return true